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第六章第六章 虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理 动动动动 力力力力 学学学学 西北工业大学西北工业大学西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲支希哲支希哲朱西平朱西平朱西平朱西平侯美丽侯美丽侯美丽侯美丽第六章第六章 虚位移原理虚位移原理64虚功虚功理想约束理想约束63虚位移虚位移自由度自由度61概概述述第第六六章章虚虚位位移移原原理理动动 力力 学学目录理论力学理论力学66广义坐标广义坐标广义坐标形式的广义坐标形式的虚位移原理虚位移原理62约束和约束方程约束和约束方程65虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理6-1概概 述述第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并不是充分的（参阅刚化原理）。不是充分的（参阅刚化原理）。6-1概概 述述第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 非非自自由由质质点点系系的的平平衡衡，可可以以理理解解为为主主动动力力通通过过约约束束的的平衡。约束的作用在于：平衡。约束的作用在于：一一方方面面阻阻挡挡了了受受约约束束的的物物体体沿沿某某些些方方向向的的位位移移，这这时时该该物物体体受受到到约约束束反反力力的的作作用用；而而另另一一方方面面，约约束束也也容容许许物物体体有可能沿另一些方向获得位移。有可能沿另一些方向获得位移。当当质质点点系系平平衡衡时时，主主动动力力与与约约束束反反力力之之间间，以以及及主主动动力力与与约约束束所所许许可可位位移移之之间间，都都存存在在着着一一定定的的关关系系。这这两两种种关系都可以作为质点系平衡的判据。关系都可以作为质点系平衡的判据。6-1概概 述述第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 而而虚虚位位移移原原理理则则将将利利用用后后一一种种情情况况，他他通通过过主主动动力力在在约约束束所所许许可可的的位位移移上上的的表表现现（通通过过功功的的形形式式）来来给给出出质质点点系的平衡条件。系的平衡条件。刚刚体体静静力力学学利利用用了了前前一一种种情情况况，通通过过主主动动力力和和约约束束力力之间的关系表出刚体的平衡条件。之间的关系表出刚体的平衡条件。因因此此，在在虚虚位位移移原原理理中中，首首先先要要研研究究加加在在质质点点系系上上的的各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。6-1概概 述述第六章第六章 虚位移原理虚位移原理6-2约束和约束方程约束和约束方程约束与约束方程约束的类型第六章第六章 虚位移原理虚位移原理二、约束方程二、约束方程 约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方程称为程称为约束方程约束方程。对对非非自自由由质质点点系系的的位位置置、速速度度之之间间预预先先加加入入的的限制条件，称为约束。限制条件，称为约束。6-2约束和约束方程约束和约束方程一、约束一、约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 点点M被限制在以固定点被限制在以固定点O为球为球心、心、l为半径的球面上运动。为半径的球面上运动。这这就是加于球面摆的约束方程。就是加于球面摆的约束方程。如取固定参考系如取固定参考系Oxyz，则点，则点M的的坐标坐标x，y，z满足方程满足方程olyzxM球面摆球面摆球面摆球面摆 约束实例约束实例约束实例约束实例6-2约束和约束方程约束和约束方程第六章第六章 虚位移原理虚位移原理曲柄连杆机构曲柄连杆机构曲柄连杆机构曲柄连杆机构式式中中xA，yA和和xB，yB分分别别为为A，B两两点点的的直直角角坐坐标标。上上述述方方程程表表明明这这四四个个坐坐标标并并非非都都独独立立。可可以以消消去去其其中中的的某某三三个个，从从而而只只剩剩下下一一个个独独立立坐坐标标，这一坐标完全确定了此质点系的位置。这一坐标完全确定了此质点系的位置。以后我们改称系统的位置为以后我们改称系统的位置为以后我们改称系统的位置为以后我们改称系统的位置为位形位形位形位形。这个质点系的约束方程可表示成这个质点系的约束方程可表示成yxOlABr 约束实例约束实例约束实例约束实例6-2约束和约束方程约束和约束方程第六章第六章 虚位移原理虚位移原理曲曲曲曲 面面面面 图图示示质质点点A在在曲曲面面上上运运动动，质质点点A的的约约束束方方程程就就是是曲曲面面的的曲面方程：曲面方程：A（x,y,z)xyz6-2约束和约束方程约束和约束方程xyz 约束实例约束实例约束实例约束实例第六章第六章 虚位移原理虚位移原理其约束方程的一般形式为其约束方程的一般形式为按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：1.1.