高中数学必修一2.5函数模型及其应用导学案.doc

§2.5 函数模型及其应用§2.5.1 几种函数增长快慢的比较一 教学目标：1通过计算与作图，比较幂函数、指数函数、对数函数的增长差异；2结合实例，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.二 学习重、难点：重点：同类函数增长快慢差异.难点：不同函数增长快慢差异. 三 方法指导：1、结合图形，分析同类函数中参数变化对增长速度的影响.2、结合图形，分析不同函数增长速度的差异.3、要注意范围不同，结论可能不同.四 自主学习：认真阅读教材P125-P129，对照学习目标，完成导学案，适当总结.1增长速度在图象上怎样分析？ 如图，哪个函数增长得快？如何分析？2同类函数增长快慢比较（1）指数函数 作出几个具体函数的图象，比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： （2）对数函数 作出几个具体函数的图象，比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： （3）幂函数 作出几个具体函数的图象（注意要在中分别找几个代表），比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： （4）一次函数 作出几个具体函数的图象，比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： 3不同函数增长速度比较 （1）指数函数与幂函数. 它们的增长速度都是越来越 ，当时， 总是在 的上方；当时， 当取足够大时， 的图象总是在 的上方； 结论：从整体上看， 比 增长得快. （2）对数函数与幂函数. 它们的增长速度都是越来越 ，当时， 总是在 的上方；当时， 当取足够大时， 的图象总是在 的上方；结论：从整体上看， 比 增长得快.（3）指数函数、对数函数和幂函数在上都是增函数，从总体上看，当取足够大时，总有 > > 五 课堂互动探究：（一）一次函数模型的应用例1春节期间，某电信公司推出“亲情卡”、“学生卡”两种资费，每月（30天）的通话时间（分）与话费（元）的关系如图所示：0（30，15）/分/元学生卡029（30，35）/分/元亲情卡（1）分别求出两种资费话费与通话时间的函数关系式；（2）试分析在一个月内使用哪种卡划算？解(1)由图，设 得 （2）令，则当时，两种资费相等；当时，选择“学生卡”便宜；当时，选择“亲情卡”便宜.点评：本题由于过原点的直线是正比例函数的图象，因此运用待定系数法求得解析式，然后利用函数解析式解决了问题.借助函数图象表达题目中的信息，此时，读懂图象是关键.变式练习1一报摊主从报社买进报纸的价格是每份0.2元，卖出的价格是每份0.3元，卖不出的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（30天）里有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同.他应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每天所获利润最大？并计算他一个月最多可赚多少钱？解：设每天从报社买进报纸份（），则内是增函数，即摊主每天从报社买进400份报纸时，每月利润最大，最大值为870元.（二）指数函数、对数函数模型的实际应用例2在一次全国政协会议上，一位政协委员提出我国正在进入一个新的生育高峰，因此计划生育政策应当继续执行.现某县有人口100万人，如果年自然增长率为1.2%,回答下面问题：（1） 写出该县人口总数（万人）与年份的函数关系式；（2） 计算10年后该县人口总数（精确到0.1万人）；（3） 计算大约多少年后该县人口总数将达到120万人（精确到1年）.解：（1）（2）（3）令，则（年）大约15年后该县人口数将达到120万人.点评：本题通过观察1年后、2年后、3年后人口总数与年份的关系式找出规律，进而得出一般函数关系式.用文字语言表达题目中的信息时，关键是读懂信息，及时翻译成数学语言.变式练习2O1257我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量与关税税率的关系式近似满足（其中为关税的税率，且，为市场价格，为常数），当时的市场供应量曲线如图.（1） 根据图象，求的值；（2） 设市场需求量为，它近似满足时的市场供应价格称为平衡价格.当市场平衡价格控制在不低于9元时，求关税税率的最小值.解：（1）由已知，得 得（3） 当时， 即，由得令 由分析可知，当时，此时所以最小关税税率定为.六 当堂检测1某厂原来月产量为，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份的产量为，则（ ） 无法判断解析：选.2.若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 解析：选A.作图即可.3.某动物数量（只）与时间（年）的关系为设第一年有100只，则到第七年它们发展到（ ）A.300只 B.400只 C.500只 D.600只解析：选A.由于第一年有100只，得，甲OtS乙4.甲乙两人在一次赛跑中，路程S与时间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多C.甲乙两人的速度相同 D.甲先到达终点解析：选D.当时，说明甲乙同时出发，甲跑全程的时间少于乙的时间，所以甲先到终点.七 课堂小结：1直线上升、指数爆炸、对数增长2关键读懂图文表达的信息，读图首先明确横轴与纵轴的含义，明确一个坐标的含义八 课堂反思：九 课后作业：1.课本P130 习题10 1、2题解：略.（答案详见教师用书）2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中Q表示燕子的耗氧量.