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三重积分习题课三重积分习题课上边界曲面（上边界曲面（上顶上顶）下边界曲面（下边界曲面（下底下底）xOy 坐标面上的坐标面上的投影区域投影区域一、利用直角坐标系计算三重积分一、利用直角坐标系计算三重积分“先一后二先一后二”（一）先投影，再确定上、下面（一）先投影，再确定上、下面 x0z yc1c2.“先二后一先二后一”zDz（二）（二）坐标轴投影法坐标轴投影法c1,c2:向向 z 轴的投影区间轴的投影区间 Dz:过过 z c1,c2且垂于且垂于z轴轴的平面截的平面截 得到的截面得到的截面 0 xz yM(x,y,z)M(r,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐标柱面坐标 M(x,y,z)M(r,z)z=z.二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为 r 及及 r+dr 的圆柱面的圆柱面；平面平面 z及及 z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.dV0 xz yM(x,y,z)M(r,)r Pyxz.球面坐标球面坐标 三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d r 2 sin drd d dVdV=(一一)平面区域的面积平面区域的面积设有平面区域设有平面区域D,(二二)体积体积 设曲面方程为设曲面方程为则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为:则其面积为则其面积为:占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为:重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用(三三)曲面的面积曲面的面积(1)(1)平面薄片的质心平面薄片的质心重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用(一一)质质(重重)心心(2)(2)空间物体的质心空间物体的质心 (1)(1)平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量(二二)转动惯量转动惯量(2)(2)空间物体的转动惯量空间物体的转动惯量则则转动惯量转动惯量为为设物体占有空间域设物体占有空间域 ,有连续密度函数有连续密度函数设物体占有空间区域设物体占有空间区域V,体密度为体密度为区域区域 V 之外有一质量为之外有一质量为 m 的质点的质点 A(a,b,c),求物体求物体 V 对质点对质点 A 的引力的引力.(三三)引力引力其中其中G为万有引力系数。为万有引力系数。引力引力F在三个坐标方向上的分量为在三个坐标方向上的分量为 三重积分可以用三重积分可以用 直角坐标直角坐标、柱面坐标柱面坐标和和球面坐标球面坐标来计算来计算.其方法都是将其方法都是将三重积分化为三次积分三重积分化为三次积分.三重积分的计算三重积分的计算将将三重积分化为三次积分关键三重积分化为三次积分关键：根据被积函数和积分域选择合适的坐标系根据被积函数和积分域选择合适的坐标系;画出投影域、确定积分序画出投影域、确定积分序;定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 .z 0 xy1化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程r=2 cos.M.r 例例1 1例例1 1 解解利用球面坐标利用球面坐标z=0y=0 x=00y x 画图画图x0z y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1 围成围成1.例例2 2：x+2y+z=1DxyI =x0z y11Dyz.例例3 3：x+y+z=1I =解解 直接积分困难，考虑改变积分次序直接积分困难，考虑改变积分次序例例4 4 解解ayxzo例例5 5xyzoDS=D:.例例5 5.例例5 5 解解S=解解先算前面部分的面积先算前面部分的面积A1由由求交线求交线 求柱面求柱面所截剩下部分的面积所截剩下部分的面积.被被锥面锥面例例8 8解解球球例例9 9解解柱柱面面坐坐标标例例1010旋转曲面方程为旋转曲面方程为旋转曲面方程旋转曲面方程测测 验验 题题A B B C z=0yxzo球面坐标球面坐标a.用哪种坐标？用哪种坐标？r=a.例例6 6解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知