完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束式中式中n为系统中质点的个数，为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。为约束方程的数目。显显含含坐坐标标对对时时间间的的导导数数的的约约束束方方程程是是微微分分方方程程，如如果果这这方方程程不不可可积积分分成成有有限限形形式式，则则相相应应的的约约束束称称为为非非完完整整约约束束（或或非非全全定定约约束束）只只要要质质点点系系中存在一个非完整约束，这个系统便称为中存在一个非完整约束，这个系统便称为非完整系统非完整系统。如如果果约约束束方方程程可可以以积积分分成成有有限限形形式式，则则这这样样的的约约束束称称为为完完整整约约束束。方方程程中中不不显显含含坐坐标标对对时时间间的的导导数数的的约约束束为为几几何何约约束束。当当然然，几几何何约约束束也也属属于于完整约束。几何约束的一般形式为：完整约束。几何约束的一般形式为：约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程三、约束的类型三、约束的类型第六章第六章 虚位移原理虚位移原理1.完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束完整约束完整约束yxA约束方程：约束方程：约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程第六章第六章 虚位移原理虚位移原理非完整约束非完整约束约束方程：约束方程：x，y、z 为球心坐标。为球心坐标。、为欧拉角。为欧拉角。约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程1.完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理非完整约束非完整约束 约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程1.完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 如如果果约约束束方方程程中中不不含含时时间间t，这这种种约约束束称称为为定定定定常常常常约约约约束束束束或或稳稳稳稳定约束定约束定约束定约束。2.定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束 如果约束方程中含时间如果约束方程中含时间t，这种约束称为这种约束称为非定常约束非定常约束非定常约束非定常约束或或不不不不稳定约束稳定约束稳定约束稳定约束。定常约束一般形式为定常约束一般形式为 约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程第六章第六章 虚位移原理虚位移原理定常约束定常约束非定常约束非定常约束 约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程2.定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理3 3双面约束和单面约束双面约束和单面约束 由不等式表示的约束称为由不等式表示的约束称为单面约束单面约束单面约束单面约束（或（或可离约束可离约束可离约束可离约束）。）。由等式表示出的约束称为由等式表示出的约束称为双面约束双面约束双面约束双面约束（或（或不可离约束不可离约束不可离约束不可离约束）。）。约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程第六章第六章 虚位移原理虚位移原理双面约束双面约束 约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程3 3双面约束和单面约束双面约束和单面约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理单面约束单面约束 约束类型约束类型约束类型约束类型6-2约束和约束方程约束和约束方程3 3双面约束和单面约束双面约束和单面约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理6-3 虚位移虚位移自由自由度度 虚位移 自由度第六章第六章 虚位移原理虚位移原理质点或质点系在质点或质点系在给定瞬时给定瞬时给定瞬时给定瞬时不破坏约束而为约束所许可不破坏约束而为约束所许可不破坏约束而为约束所许可不破坏约束而为约束所许可的的任何微小位移任何微小位移任何微小位移任何微小位移，称为质点或质点系的，称为质点或质点系的虚位移虚位移。