第四节 隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数.ppt

第四节第四节 隐函数的导数、隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定y是是x的函数的函数,由由表示的函数表示的函数，称为称为显函数显函数。例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定y是是x的函数的函数,对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此隐函数求导方法隐函数求导方法:（隐函数的显化）（隐函数的显化）将将将将y y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方看做中间变量，运用复合函数求导法则在方看做中间变量，运用复合函数求导法则在方看做中间变量，运用复合函数求导法则在方程两边直接对程两边直接对程两边直接对程两边直接对x x求导。求导。求导。求导。隐函数求导方法隐函数求导方法:两边对两边对x求导求导 (注意注意y=y(x)(含导数含导数 的方程的方程)例例1 方程方程 y=x lny 确定了函数确定了函数 y=y(x),求求 y .解解 方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导,得得 例例2 设设 sin(xy)-ln(x+y)=0 确定了函数确定了函数 y=y(x),求求 y .解解 方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导,把把 y 看成看成 x 的函数有的函数有解解 方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导,把把 y 看成看成 x 的函数有的函数有 例例3 设设 确定了函数确定了函数 y=y(x),求求 再由原方程知再由原方程知时，时，代入上式，得代入上式，得 例例4 方程方程 x 2+xy+y 2=4 确定了确定了y 是是 x 的函数求曲的函数求曲线上点线上点(2,2)处的切线方程处的切线方程.解解 方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导,得得 于是于是,点点(2,2)处的切线方程为处的切线方程为 即即 x y 4=0.2x+y+xy +2yy =0,y (2)=1 (x 2),例例5 求由方程求由方程函数函数 y 的二阶导数的二阶导数 y .所确定的隐所确定的隐解解 由隐函数求导法由隐函数求导法,得得上式两边再同时对上式两边再同时对 x 求导求导,得得 例例6 设设 y=y(x)由方程由方程所确定所确定,求求 y .解解 方程变形为方程变形为两边同时对两边同时对 x 求导求导,得得 上式两边再同时对上式两边再同时对 x 求导求导,得得 对于有些函数对于有些函数,使用对数求导法求导要比通常的使用对数求导法求导要比通常的方法简便方法简便.所谓对数求导法就是先在所谓对数求导法就是先在 y=f(x),的两的两边取对数边取对数,然后再用隐函数求导法求出然后再用隐函数求导法求出 y 的导数的导数.二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数对数求导法对数求导法适用于适用于多个函数相乘多个函数相乘或或幂指函数幂指函数幂指函数幂指函数求导。求导。例例6 y=x x(x 0),求求 y .解解 两边取对数两边取对数,得得 lny=xlnx.上式两边同时对上式两边同时对 x 求导求导,把把 y 看成看成 x 的函数的函数,得得,于是于是 y =y(1+lnx)=x x(1+lnx).上述方法实际上是对幂指函数求导的一般方法上述方法实际上是对幂指函数求导的一般方法,也可以按下列方法书写也可以按下列方法书写,y=x x=e x lnx,于是于是y =e x lnx (xlnx)=x x(lnx+1).例例7 设设 解解 显然函数是幂指函数，可采用对数求导法。为此显然函数是幂指函数，可采用对数求导法。为此先将方程两边取对数得先将方程两边取对数得上式两边同时对上式两边同时对 x 求导求导,把把 y 看成看成 x 的函数的函数,得得例例8 设设 x 1,x 2,3,4,解解 如果直接利用复合函数的求导公式求这个函数的如果直接利用复合函数的求导公式求这个函数的导数导数,将是很复杂的将是很复杂的.为此先将方程两边取对数得为此先将方程两边取对数得上式两边同时对上式两边同时对 x 求导求导,把把 y 看成看成 x 的函数的函数,得得例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得事实上，事实上，求求解：解：例例1 设设求在求在处的处的切线方程。切线方程。解解：切线方程：切线方程：例例例例2 2 已知摆线方程已知摆线方程已知摆线方程已知摆线方程已知已知注意注意:例例3.设设求求则有则有解解解：解：求求例例例例4 4 设设设设内容小结内容小结1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.对数求导法对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除，乘方，开方表示的函数连除，乘方，开方表示的函数3.参数方程求导法参数方程求导法 作业作业P91 1（1）（）（3）；）；2（2）；）；3（1）（）（4）；）；4（1）（）（4）例例5.5.设设,且且求求解解:一一般般地地,在在直直角角坐坐标标系系中中,如如果果曲曲线线上上任任意意一一点点的的坐坐标标 x、y 都是某个变量都是某个变量 t 的函数的函数 -(1)并并且且对对于于t 的的每每一一个个允允许许值值,由由方方程程组组(1)所所确确定定的的点点M(x,y)都都在在这这条条曲曲线线上上,那那么么方方程程组组(1)就就叫叫做做这这条条曲曲线线的的参参数数方方程程,联联系系x、y 之之间间的的变变数数 t 叫叫做做参参变变数数，简简称称为参数为参数.三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数时时,有有求求已知已知已知已知1 1、隐函数隐函数 前面我们遇到的函数表达式是，给出自变量前面我们遇到的函数表达式是，给出自变量 x的值的值时直接由一个公式求得因变量时直接由一个公式求得因变量 y 的值。这种方式表达的值。这种方式表达的函数叫做的函数叫做显函数显函数。如，。如，但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一个方程个方程 F(x,y)=0 表示的函数，这种函数称为表示的函数，这种函数称为隐函数隐函数。如，如，一、隐函数的导数一、隐函数的导数 一般的，如果变量一般的，如果变量 x 和和 y 满足方程满足方程 F(x,y)=0，在一定条件下，当在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应在某区间内任取一值时，相应的总有满足该方程的唯一的的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程值存在，那么就说方程 F(x,y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程例如，方程 当自变量当自变量 x 在在-1,1内取值时，变量内取值时，变量 y 有确定的值有确定的值与之对应；如果限定与之对应；如果限定y0，则当，则当 x=0 时，时，y=1.从方程中把因变量从方程中把因变量 y 解出来化成显函数的形式，叫解出来化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。做隐函数的显化。例如，在上半平面内例如，在上半平面内(y0)从方程从方程解出解出就把隐函数化成显函数。就把隐函数化成显函数。但并不是所有的隐函数都能被显化，如但并不是所有的隐函数都能被显化，如 由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x,y)=0确定一个函数确定一个函数 y=f(x)就是将此函数代入方程，则方程就是将此函数代入方程，则方程F(x,y)=F(x,f(x)0成为成为恒等式恒等式。例如，将函数例如，将函数代入方程代入方程就得到就得到 x 的恒等式的恒等式 也就是说，当方程中的也就是说，当方程中的 y 被看作隐函数时，方程就被看作隐函数时，方程就成为成为 x 的恒等式。关于的恒等式。关于 y 的表达式部分就看做是自变量的表达式部分就看做是自变量为为 x 的的复合函数复合函数 形式形式。2、隐函数的导数、隐函数的导数 对于容易显化的隐函数，在求其导数时可以显化后再对于容易显化的隐函数，在求其导数时可以显化后再求导求导.对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？例如例如 sin(xy)-ln(x+y)=0 确定了确定了y是是x的函数，求的函数，求隐函数求导方法隐函数求导方法:将将y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方看做中间变量，运用复合函数求导法则在方程两程两边直接对边直接对x求导。求导。例例3.设设求求则有则有求求解：解：例例例例4 4 设设设设