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第六章第六章 习题课习题课一、主要内容一、主要内容二二、典型例题、典型例题一、主要内容一、主要内容（一）多元函数微分学（一）多元函数微分学（二二）二重积分）二重积分平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容（一、多元函数微分学）（一、多元函数微分学）全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念1 1、区域、区域（1）邻域）邻域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域）区域（3）聚点）聚点（4）n维空间维空间2 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数3 3、多元函数的极限、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质7 7、偏导数概念、偏导数概念、高阶偏导数、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.、全微分概念、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1010、全微分的应用、全微分的应用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.1212、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则1414、多元函数的极值、多元函数的极值定义定义多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二二重重积积分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三三重重积积分分（一）（一）二重积分二重积分1 1、二重积分的定义、二重积分的定义、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积的面积性质性质若在若在D上，上，特殊地特殊地性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型（）极坐标系下（）极坐标系下5 5、二重积分的应用、二重积分的应用 体积体积二、典型例题二、典型例题例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解于是可得于是可得,例例4 4解解例例5 5解解分析分析:得得例例6 6解解X-型型例例7 7解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图例例8 8解解例例9 9解解例例1010解解例例1111 证证自测题（一）自测题（一）自测题（一）答案自测题（一）答案自测题（二）自测题（二）自测题（二）答案自测题（二）答案