真实位移真实位移真实位移真实位移 实际发生的位移，用实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学表示，它同时满足动力学方程、初始条件和约束条件方程、初始条件和约束条件。可能位移可能位移可能位移可能位移 约束允许的位移，用约束允许的位移，用r表示，它只需满足约束表示，它只需满足约束条件。条件。定定常常约约束束情情况况下下的的可可能能位位移移，非非定定常常情情况况下下假假想想约约束束“冻结冻结冻结冻结”时的可能位移，用时的可能位移，用 r表示。表示。虚位移也可表述为：虚位移也可表述为：虚位移虚位移虚位移虚位移6-3 虚位移虚位移自由自由度度一、虚位移一、虚位移第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 虚虚位位移移仅仅与与约约束束条条件件有有关关，在在不不破破坏坏约约束束情情况况下下，具具有有任任意意性性。而而实实位位移移是是在在一一定定时时间间内内真真正正实实现现的的位位移移，具具有有确确定定的的方方向向，它它除除了了与与约约束束条条件件有有关关外外，还还与与时时间间、主主动动力力以以及及运动的初始条件有关。运动的初始条件有关。虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：与与实实际际发发生生的的微微小小位位移移（简简称称实实位位移移）不不同同，虚虚位位移移是是纯纯粹粹几几何何概概念念，是是假假想想位位移移，只只是是用用来来反反映映约约束束在在给给定定瞬瞬时时的的性性质质。它它与与质质点点系系是是否否实实际际发发生生运运动动无无关关，不不涉涉及及运运动动时时间间、主动力和运动初始条件。主动力和运动初始条件。6-3 虚位移虚位移自由自由度度 虚位移虚位移虚位移虚位移第六章第六章 虚位移原理虚位移原理例如，一个被约束固定曲面上的质点，它的实际位移例如，一个被约束固定曲面上的质点，它的实际位移只是一个，而虚位移在它的约束面上则有任意多个。只是一个，而虚位移在它的约束面上则有任意多个。drrrr虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：6-3 虚位移虚位移自由自由度度 虚位移虚位移虚位移虚位移第六章第六章 虚位移原理虚位移原理在定常约束的情况下，约束在定常约束的情况下，约束性质不随时间而变，因此，实位性质不随时间而变，因此，实位移只是所有虚位移中的一个。但移只是所有虚位移中的一个。但对非定常约束，实位移不会和某对非定常约束，实位移不会和某个虚位移相重合。个虚位移相重合。约束方程约束方程实位移虚位移虚位移是约束被虚位移是约束被“冻结冻结冻结冻结”后此瞬时约束允许的无限小后此瞬时约束允许的无限小后此瞬时约束允许的无限小后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间位移，与时间位移，与时间位移，与时间t t的变化无关的变化无关的变化无关的变化无关 (t t 0 0)。可能位移虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：6-3 虚位移虚位移自由自由度度 虚位移虚位移虚位移虚位移第六章第六章 虚位移原理虚位移原理设有质点设有质点M被约束在斜面上运动，同时此斜面本身以匀速被约束在斜面上运动，同时此斜面本身以匀速v 作水平直线运动，这里，斜面构成了非定常约束。作水平直线运动，这里，斜面构成了非定常约束。vr rMMtdr rr rM t+t虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：6-3 虚位移虚位移自由自由度度 虚位移虚位移虚位移虚位移第六章第六章 虚位移原理虚位移原理虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移的区别：虚位移与实位移虚位移与实位移6-3 虚位移虚位移自由自由度度 虚位移虚位移虚位移虚位移第六章第六章 虚位移原理虚位移原理实位移实位移实位移实位移用用dr 表示表示，其投影用，其投影用dx，dy，dz 表示表示。虚位移虚位移虚位移虚位移用用r表示表示，其投影用，其投影用x，y，z 表示。表示。以上以上r和和x，y，z 表示表示等时变分等时变分。6-3 虚位移虚位移自由自由度度 虚位移虚位移虚位移虚位移第六章第六章 虚位移原理虚位移原理等时变分等时变分等时变分等时变分微微 分分等时变分等时变分等时变分运算与微分运算类似，但等时变分运算与微分运算类似，但t=0。将矢径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程将矢径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程将矢径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程将矢径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。