线性代数第一章习题解.doc

第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）； （2）（3）； （4）.解 （1）=（2）（3）（4）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 2 4 ；（6）1 3 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为：3 2 1个5 2，5 4 2个7 2，7 4，7 6 3个 2， 4， 6， 个（6）逆序数为3 2 1个5 2，5 4 2个 2， 4， 6， 个4 2 1个6 2，6 4 2个 2， 4， 6， 个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于已固定，只能形如，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解(1)=0(2) =0(3)=(4) = =5.证明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2) (3) (4) =(5) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得， ，证明.证明同理可证 7.计算下列各行列式（）：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3) ;提示：利用范德蒙德行列式的结果(4) ;(5);(6),.解(1) ()(2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5)=(6)8.用克莱姆法则解下列方程组：解(1) (2)()9.有非零解？解 ，齐次线性方程组有非零解，则即 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.10.有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则得 不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.