人教版人教版高中数学必修五ppt课件 ：2.3等差数列的前n项和.ppt

等差数列的前n项和一、数列前n项和的意义数列 an：a1，a2，a3，an，我们把a1a2 a3 an叫做数列数列 an 的的前前n项和项和，记作，记作Sn.在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:(1+100)+(2+99)+(50+51)=10150=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，n，前100项的和的问题。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，n，的前n项的和：由 1 +2 +n-1 +n 可知n +n-1 +2 +1 (n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)等差数列 an:a1，a2，a3，an，的公差为d.三、等差数列的n项和公式推导推导方法推导方法21.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的前n项和Sn.解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列an表示从2001年起各年投入的资金，其中 a1=500，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为 Sn=答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.（万元）例1、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？例2已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解：由题意知 将它们代入公式 得到 变题：变题：an是等差数列，且是等差数列，且S10=100，S100=10，求，求S110等差数列等差数列an,bn 的前的前n项和分别为项和分别为 Sn和和Tn 在等差数列an，bn中，它们的前n项和之比为:，求它们的第9项之比。变题：若已知通项公式之比，求前n项和之比。变题：设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130，1)公差d的范围2)指出S1，S2，S12中，哪个值最大？并说明理由。已知数列的通项公式为an=n2-10n+10。这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正数？数列中是否还存在数值与首项相同的项？例例3 3 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？如果是，它的首项与公差分别是什么？当n1时，当n=1时，也满足式.解：根据探究：数列探究：数列an的前的前n项和为项和为其中其中p、q、r为常数，且为常数，且p0,这个数列是等差数列这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？求这求这个数列的通项公式个数列的通项公式例4 已知等差数列的前 n 项和为Sn,求使得Sn 最大的序号 n 的值分析：等差数列的前n项和公式Sn可以写成所以Sn可以看成函数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列的公差为，所以已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和 Tn.在等差数列在等差数列an中中等差数列等差数列an中中,a1=25,S9=S17,问此数列前多问此数列前多少项和最大？并求此最大值少项和最大？并求此最大值在等差数列在等差数列an中中已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，成等差数列一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10，最小内角为100，则边数 n .求集合的元素个数，并求这些元素的和。满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：7，72，73，74，714即：7，14，21，28，98这个数列是等差数列，记为an解由m100，得S110=-110例例4.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100，前前100项的和为项的和为10，求它的前，求它的前110项的和项的和.解：由题意知，这个V型架上自下而是个层的铅笔数成等差数列，记为an.答：V型架上共放着7260支铅笔。如图:一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支.这个V形架上共放了多少支铅笔？等差数列10，6，2，2，的前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是an，前n项和为Sn.则a110，d6（10）4，Sn54.由等差数列前n项和公式，得解得 n19，n23（舍去）.因此，等差数列的前9项和是54.3.在等差数列在等差数列an中，中，S6=65，a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15，则则a13+a14+a15+a16+a17+a18=.课堂练习课堂练习 1.在等差数列在等差数列an中，中，a1-a5-a9-a13+a17=-6，则，则S17=.102120-952.在等差数列在等差数列an中，中，a5+a10+a15+a20=20，则，则S24=.4、已知数列、已知数列an 前前n项和项和 Sn=n2-9n(1)求证：求证：an 为等差数列；为等差数列；(2)求求 Sn 的最小值及相应的最小值及相应n(3)记数列记数列|an|的前项和为的前项和为Tn 求的表达式求的表达式在等差数列在等差数列an中中解：方法一解：方法一解：方法二解：方法二解：方法三（只适合填空题）解：方法三（只适合填空题）求小于100的正整数中能被7整除的所有数的和。变题：求在100500之间能被6与8整除且余数为1的所有数的总和。在等差数列an中，a6+a9+a12+a15=20 求S20 在项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为44，偶数项和为33，求这个数列的中间项及项数。（问：若n为偶数呢？）在项数为2n的等差数列中，奇数项和为24，偶数项和为30，末项比首项大10.5，求公差及项数。在项数为奇数的等差数列中，奇数项和为60，偶数项和为45，求此数列的中间项及项数。