确定虚位确定虚位确定虚位确定虚位移间的关系移间的关系移间的关系移间的关系6-3 虚位移虚位移自由自由度度第六章第六章 虚位移原理虚位移原理在在应应用用虚虚位位移移原原理理过过程程中中，求求出出系系统统各各虚虚位位移移间间的的关关系系是是关键，常用方法有：关键，常用方法有：1.1.几几几几何何何何法法法法 在在定定常常约约束束的的情情况况下下，实实位位移移是是虚虚位位移移的的一一个个，可可用用求求实实位位移移的的方方法法求求虚虚位位移移间间的的关关系系，特特别别是是实实位位移移正正比比于于速速度度，所所以以可可通通过过各各点点速速度度间间的的关关系系来来确确定定对对应应点点的的虚虚位位移移关关系。系。如如平平动动刚刚体体上上各各点点的的虚虚位位移移相相等等，定定轴轴转转动动刚刚体体上上各各点点虚虚位位移移与与其其到到转转轴轴的的距距离离成成正正比比；平平面面运运动动刚刚体体则则一一般般可可用用速速度度投影定理和速度瞬心法求两点虚位移间关系等。投影定理和速度瞬心法求两点虚位移间关系等。6-3 虚位移虚位移自由自由度度 确定虚位确定虚位确定虚位确定虚位移间的关系移间的关系移间的关系移间的关系第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 以图曲柄连杆机构为例，由于连杆由于连杆AB可作平面运动，其速度瞬心为点可作平面运动，其速度瞬心为点P。虚位移虚位移rA与与rB方向如图所示。方向如图所示。PyxOlABrr rAr rB所以虚位移所以虚位移rA与与rB大小间关系大小间关系为为6-3 虚位移虚位移自由自由度度 确定虚位确定虚位确定虚位确定虚位移间的关系移间的关系移间的关系移间的关系第六章第六章 虚位移原理虚位移原理2.2.解析法解析法解析法解析法对于较复杂的系统，各点的虚位移对于较复杂的系统，各点的虚位移间关系比较复杂，这时可建立一固定直角坐标系，将间关系比较复杂，这时可建立一固定直角坐标系，将系统放在一般位置，写出各点的直角坐标（表示为某系统放在一般位置，写出各点的直角坐标（表示为某些独立参变量的函数），然后进行变分运算，求及各些独立参变量的函数），然后进行变分运算，求及各点虚位移的投影。这种确定虚位移间关系的方法称为点虚位移的投影。这种确定虚位移间关系的方法称为解析法解析法。或或选选取取适适当当的的固固定定坐坐标标系系，写写出出约约束束方方程程并并进进行行变变分分，即即可可求求得各点的虚位移间的关系。得各点的虚位移间的关系。6-3 虚位移虚位移自由自由度度 确定虚位确定虚位确定虚位确定虚位移间的关系移间的关系移间的关系移间的关系第六章第六章 虚位移原理虚位移原理求变分，有求变分，有考虑到有关系，所以有考虑到有关系，所以有，所以有，所以有上面式子西给出了上面式子西给出了A，B 两点虚位移的投影两点虚位移的投影xA，yA、xB与虚位移与虚位移的关系。的关系。例如在图中，设曲柄长例如在图中，设曲柄长OA=r，连杆长连杆长AB=l。6-3 虚位移虚位移自由自由度度 确定虚位确定虚位确定虚位确定虚位移间的关系移间的关系移间的关系移间的关系yxOlABr则点则点A和和B的坐标为的坐标为第六章第六章 虚位移原理虚位移原理等时变分刚性杆例如图示单摆，约束方程为例如图示单摆，约束方程为6-3 虚位移虚位移自由自由度度 确定虚位确定虚位确定虚位确定虚位移间的关系移间的关系移间的关系移间的关系第六章第六章 虚位移原理虚位移原理一般情况，一个由一般情况，一个由n质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要3n个个坐标，即坐标，即xi，yi，zi（i=1，2,n）。）。如果系统受到有如果系统受到有s个完整约束，其个完整约束，其约束方程为约束方程为则系统的则系统的3n各坐标并不完全独立，只有各坐标并不完全独立，只有k=3n-s个坐标是独立的，故确个坐标是独立的，故确定该质点系的位形只需定该质点系的位形只需3n-s个坐标，我们说该质点系有个坐标，我们说该质点系有3n-s个自由度。因个自由度。因此，此，确定受完整约束的质点系位形的独立坐标数目称为系统的确定受完整约束的质点系位形的独立坐标数目称为系统的确定受完整约束的质点系位形的独立坐标数目称为系统的确定受完整约束的质点系位形的独立坐标数目称为系统的自由度自由度自由度自由度。自由度自由度自由度自由度6-3 虚位移虚位移自由自由度度二、自由度二、自由度第六章第六章 虚位移原理虚位移原理例如曲柄连杆机构：例如曲柄连杆机构：例如曲柄连杆机构：例如曲柄连杆机构：式中式中xA，yA和和xB，yB分别为分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这两点的直角坐标。