（1）计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解析：（1）由题意知，当燕子静止时，速度为0，所以燕子静止时的耗氧量是10个单位.（2）§2.5.2 形形色色的函数模型一 教学目标：1理解函数模型的应用；2掌握求解数学应用题的步骤.二 学习重、难点：重点：求解数学应用题.难点：模型的选择与建立过程. 三 方法指导：1、准确理解题目中的信息，可以用自己喜欢的表达方式来“翻译”信息.2、建模后要验证模型的准确性、合理性和实用性.四 自主学习：认真阅读教材P132-P134，对照学习目标，完成导学案，适当总结.1数学建模及建模过程 阅读课本P134，用简短的语言描述建模的过程 2具体怎样建模？阅读课本P132-P134 例题，概述怎样建模？ 12345356.999.01113.尝试建模有一组数据如图，则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）A.指数函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数五 课堂互动探究：（一）根据数量关系建模例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240日均利润/元28068010001240140014801480解析：所以，定价为11元或12元可获得最大利润.解析二：观察发现，单价每提高1元，日均销量减少40桶，故设单价定位时的利润为元，则对称轴为，所以当时同时取得最大值.点评：找出实际问题中涉及的函数变量根据变量间的关系建立函数模型利用模型解决实际问题.变式练习1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解：设租金提高到元时总收入元，由题意得：对称轴为所以，当时，每天客房的租金总收入最高.（二）建立恰当的模型例2 某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产品的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？解析：略.（过程详见课本P132-P134）点评：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.变式练习2某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：时间/小时123456789完成百分数1530456060708090100Oh如果用来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问是多少？求出的解析式，并画出图象；解：，六 当堂检测1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（ ）.解：选A.横轴表示高度，纵轴表示体积.从左往右看，当增加的高度相同时，体积增加量越来越多，也就是说，体积增加得越来越快，所以曲线会越来越陡.2. 某种生物增长的数量与时间的关系如下表：下面函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）.A B 123138C D 解：选D. 模拟函数的优劣，主要看误差是否最小，其次还要看增减趋势等是否与实际相符.本题中，（1,1）不满足A选项；（3,8）不满足B选项和C选项；而三组数据均满足D选项.所以D选项是较好的模拟函数.3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）.A. 97年 B. 98年 C. 99年 D. 00年解：选B.97年增长率约为；98年增长率为；99年增长率小于；00年增长率小于.4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y万元与其定价x的函数关系是 .解： ，又，答案为，.5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36. 则平均每年应降低成本 %.解：设每年平均降低，设2002年成本为1，则2004年成本应为，由题意，2004年成本应为，则.所以，答案为20.七 课堂小结：1利用数学模型解决数学实际问题的步骤.2怎样判断模型是否合适？八 课堂反思：九 课后作业：1.课本P136 习题11 1、2、3题解：略.（答案详见教师用书）2. 某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位为：元）与上市时间t（单位：天）的数据如表：时间/t50110250种植成本/Q150108150（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：.（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解：有表中数据可知，当时间t变化时，种植成本Q并不是单调的，故只能选取，将数据一次带入，得：即 （2）所以，当t=150天时，西红柿种植成本最低为100元3.某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个.商品经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元则日销售量就减少5个.若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价元，每日利润元.当时，有即在商品提价时，当时，每日利润最大为500元.当时，有即在商品降价时，当时，每日利润最大为490元.因为500>490，所以此商品的定价应定为每个20元.