数列的题目类型及方法总结.ppt
等比数列的前等比数列的前n项和项和(1)复习复习:等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式性质性质S Sn n+等差数列求和方法回顾等差数列求和方法回顾:(:(倒序相加倒序相加)n个相同的数国王赏麦的故事国王赏麦的故事 ，得中间各数均为0 使用公式求和时，需注意对使用公式求和时，需注意对 和和 的情况的情况加以讨论加以讨论注意：注意：借助和式的代数特征进行恒等变形借助和式的代数特征进行恒等变形当当q=1时时，当当q1时时，二.例题:例例1.求等比数列求等比数列1/2,1/4,1/8,的的前前8项的和项的和S8 答案:S8=255/256例例2.某制糖厂第某制糖厂第1年制糖年制糖5万吨，万吨，如果平均每年的产量比上一年如果平均每年的产量比上一年增加增加10，那么从第，那么从第1年起约几年起约几年內可使总产量达到年內可使总产量达到30万吨万吨（保留到个位）？（保留到个位）？解：根据题意，每年的产量组成一个等比数列解：根据题意，每年的产量组成一个等比数列aan n,n101.1=101.6 n=101.6/101.10.20/0.0415 答：约5年內可以使总产量达到30万吨。则a1=5,q=1+10=1.1,Sn=30,5(1-1.1n)/(1-1.1)=30 1.1n=1.6例3.求和:(x+)+(x2+)+(xn+)(x0,x 1,y1)1y1y21yn例例3 已知等比数列已知等比数列 ,求前求前8项的和项的和.小结：小结：等比数列求和公式：推导方法：错位相消法复习导入复习导入1.等比数列的定义等比数列的定义 an+1:an=q an=a1 q n 1 Sn=a1+a2+an Sn-1=a1+a2+an-1 an=Sn Sn-1 归纳要熟记公式：或练习.2或-38或18-6185知三求二练习练习2.等比数列前n项和公式的推导(一)用等比定理推导当 q=1 时 Sn=n a1因为所以(二)从基本问题出发 公式Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an =a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2)=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an)Sn=a1(1 q n)1 q (三)从(二)继续发散开有Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1 (*)qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn (*)两式相减有(1 q)Sn=a1 a1 q n.S n=.思考题：1）求数列nxn-1的前n项和,即 Sn=1+2x+3x2+nxn-1=?2）若数列an是等比数列,Sn是前n项的和，那么s3,s6-s3,s9-s6成等比数列吗？设kN*那么sk,s2k-sk,s3k-s2k成等比数列吗？I、复习回顾2、等比数列的通项公式1、等比数列的定义式：3、等比数列的性质这些你都记得吗?阳光国际高中部数学组 祝同学们国庆快乐！求数列通项的若干方法结束求数列前n项和的方法1.公式法：等差数列的前等差数列的前n n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 例例1：若实数：若实数a,b满足：满足：求：求：分析分析：通过观察，看出所求得数通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为列实际上就是等比数列其首项为a，公比为，公比为ab，因此由题设求出，因此由题设求出a,b，再用等比数列前，再用等比数列前n项和公项和公式求和式求和例例2 求和：求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)、例例3.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和（1）解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 （2）例例4、求和、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析分析这是一个等差数列这是一个等差数列n与一个等比数列与一个等比数列xn-1的的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？如何求呢？Sn=1+2x+3x2+nxn-1 xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1 -nxn n项这时等式的右边是一个等比数这时等式的右边是一个等比数列的前列的前n项和与一个式子的和，项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。这样我们就可以化简求值。错位相减法例例4、求和、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)解：解：Sn=1+2x+3x2+nxn-1xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn -，得：，得：(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn 1-(1+n)xn+nxn+11-x=Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x=-nxn4.裂项裂项相相消法消法（或（或拆项拆项法法）：若数列）：若数列 的的通项公式可拆分为某数列相邻两项之差的形通项公式可拆分为某数列相邻两项之差的形式即：式即：或（或（）则可用如下）则可用如下方法求前方法求前n项和项和 .例例.设设 是公差不为零的等差数列，是公差不为零的等差数列，满足满足 求它的前求它的前n项和项和常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：例例5、Sn=+1131351(2n-1)(2n+1)分析分析：观察数列的前几项：观察数列的前几项：1(2n-1)(2n+1)=（-）21 2n-11 2n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？项再求和，这种方法叫什么呢？拆项相拆项相消法消法113=（-213111）例例5、Sn=+1131351(2n-1)(2n+1)解：由通项解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)=（-）21 2n-11 2n+11Sn=（-+-+-)2131115131 2n-11 2n+11=（1 -）21 2n+11 2n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目有规律的抵消项，进而达到求和的目的。的。分母分母为为3的不可的不可约约分数之和分数之和为为 典型例题典型例题(1)已知已知 an=,求求 Sn;n(n+1)2 2n+1(2)已知已知 an=,求求 Sn;(2n-1)(2n+1)(2n)2 n2+2n n2+2n+12n2+2n 2n+1Sn=(3n+2)2n-1 Sn=3n-2n(公比为的等比公比为的等比数列数列)23(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1;法法1 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1)=n(1+2+3+n)-2 1+3 2+n(n-1)=n(1+2+3+n)-12+22+(n-1)2-1+2+(n-1)法法2 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n)而而 an=1+2+3+n=n(n+1).12(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1.(3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+(3n+1)Cn;0 1 2 3 n n(n+1)(n+2)6 2.分组求和法分组求和法()()：若数列若数列 的通项可转化为的通项可转化为 的形式，且数列的形式，且数列 ，可求出前可求出前n项和项和 ，则则规律概括：如果一个数列的通项可规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列到如下两种形式的数列.其一：通项公式为：其一：通项公式为：其二：通项公式为：其二：通项公式为：3.错位相减法错位相减法：设数列：设数列 是公差为是公差为d的等差数列（的等差数列（d不等于零），数列不等于零），数列 是公比为是公比为q的等比数列的等比数列(q不等于不等于1），），数列数列 满足：满足：则则 的的前前n项和为：项和为：