上述方程表明这四个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，四个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，这一坐标完全确定了此质点系的位置。因此该质点系有这一坐标完全确定了此质点系的位置。因此该质点系有1个自由度。个自由度。这个质点系的约束方程可表示成这个质点系的约束方程可表示成6-3 虚位移虚位移自由自由度度 自由度自由度自由度自由度yxOlABr第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 点点M被限制在以固定点被限制在以固定点O为球为球心、心、l为半径的球面上运动。为半径的球面上运动。如取固定参考系如取固定参考系Oxyz,则则球面摆的球面摆的约束方程为约束方程为例如球面摆例如球面摆:质点质点质点质点MM的自由度的自由度的自由度的自由度？6-3 虚位移虚位移自由自由度度 自由度自由度自由度自由度olyzxM第六章第六章 虚位移原理虚位移原理6-4 虚功虚功理想约束理想约束 虚功 理想约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理力在虚位移上所做的功称为力在虚位移上所做的功称为虚功虚功虚功虚功，记为记为WW。因为虚位移是因为虚位移是假想位移，所以虚功也是假想的概念。假想位移，所以虚功也是假想的概念。一般来说，主动力和约束力都可以做虚功。一般来说，主动力和约束力都可以做虚功。6-4 虚功虚功理想约理想约束束因为虚位移是微小量，所以虚功计算与元功计算类似。因为虚位移是微小量，所以虚功计算与元功计算类似。例如力例如力F 在虚位移在虚位移r上所做的虚功为上所做的虚功为一、虚功一、虚功第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 如果质点系所受的约束力在任意虚位移上所做虚功之如果质点系所受的约束力在任意虚位移上所做虚功之和恒等于零，则这样的约束称为和恒等于零，则这样的约束称为理想约束理想约束理想约束理想约束。式中式中FNi 是作用在第是作用在第i个质点上的约束力。个质点上的约束力。故理想约束条件可表示成故理想约束条件可表示成6-4 虚功虚功理想约理想约束束二、理想约束二、理想约束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 这些约束包括固定的或运动着的光滑支撑面、铰链、这些约束包括固定的或运动着的光滑支撑面、铰链、始终拉紧而不可伸长的软绳、刚性连接，以及作纯滚动刚体始终拉紧而不可伸长的软绳、刚性连接，以及作纯滚动刚体所在的支撑面等等。所在的支撑面等等。理想约束是大量实际情况的理论模型。理想约束是大量实际情况的理论模型。理想约束是大量实际情况的理论模型。理想约束是大量实际情况的理论模型。理想约束理想约束理想约束理想约束 动能定理里曾列举了约束力在质点系实位移上元功之和动能定理里曾列举了约束力在质点系实位移上元功之和恒等于零的各种情况。由于在定常约束情况下，实位移可以恒等于零的各种情况。由于在定常约束情况下，实位移可以从虚功转化而来，彼此具有相同的几何性质，所以，那里所从虚功转化而来，彼此具有相同的几何性质，所以，那里所讲的各种情况也属于理想约束。讲的各种情况也属于理想约束。6-4 虚功虚功理想约理想约束束第六章第六章 虚位移原理虚位移原理6-5 虚位移原理虚位移原理虚位移原理应用虚位移原理解题的步骤第六章第六章 虚位移原理虚位移原理具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其平衡的必具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其平衡的必具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其平衡的必具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其平衡的必要和充分条件是：所有主动力在任何虚位移上的虚功之和等要和充分条件是：所有主动力在任何虚位移上的虚功之和等要和充分条件是：所有主动力在任何虚位移上的虚功之和等要和充分条件是：所有主动力在任何虚位移上的虚功之和等于零。于零。于零。于零。表达式为表达式为表达式为表达式为6-5 虚位移原理虚位移原理在实际应用时，常将式写成解析式，得相应的平衡条件在实际应用时，常将式写成解析式，得相应的平衡条件在实际应用时，常将式写成解析式，得相应的平衡条件在实际应用时，常将式写成解析式，得相应的平衡条件上式称为上式称为静力学普遍方程或虚功方程静力学普遍方程或虚功方程。