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第一章第一章 信号与系统信号与系统 -2 -2第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析-22-22第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析 -56 -56第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析-86-86第五章第五章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析-127-127第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析-150-150第七章第七章 系统函数系统函数 -172-172第八章第八章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析-174-1741第一章第一章 信号与系统信号与系统1.1 1.1 绪绪 言言 一、信号的概念一、信号的概念 二、系统的概念二、系统的概念1.2 1.2 信号信号 一、信号的描述一、信号的描述 二、信号的分类二、信号的分类1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 一、加法和乘法一、加法和乘法 二、时间变换二、时间变换1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数一、阶跃函数 二、冲激函数二、冲激函数 三、冲激函数的性质三、冲激函数的性质 四、序列四、序列(k)和和(k)1.5 1.5 系统的描述系统的描述 一、系统的数学模型一、系统的数学模型 二、系统的框图表示二、系统的框图表示 1.6 LTI1.6 LTI系统的特性和分系统的特性和分析方法析方法2信号的定义、分类、描述信号的定义、分类、描述典型的连续时间信号典型的连续时间信号信号的运算信号的运算奇异信号奇异信号信号的分解信号的分解内容摘要-1信号信号系统系统系统的定义、分类系统的定义、分类线性时不变系统线性时不变系统信号的自变量的变换信号的自变量的变换信号的时域运算信号的时域运算线性特性线性特性时不变性时不变性微分特性微分特性因果性因果性3例题例题例题1 1：画函数波形：画函数波形例题例题2 2：冲激函数的性质：冲激函数的性质例题例题3 3：信号的运算：信号的运算例题例题4 4：列写系统的微分方程：列写系统的微分方程例题例题5 5：系统的线性特性：系统的线性特性例题例题6 6：系统的时不变特性：系统的时不变特性例题例题7 7：系统的因果性：系统的因果性4例1-1粗略绘出下列各函数式的波形图粗略绘出下列各函数式的波形图描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘图描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标出信时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极小值等，号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。同时应注意阶跃、冲激信号的特点。5从而求得从而求得波形图为波形图为6此题应注意冲激信号的性质此题应注意冲激信号的性质波形如下图波形如下图7例1-2求下列函数值求下列函数值本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。8方法一：方法一：方法二：方法二：方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过程较繁。另外，对冲激偶信号的性质程较繁。另外，对冲激偶信号的性质往往被错误写成往往被错误写成从而得出错误结论。从而得出错误结论。910在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。画画(2)的波形时，应先画出的波形时，应先画出(1)的波形。的波形。需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的变量变量t而言的，而不是对变量而言的，而不是对变量at或或at+b进行变换。进行变换。例1-3已知信号已知信号f(t)的波形如图所示，请画出下列函数的波形。的波形如图所示，请画出下列函数的波形。11对信号的波形进行微分变换时，对信号的波形进行微分变换时，应注意在函数的跳变点处会出应注意在函数的跳变点处会出现冲激信号。现冲激信号。12例1-4某连续系统的框图如图某连续系统的框图如图(a)所示，写出该系统的微分方程。所示，写出该系统的微分方程。系统框图有两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方系统框图有两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分器的输入信号是输出信号的一阶导数。器的输入信号是输出信号的一阶导数。左方积分器的输入信号为左方积分器的输入信号为从加法器入手，找其入出关系。从加法器入手，找其入出关系。