数学分析第十三章课件幂级数.ppt
第十三章第十三章 幂级数幂级数形如：形如：的函数项级数的函数项级数称为幂级数。称为幂级数。时为时为主要讨论后者主要讨论后者 1.1.收敛域？收敛域？2.2.一致收敛域？一致收敛域？3.3.和函数的性质？和函数的性质？4.4.函数展成幂函数函数展成幂函数？“无穷次无穷次”的多项式。的多项式。幂级数是一类特殊的函数项级数。幂级数是一类特殊的函数项级数。多项式的推广多项式的推广特别特别 13.1 13.1 幂级数的收敛半径与收敛域幂级数的收敛半径与收敛域问题：问题：（阿贝尔第一定理）（阿贝尔第一定理）在点在点 收敛，收敛，则对满足不等式则对满足不等式的一切点的一切点x，幂级数幂级数 都绝对收敛；都绝对收敛；i)若幂级数若幂级数在点在点 发散发散，则对满足不等式则对满足不等式的一切点的一切点x，幂级数幂级数 都发散。都发散。ii)若幂级数若幂级数定理中的定理中的r称为幂级数的收敛半径。收敛区间为称为幂级数的收敛半径。收敛区间为 对任意给定的幂级数，必存在唯一的对任意给定的幂级数，必存在唯一的r（r满满 足足使得幂级数在使得幂级数在绝对收敛，在绝对收敛，在发散。发散。考察幂级数考察幂级数 1）收敛半径都是）收敛半径都是1；3）(1)在在x=(2)(3)总之：对每一个幂级数，都存在一收敛半径总之：对每一个幂级数，都存在一收敛半径r，使得级数在，使得级数在内绝对收敛。但在两个端点的收敛性要做专门的讨论。内绝对收敛。但在两个端点的收敛性要做专门的讨论。2）都在（）都在（-1，1）绝对收敛；）绝对收敛；例例1的收敛半径的收敛半径均发散均发散，故，故(1)的收敛域为的收敛域为(-1,1).若幂级数：若幂级数：则幂级数的收敛半径则幂级数的收敛半径 r=求求 幂级数的收敛半径与收敛域。幂级数的收敛半径与收敛域。级数为级数为收敛，故收敛域为收敛，故收敛域为解解:由由故收敛半径等于故收敛半径等于 2。当。当x=2时，级数为时，级数为，发散；当，发散；当x=-2时时例例2求求的收敛半径与收敛域的收敛半径与收敛域不能用定理不能用定理13.3计算收敛半径计算收敛半径因此当因此当即即故级数发散。于是，级数收敛半径为故级数发散。于是，级数收敛半径为收敛域为收敛域为解：解：这个幂级数的偶次幂的系数这个幂级数的偶次幂的系数但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域：但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域：例例3，则对任意，则对任意b b：幂级数在幂级数在(2)(2)若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为 ，且幂级数在，且幂级数在(3)(3)若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为一致收敛。一致收敛。幂级数在什么地方一致收敛。幂级数在什么地方一致收敛。定理定理13.413.4（阿贝尔第二定理）（阿贝尔第二定理）(1)(1)若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为一致收敛；一致收敛；幂级数在幂级数在一致收敛；一致收敛；且幂级数在且幂级数在收敛，则收敛，则则幂级数在则幂级数在收敛，收敛，13.2 13.2 幂级数的性质幂级数的性质而而收敛，根据一致收敛的收敛，根据一致收敛的M判别法，知幂级数判别法，知幂级数在在一致收敛。一致收敛。,其中其中对任意对任意根据一致收敛的阿贝尔判别法知根据一致收敛的阿贝尔判别法知在在一致收敛。一致收敛。证明证明（1）由于）由于（2）已知）已知收敛，而收敛，而关于关于 n 单调下降，且单调下降，且推论推论1 若幂级数若幂级数的收敛半径为的收敛半径为，则它的和，则它的和证明：证明：由定理由定理13.4知，幂级数在知，幂级数在一致收敛，而一致收敛，而在在连续，因此和函数在连续，因此和函数在连续，由连续，由的任意性，知和的任意性，知和连续连续函数在函数在连续。连续。连续，连续，特别地在特别地在函数在函数在推论推论2 若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为且幂级数在且幂级数在 r 收敛，则收敛，则连续。特别地连续。特别地它的和函数在它的和函数在若幂级数若幂级数的收敛半径为的收敛半径为 r，和函数为，和函数为S(x)，即，即则幂级数在收敛区域区间内部可以逐项微商与逐项积分，即则幂级数在收敛区域区间内部可以逐项微商与逐项积分，即且（且（2)，(3)中的幂级数收敛半径仍然是中的幂级数收敛半径仍然是 r(3)(1)(2)（任意次可微）（任意次可微）的收敛半径为的收敛半径为则其和函数则其和函数在在内任意次可微，且内任意次可微，且等于等于逐项微商次所得的幂级数。