一、虚位移原理一、虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 必要性证明必要性证明必要性证明必要性证明:由刚体静力学知，此时作用在系统内任一质点由刚体静力学知，此时作用在系统内任一质点Ai上上的主动力的主动力Fi和约束反力和约束反力FNi之矢量和必等于零，即满足条件之矢量和必等于零，即满足条件对每个质点选取虚位移对每个质点选取虚位移ri，则对应的虚功之和等于零，即则对应的虚功之和等于零，即证明证明:对全体对全体i求和，得求和，得由于理想约束的假设由于理想约束的假设，所以原式成立。，所以原式成立。6-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 充充充充分分分分性性性性证证证证明明明明：采采用用反反证证法法。设设在在条条件件下下质质点点系系并并不不平平衡衡，则则必必有有些些质质点点（至至少少一一个个）上上作作用用有有非非零零的的合合力力FRi=Fi+FNi，由由于于运运动动是是从从静静止止开开始始的，故它的实位移的，故它的实位移dri必与必与FRi同同向，所以向，所以FRi将做正功，即将做正功，即对全系统求虚功和，并考虑到理想约束条件，将得到对全系统求虚功和，并考虑到理想约束条件，将得到但是，在定常约束条件下，可取实位移但是，在定常约束条件下，可取实位移dri相相重合虚位移重合虚位移ri，于是有于是有它和原设条件式矛盾，可见，质点系中没有任可质点能在此条件下进入它和原设条件式矛盾，可见，质点系中没有任可质点能在此条件下进入它和原设条件式矛盾，可见，质点系中没有任可质点能在此条件下进入它和原设条件式矛盾，可见，质点系中没有任可质点能在此条件下进入运动，故充分性得证。运动，故充分性得证。运动，故充分性得证。运动，故充分性得证。证证证证 明明明明6-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理1.确定研究对象：常选定整体为研究对象；确定研究对象：常选定整体为研究对象；5.列出虚功方程并求解。列出虚功方程并求解。2.约束分析：是否理想约束？约束分析：是否理想约束？3.受力分析：受力分析：求主动力之间的关系或平衡位置时：只画主动力，求主动力之间的关系或平衡位置时：只画主动力，求约束反力时：解除约束，视约束反力作为主动力。求约束反力时：解除约束，视约束反力作为主动力。4.给出系统一组虚位移，找出它们之间的关系；给出系统一组虚位移，找出它们之间的关系；二、应用虚位移原理解题的步骤 证证证证 明明明明6-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题6-1曲曲柄柄连连杆杆机机构构静静止止在在如如图图所所示示位位置置上上，已已知知角角度度和和。不不计计机机构构自自身身重重量量，求求平平衡衡时时主主动动力力FA 和和FB 的大小应满足的关系。的大小应满足的关系。O OA AB BrF FA AF FB B 例题例题例题例题6-16-16-16-16-5 虚位移原理虚位移原理例题6-1第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 以以rA和和rB分分别别代代表表主主动动力力FA 和和FB 作用点的虚位移，如图所示。作用点的虚位移，如图所示。解：解：可见可见A，B 两点的虚位移大小之比等于两点的虚位移大小之比等于根据虚位移原理的平衡方程，有根据虚位移原理的平衡方程，有从而解得从而解得OABr rF FA AF FB BrrA ArrB B因因AB 是是刚刚杆杆，两两端端位位移移在在AB 上上的投影应相等，即的投影应相等，即 例题例题例题例题6-16-16-16-16-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理例例题题6-2连连杆杆AB长长为为l，杆杆重重和和滑滑道道、铰铰链链上上的的摩摩擦擦均均忽忽略略不不计计。求求在在图图示示位位置置平平衡衡时时，主主动动力力F1和和F2之间的关系。之间的关系。ylABxF1F2O6-5 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-26-26-26-2第六章第六章 虚位移原理虚位移原理系统为理想约束系统。系统为理想约束系统。由速度投影定理：由速度投影定理：由虚功原理：由虚功原理：lABxF1F2O应用几何法应用几何法应用几何法应用几何法解解:例题例题例题例题6-26-26-26-26-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理约束方程：约束方程：变分得：变分得：由虚功原理：由虚功原理：lABxF1F2O应用解析法应用解析法应用解析法应用解析法6-5 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-26-26-26-2第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题6-3已已知知图图所所示示结结构构，各各杆杆都都以以光光滑滑铰铰链链连连接接，且且有有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在在点点G作作用用一一铅铅直直方方向向的的力力F，求支座求支座B的水平约束反力的水平约束反力FBx。