则其输入信号为则其输入信号为图中设右方积分器的输出信号为图中设右方积分器的输出信号为13将上式除将上式除f(t)以外的各项移到等号左端，得以外的各项移到等号左端，得由加法器的输出，得由加法器的输出，得连续系统或离散系统除用数学方程描述外，还可用连续系统或离散系统除用数学方程描述外，还可用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系，框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系，一个方框图可以表示一个具有某种功能的部件，也一个方框图可以表示一个具有某种功能的部件，也可以表示一个子系统。每个方框内部的具体结构并可以表示一个子系统。每个方框内部的具体结构并非是考察重点，只注重其输入输出之间的关系。非是考察重点，只注重其输入输出之间的关系。14由系统框图列写微分（或差分）方程的步骤选中间变量选中间变量x()。对于连续系统，设其最右端积分。对于连续系统，设其最右端积分器的输出为器的输出为x(t)；对于离散系统，设其最左端迟延；对于离散系统，设其最左端迟延单元的输入为单元的输入为x(n)；写出各加法器输出信号的方程；写出各加法器输出信号的方程；消去中间变量消去中间变量x()。如果已知系统的微分或差分方程，也可以画出相应的框如果已知系统的微分或差分方程，也可以画出相应的框图。但解不是惟一的。图。但解不是惟一的。15在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须同时满足可加性和齐次性。同时满足可加性和齐次性。例1-5先经系统先经系统再线性运算再线性运算16先经系统再线性运算与先线性运算再经系统结果先经系统再线性运算与先线性运算再经系统结果不等不等，所以系统是非线性的。所以系统是非线性的。,先线性运算再经系统先线性运算再经系统17例1-6此系统的作用是展宽输入系统的信号，一切变换都是此系统的作用是展宽输入系统的信号，一切变换都是对对t而言而言 18经系统经系统右移右移1 1右移右移1 1经系统经系统图解说明19例1-7系统的输入为系统的输入为x(t)，输出为，输出为y(t)，系统关系如下，系统关系如下,判断系统是否判断系统是否是因果系统是因果系统。在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系统的输在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系统的输入入-输出关系，同时要把输入信号的影响仔细地从在系输出关系，同时要把输入信号的影响仔细地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区分开来。统定义中所用到的其他函数的的影响区分开来。20在某个正的时刻在某个正的时刻t0的输出的输出y(t0)=x(-t0)，仅仅决定于输入，仅仅决定于输入在时刻在时刻(-t0)的值，的值，(-t0)是负的，因此属于是负的，因此属于t0的过去时刻，的过去时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，我们总是这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，我们总是要检查在全部时间上的输入要检查在全部时间上的输入-输出关系，对于输出关系，对于tm）例题例题3 3：求冲激响应求冲激响应（nm）例题例题4 4：求系统的零状态响应求系统的零状态响应例题例题5 5：卷积卷积例题例题6 6：系统互联系统互联24例2-125分别利用分别利用求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。这三个量之间的关系是这三个量之间的关系是分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：起始状态，它决定零输入响应；：起始状态，它决定零输入响应；：跳变量，它决定零状态响应；：跳变量，它决定零状态响应；：初始条件，它决定完全响应；：初始条件，它决定完全响应；26解：方法二方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量用方法一求零输入响应后，利用跳变量来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。全响应。方法一方法一：利用利用响应，响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。零状态响应等于完全响应减去零输入响应。先来求完全响应，再求零输入先来求完全响应，再求零输入本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。27方法一该完全响应是方程该完全响应是方程（1）方程（方程（1）的特征方程为）的特征方程为特征根为特征根为1.完全响应完全响应28方程（方程（1）的齐次解为的齐次解为因为方程（因为方程（1）在）在t0时，可写为时，可写为显然，方程（显然，方程（1）的特解可设为常数）的特解可设为常数D，把，把D代入方程代入方程（2）求得）求得所以方程（所以方程（1）的解为）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件。