逐项微商次所得的幂级数。若幂级数若幂级数幂级数幂级数 在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的,对每个幂级数，都存在收敛半径对每个幂级数，都存在收敛半径幂级数幂级数 在在(-r,+r)内绝对收敛，在内绝对收敛，在 发散发散,但在要具体分析；但在要具体分析；(i)(ii)(iii)且收敛半径不变；且收敛半径不变；幂级数幂级数 在收敛区间内部所表示的函数是任意次可在收敛区间内部所表示的函数是任意次可微的。微的。前面的讨论，都是从幂级数出发，看它所表示的函前面的讨论，都是从幂级数出发，看它所表示的函数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看它数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看它能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究函能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究函数。数。收敛到函数收敛到函数如果幂级数如果幂级数在在1.1.满足什么条件满足什么条件,就可以展开成幂级数？就可以展开成幂级数？2.2.若可以展开的话，展开式是什么形式？若可以展开的话，展开式是什么形式？13.313.3函数的幂级数展开函数的幂级数展开问题：问题：即即则称则称在在可以展开成幂级数；可以展开成幂级数；如果如果则称则称在在可以展开成幂级数。可以展开成幂级数。(唯一性唯一性)在在那么必有那么必有（ii ii）如果函数）如果函数在在可以展开成可以展开成（i i）如果函数）如果函数可以展开可以展开成幂级数成幂级数幂级数展开的唯一性幂级数幂级数那么系数那么系数满足满足为为的麦克劳林级数，称的麦克劳林级数，称为为在在的泰勒级数。的泰勒级数。Taloy级数与麦克劳林级数通常称通常称若若一致有界，即存在一致有界，即存在，使，使则则在在可以展开成幂级数可以展开成幂级数的各阶微商在的各阶微商在证明：用拉格朗日余项证明：用拉格朗日余项初等函数的幂级数展开（i i）e x 的展开式：的展开式：（ii）sin x 和和 con x 的展开式：的展开式：（iii iii）幂函数）幂函数 的展开式：的展开式：（iv）对数函数）对数函数 ln(1+x)的展开式：的展开式：已知已知根据逐项微分定理，得：根据逐项微分定理，得：例例3 3两边乘以两边乘以得得再逐项微商，有再逐项微商，有这样，通过逐项微分，我们可以得到许多新的级数展开这样，通过逐项微分，我们可以得到许多新的级数展开得得还可以计算很多特殊数项级数的和。还可以计算很多特殊数项级数的和。在上面两个级数中，令在上面两个级数中，令二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.内容小结内容小结 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等 初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）数项级数 求和四、函数的幂级数和付式级数展开法四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1.将函数展开成 x 的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:1.函数的幂级数展开法习题例例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证证:则由题设收敛收敛收敛例2.设正项级数和也收敛.提示提示:因存在 N 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n N 时例3.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取例例4.求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为例例5.解解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数=其收敛半径注意:补充题例1.设,将 f(x)展开成x 的幂级数,的和.(01考研)解解:于是并求级数解解:原式=的和.例2、求级数解解:(1)显然 x=0 时上式也正确,故和函数为而在x0例3、求下列幂级数的和函数：级数发散,(4)作业P93:2.3P110:1.2.3.