ABCDEGF F例例例例 题题题题 6-76-7 例题例题例题例题6-36-36-36-36-5 虚位移原理虚位移原理例题6-3第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-36-36-36-36-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理此此题题可可用用虚虚位位移移原原理理来来求求解解。用用约约束束力力FBx代替水平约束，并将代替水平约束，并将FBx当作主动力。当作主动力。其变分为其变分为因坐标因坐标设设B，G二点沿二点沿x，y的虚位移为的虚位移为xB和和yG，根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有(b)(b)(b)解：解：代入式代入式（a），得得ABCDEGF Fx xF FBxBxxxB ByyG Gy y(a)(a)(a)消去消去，解得解得6-5 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-36-36-36-3第六章第六章 虚位移原理虚位移原理如如果果此此题题在在G，C二二点点之之间间再再连连上上一一根根弹弹簧簧，弹弹簧簧刚刚度度为为k，且且在在图图示示瞬瞬时时弹弹簧簧已已有有伸伸长长量量0。此此弹弹簧簧对对G，C二二点点的的拉拉力力FG，FC为系统内力，如图所示。为系统内力，如图所示。其变分为其变分为令令s=GC，由图有由图有(c)(c)(c)ABCDEGF Fx xF FBxBxxxB ByyG Gy ysF FGGF FC C 讨论 例题例题例题例题6-36-36-36-36-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理消消去去，解解得得有有弹弹簧簧时时，B处处的的水水平平约约束束反力为反力为图示位置，弹簧有伸长量图示位置，弹簧有伸长量0，则弹簧拉则弹簧拉力为力为FC=FG=FCG=k0。当。当G，C二点间有相二点间有相对伸长的虚位移对伸长的虚位移s时，弹簧力所作虚功为负。时，弹簧力所作虚功为负。根据虚位移原理，根据虚位移原理，将式将式（b），（c）代入上式，注意代入上式，注意FCG=k0，得得ABCDEGF Fx xF FBxBxxxB ByyG Gy ysF FGGF FC C 例题例题例题例题6-36-36-36-36-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题6-4 如如图图所所示示三三铰铰拱拱，拱拱重重不不计计。试试求求在在力力F及及力偶矩力偶矩M作用下铰作用下铰B的约束力。的约束力。例例例例 题题题题 6-96-9ABMFCD6-5 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-46-46-46-4例题6-4第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-46-46-46-46-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-46-46-46-46-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理解：解：1.求求铰铰B的的水水平平约约束束力力。解解除除铰铰B的的水水平平约约束束，换换成成水水平平辊辊轴轴再再加加上上水水平平约约束束力力FBx，系统具有一个自由度。系统具有一个自由度。三三铰铰拱拱是是一一个个受受完完全全约约束束的的结结构构，使使用用虚虚位位移移原原理理时时，必必须须首首先先解解除除约约束束，赋赋予予运运动动自由度。自由度。虚位移原理给出：虚位移原理给出：给曲杆给曲杆AC一微小转角一微小转角，曲杆曲杆BC的转动的转动中心在中心在C*，可得各力作用点的虚位移分别为可得各力作用点的虚位移分别为FBxDABMFCaaaarDrBrCC*AB 例题例题例题例题6-46-46-46-46-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理2.求求铰铰B的的垂垂直直约约束束力力。解解除除铰铰B的的垂垂直直约约束束，换换成成垂垂直直辊辊轴轴再再加加上上垂垂直直约约束束力力FBy。给给杆杆AC一一微微小小转转角角，杆杆BC的的转转动动中中心心在在A，可可得得有有关关虚虚位位移为移为表示表示在在x轴的投影。虚位移原理给出轴的投影。