下面由冲激函数匹配法定初始条件。（2）29由冲激函数匹配法定初始条件据据方程（方程（1 1）可设可设代入方程（代入方程（1 1），得），得匹配方程两端的匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得，及其各阶导数项，得30所以所以，所以系统的完全响应为，所以系统的完全响应为312.求零输入响应（3）（3）式的特征根为）式的特征根为方程（方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为）的齐次解即系统的零输入响应为32所以，系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为下面求零状态响应。下面求零状态响应。333.求零状态响应 零状态响应零状态响应=完全响应完全响应零输入响应，即零输入响应，即因为特解为因为特解为3 3，所以，所以强迫响应是强迫响应是3 3，自由响应是，自由响应是34方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述以上分析可用下面的数学过程描述35代入代入（5 5）式）式根据在根据在t=0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得该平衡相等，得于是于是t0时，方程为时，方程为36齐次解为齐次解为 ，特解为，特解为3 3，于是有，于是有所以，系统的零状态响应为所以，系统的零状态响应为方法一方法一求出系统的零输入响应为求出系统的零输入响应为完全响应完全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应，即零输入响应，即()()得得由初始条件由初始条件00,20zszs=+rree221ttDD-+()3ee221zi+=-ttDDtr37例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方法来求解本例。法来求解本例。方法一：方法一：奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法 方法二：方法二：齐次解法齐次解法 38方法一：奇异函数项相平衡法 首先求方程的特征根，得首先求方程的特征根，得因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，冲激响应为冲激响应为对上式求导，得对上式求导，得(1)39 则得则得解得解得代入（代入（1 1）得）得40方法二：齐次解法 初始条件初始条件得得解得解得即即 41其中其中C0是微分方程中是微分方程中项前面的系数，因而给计算项前面的系数，因而给计算带来了方便。带来了方便。说明：说明：齐次解法相对于奇异函数项相平衡法和冲激函数齐次解法相对于奇异函数项相平衡法和冲激函数匹配法的优点是在求匹配法的优点是在求时，只可能时，只可能nm,无需考虑其他无需考虑其他情况；由于情况；由于n个初始条件是固定不变的，即个初始条件是固定不变的，即X42例2-3方法一：方法一：奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法 方法二：方法二：冲激函数匹配法冲激函数匹配法 (1)43方法一：奇异函数项相平衡法由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲激响应设成由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲激响应设成将（将（2 2）式代入）式代入（1 1）式）式，得，得解得冲激响应解得冲激响应阶跃响应阶跃响应（2）44方法二：冲激函数匹配法 微分方程的齐次解为微分方程的齐次解为下面用冲激函数匹配法求初始条件，设下面用冲激函数匹配法求初始条件，设上述两等式代入方程（上述两等式代入方程（1 1），经整理得），经整理得(3)(1)45根据在根据在t=0时刻，微分方程两端的冲激时刻，微分方程两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等，解得函数及其各阶导数应该平衡相等，解得于是于是（3）式）式，考虑，考虑n=1,m=2,n m,故冲激响应为故冲激响应为说明：说明：两种方法求得的结果一致。一般说来，两种方法求得的结果一致。一般说来，第二种方法第二种方法比比第一种方法第一种方法简单，特别是对高阶方程。简单，特别是对高阶方程。X46例2-4已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，求该系统对激励求该系统对激励的零状态响应。的零状态响应。对激励和响应分别微分一次，得对激励和响应分别微分一次，得47)1()()(-=tututh即即48此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出错误的结果。错误的结果。例2-549显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。