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CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学第第 八八 章章多元函数微分学多元函数微分学 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学复习复习、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学练习练习 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学5第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则主要内容主要内容一、复合函数的中间变量为一元函数；一、复合函数的中间变量为一元函数；二二、复合函数的中间变量为多元函数；复合函数的中间变量为多元函数；三、复合函数的中间变量为特殊情况三、复合函数的中间变量为特殊情况。CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学一、中间变量为一元函数一、中间变量为一元函数-链式法则链式法则 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学例例1解解:CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学例例2这是幂指函这是幂指函数的求导数的求导可利用可利用对数求导对数求导,可不可以用链式法则可不可以用链式法则?解解 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学解解 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：二、中间变量为多元函数二、中间变量为多元函数-链式法则链式法则 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学链式法则如图示链式法则如图示 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学解解 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学例例5 5设设 可微，求可微，求的偏导数。的偏导数。解：解：令令则由复合函数求偏导数的链式法则可得则由复合函数求偏导数的链式法则可得 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学复合高阶偏导数观点要观点要明确！明确！CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学例例6解：解：CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学例例7解：解：CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学解解令令记记同理有同理有多元抽象复合函数求导课本课本P28例例4 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学于是于是 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学例例9 9其中其中f(u,v)具有二阶连续偏导数。具有二阶连续偏导数。解解同理可求第二问，自己动手练习同理可求第二问，自己动手练习 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形三、中间变量为特殊情况三、中间变量为特殊情况-链式法则链式法则链式法则如图示链式法则如图示,CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学特殊地，设特殊地，设令令具有连续偏导数，其中具有连续偏导数，其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学解解例例1010 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学二二 全微分形式不变性全微分形式不变性 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学全微分形式不变性的全微分形式不变性的实质实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式的不变性全微分形式的不变性.CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学例例1111解解1：由全微分的不变性由全微分的不变性代入上式代入上式解解2 2的方法的方法如何做如何做？CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学解解 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学1 1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）小结小结 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学思考题解答思考题解答不相同。不相同。思考题思考题 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学作业：作业：P30 T2 T6 T8(1,3)T9 T12(3)CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学练习练习1 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学练练 习习 题题 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学练习题答案练习题答案 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学两边取对数两边取对数两边对两边对x求导求导 返回返回 CH8多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学返回返回