虚位移原理给出BMFCAFByDrBrCrD 例题例题例题例题6-46-46-46-46-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理图片图片图片图片 讨论 例题例题例题例题6-46-46-46-46-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题6-5 如如图图所所示示为为连连续续梁梁。载载荷荷F1=800 N，F2=600 N，F3=1000 N，尺尺寸寸a=2 m，b=3 m，求求固固定定端端A的的约束力。约束力。a aa aa aa aa aa ab bA AB BC CD DE EF FG GH HF F1 1F F2 2F F3 3例例例例 题题题题 6-106-10 例题例题例题例题6-56-56-56-56-5 虚位移原理虚位移原理例题6-5第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-56-56-56-56-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理用几何法求各点的虚位移。由图可知：用几何法求各点的虚位移。由图可知：1.为为了了求求出出固固定定端端A的的约约束束力力偶偶MA，可可将将固固定定端端换换成成铰铰链链，而而把把固固定定端端的的约束力偶视作为主动力。约束力偶视作为主动力。(a)(a)解：解：ABCDEFGHF F1 1F F2 2F F3 3yF1yB1yG1yD1yH1yMMA A设设杆杆系系的的虚虚位位移移用用广广义义坐坐标标的的独独立立变分变分表示，有表示，有 例题例题例题例题6-56-56-56-56-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理因广义坐标的独立变分因广义坐标的独立变分为为任意微量任意微量代入式代入式(a)得得故故ABCDEFGHF F1 1F F2 2F F3 3yF1yB1yG1yD1yH1yMMA A 例题例题例题例题6-56-56-56-56-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-56-56-56-56-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理用几何法求各点的虚位移。因杆用几何法求各点的虚位移。因杆AB只能平动，故：只能平动，故：2.为为了了求求出出固固定定端端A的的约约束束力力FA，应应将将A端端约约束束换换成成铅铅直直滚滚轮轮，而而把把固固定定端的铅直约束力端的铅直约束力FA视作为主动力。视作为主动力。(b)(b)设设杆杆系系的的虚虚位位移移用用广广义义坐坐标标的的独独立立变分变分yA表示表示yABCDEFGHF F1 1F F2 2F F3 3yAyF2yB2yG2yD2yH2F FA A 例题例题例题例题6-56-56-56-56-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理代入式代入式（b）得得因因因因因因，故，故，故，故，故，故ABCDEFGHF F1 1F F2 2F F3 3yAyF2yB2yG2yD2yH2F FA A 例题例题例题例题6-56-56-56-56-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理 例题6-6 杠杠杆杆式式压压力力机机简简图图如如图图所所示示。手手柄柄O1A通通过过拉拉杆杆BC带带动动连连杆杆机机构构OCD，推推动动压压板板D进进行行挤挤压压。试试求求在在图图示示位位置置平平衡衡时时，垂垂直直于于手手柄柄的的主主动动力力F与与FN压力间的关系。压力间的关系。O OO O1 1BACDlF FNNF F例例例例 题题题题 6-166-16 例题例题例题例题6-66-66-66-66-5 虚位移原理虚位移原理例题6-6第六章第六章 虚位移原理虚位移原理6-5 虚位移原理虚位移原理 例题例题例题例题6-66-66-66-6第六章第六章 虚位移原理虚位移原理根根据据刚刚体体不不变变形形的的性性质质，刚刚体体上上任任意意两两点的虚位移在两点连线上的投影必定相等。点的虚位移在两点连线上的投影必定相等。对于杆对于杆CD，有有选取机构为研究对象，图上仅画出作用选取机构为研究对象，图上仅画出作用在质点系上的主动力在质点系上的主动力F和和FN。rA，rB，rC和和rD分别表示分别表示A，B，C和和D点的虚位移，均画点的虚位移，均画在图上。在图上。主动力在虚位移的元功之和为零，有主动力在虚位移的元功之和为零，有F rA FN rD=0 (a)O OO O1 1BACDl lrArBrCrDF FNNF F解：解：例题例题例题例题6-66-66-66-66-5 虚位移原理虚位移原理第六章第六章 虚位移原理虚位移原理或或对于杆对于杆BC，有有(b)或或(c)(c)O OO O1 1BACDl lrArBrCrDF FNNF F 例题例题例题例题6-66-