从原理上看，如果从原理上看，如果则应有则应有很容易证明，上式成立的充要条件是很容易证明，上式成立的充要条件是此题若将此题若将f1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性看成两个信号的叠加，则也可以利用该性质计算：质计算：50 X51例例2-62-6对图对图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图统的冲激响应如图(b)所示。所示。(1)求复合系统的冲激响应求复合系统的冲激响应h(t)，画出它的波形；，画出它的波形；(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统用积分器、加法器和延时器构成子系统的框图的框图;52分析 本例的总系统是几个子系统串、并联组合而成的。本例的总系统是几个子系统串、并联组合而成的。对因果系统而言，对因果系统而言，串联串联系统的冲激响应等于各串联子系统的冲激响应等于各串联子系统的冲激响应系统的冲激响应卷积卷积；并联并联系统的冲激响应等于各并系统的冲激响应等于各并联子系统的冲激响应联子系统的冲激响应相加相加。系统的零状态响应，可以用系统的微分方程求解，也系统的零状态响应，可以用系统的微分方程求解，也可以用系统的冲激响应与激励信号的卷积求解。后一可以用系统的冲激响应与激励信号的卷积求解。后一种方法回避了起始点跳变问题，但是，这种方法只限种方法回避了起始点跳变问题，但是，这种方法只限于求零状态响应，不能求完全响应。其原因在于卷积于求零状态响应，不能求完全响应。其原因在于卷积运算是一种线性运算，它满足叠加性、齐次性与时不运算是一种线性运算，它满足叠加性、齐次性与时不变性。而当系统的起始状态不为零时，系统的完全响变性。而当系统的起始状态不为零时，系统的完全响应不满足叠加性、齐次性与时不变性。应不满足叠加性、齐次性与时不变性。53（1）求h(t)其波形如图其波形如图 (c)54(2)由于由于框图如图框图如图(d)(d)所示所示55第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 一、差分与差分方程一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列和一、单位序列和单位阶跃单位阶跃序列序列 二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应3.3 3.3 卷积和卷积和 一、序列分解与卷积和一、序列分解与卷积和 二、卷积的图示二、卷积的图示 五、卷积和的性质五、卷积和的性质56离散时间信号离散时间信号 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析 离散时间系统的单位样值响应离散时间系统的单位样值响应 卷积和：卷积和：定义定义、求法求法、性质性质内容摘要-3表示表示运算：运算：相加、相乘、反褶、标度变换相加、相乘、反褶、标度变换 移位、差分、求和移位、差分、求和基本的离散时间信号基本的离散时间信号建立系统的数学模型：差分方程建立系统的数学模型：差分方程时域法求系统的响应时域法求系统的响应迭代法迭代法经典法经典法双零法双零法57例题例题例题1 1：时域运算，作图时域运算，作图例题例题2 2：判断信号的周期性，求周期判断信号的周期性，求周期例题例题3 3：求解系统的响应（多种方法）求解系统的响应（多种方法）例题例题4 4：求系统的单位样值响应求系统的单位样值响应例题例题5 5：卷积和卷积和58例3-1已知序列已知序列如图（如图（a）所示，所示，试求序列试求序列，并作图，并作图。本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意，反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意，序列的尺度倍乘将波形压缩或扩展，这时要按规律去序列的尺度倍乘将波形压缩或扩展，这时要按规律去除某些点或补足相应的零值。除某些点或补足相应的零值。59如图（如图（b）所示。所示。把把改写为改写为第一步设第一步设则则60如图（如图（c）所示所示第二步设第二步设则则()()nyny-=1261如图（如图（d）所示。所示。第三步将第三步将右移右移2位即得位即得()ny262例3-2序列。若是周期序列试确定其基波周期序列。若是周期序列试确定其基波周期N。判断下列离散信号是周期序列还是非周期判断下列离散信号是周期序列还是非周期X63的的序序列列，所所以以它它的的基基波波周周期期是是这这三三个个周周期期序序列列周周期期的的最最小小公倍数。公倍数。是三个周期序列代数和组成是三个周期序列代数和组成64例3-3已知描述某系统的差分方程为已知描述某系统的差分方程为且且设激励设激励求响应序列求响应序列用三种方法求解此题用三种方法求解此题方法一：经典法方法一：经典法方法二：双零法方法二：双零法方法三：用离散卷积求零状态响应方法三：用离散卷积求零状态响应65方法一：经典法（1）求齐次解求齐次解特征方程为特征方程为故特征根为故特征根为则齐次解为则齐次解为（2）求特解）求特解由题知激励是指数序列形式，可设特解为由题知激励是指数序列形式，可设特解为将其代入差分方程得将其代入差分方程得66（3 3）求全解求全解由原差分方程得由原差分方程得时时当当0=n时时当当1=n67即初始值：即初始值：代入全解有代入全解有解得解得所以系统的全解为所以系统的全解为(),21=y(),00=y68