《直线与平面》PPT课件.ppt

画法几何画法几何洛阳理工学院土木工程学院洛阳理工学院土木工程学院Luoyang Institute of Science and Technology School of Civil Engineering Descriptive Geometry洛阳理工学院网络课程第第5 5章章 直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面的相对位置的相对位置目 录 概述概述 5.1 5.1 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 5.2 5.2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 5.3 5.3 直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直第第5 5章章 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置 本章讲述的是直线与平面、平面与平面的相对几何关系。本章讲述的是直线与平面、平面与平面的相对几何关系。直线与平面、平面与平面的相对几何关系有：直线与平面、平面与平面的相对几何关系有：平行：平行：直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 相交：相交：直线与平面相交直线与平面相交 平面与平面相交平面与平面相交 垂直：垂直：直线与平面垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直平面与平面垂直5.1 5.1 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 几几何何条条件件 若若平平面面外外的的一一条条直直线线与与平平面面内内的的一一条条直直线线平平行行，则则该该直直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。一、直线一、直线 与平面平行与平面平行有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。平行。n a c b m abcmn例例5-15-1：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？正平线正平线例例5-25-2：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 例题例题例题例题5-3 5-3 5-3 5-3 试判断直线试判断直线试判断直线试判断直线ABABABAB是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面 若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行于另一平面上的对应平行于另一平面上的两相两相交直线交直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平相互平行，则它们行，则它们具有积聚性具有积聚性的那的那组投影必相互平行。组投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef二、平面与平面平行二、平面与平面平行两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。一平面的所缺投影。【例例5-45-4】判断判断ABCABC和平面和平面DEFGDEFG是否平行是否平行。XOcbaabcdgffedemnnmg例题例题5-5 5-5 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行例题例题5-6 5-6 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定。试过点给定。试过点K K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkk 5.2 5.2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交直线与平面不平行，则一定相直线与平面不平行，则一定相交于一点。交于一点。平面与平面不平行，则一平面与平面不平行，则一定交于一直线。定交于一直线。点击2次PABKABCMN交交 点点 直线和平面的直线和平面的共有点共有点交交 线线 两平面的两平面的共有线共有线（两个共有点）（两个共有点）P5.2 5.2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，交线是两平面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有点。交线上的点都是两平面的共有点。另外，在画法几何中平面图形通常被当作是不透明另外，在画法几何中平面图形通常被当作是不透明的，所以在投影图中还要表明直线被平面遮挡以及平面的，所以在投影图中还要表明直线被平面遮挡以及平面与平面互相遮挡的情况，即与平面互相遮挡的情况，即判断其投影的可见性。判断其投影的可见性。4-2 4-2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 一、直线与平面相交一、直线与平面相交利用直线或平面的某些投影有积聚性，求交点。利用直线或平面的某些投影有积聚性，求交点。1.1.直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。5.2 5.2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交（1 1）平面投影具有积聚性）平面投影具有积聚性交点交点“一眼可见一眼可见”abcmnc n b a m 例例5-75-7：求直线：求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，其是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该水平投影积聚成一条直线，该直线与直线与mnmn的交点即为的交点即为K K点的水点的水平投影。平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影上在平面前，故正面投影上k k n n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作作 图图k21（1 1）平面投影具有积聚性）平面投影具有积聚性交点交点“一眼可见一眼可见”abpa b p kk【例例5-85-8】一般位置直线一般位置直线ABAB与铅垂面与铅垂面P P相交，求作交点相交，求作交点K K。直观判别法可见性判别可见性判别OXkm(n)bm n c b a ac（2 2）直线投影有积聚性）直线投影有积聚性转化成转化成“面上定点面上定点”空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水平投为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点影积聚成一个点，故交点K K的水的水平投影也积聚在该点上。平投影也积聚在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；点位于平面上，在前；点位位于于MNMN上，在后。故上，在后。故k k 2 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点用面上取点法法m(n)bacdm a b c n d kk 121 2()ee【例例5-85-8】铅垂线铅垂线MNMN与平面与平面ABCDABCD相交，求作交点相交，求作交点K K。可见性判别可见性判别重影点判别法XOHMNKDFEABP辅助平面辅助平面badea b d e f f2.2.直线与平面都处于一般位置直线与平面都处于一般位置“包线作面包线作面”辅助平面辅助平面 投影面的垂直面投影面的垂直面HABPDFEMNK辅助平面法作图步骤辅助平面法作图步骤包含已知直线作辅助平面包含已知直线作辅助平面求辅助平面与已知平面的交线求辅助平面与已知平面的交线求此交线与已知直线的交点求此交线与已知直线的交点12mnn m baH用铅垂面作辅助面ABPDFEMNKdea b d e f fPHkk 1 2()利用交错直线的重影点判断直线各段的可见性利用交错直线的重影点判断直线各段的可见性:d kmnn m ba用正垂面作辅助面dea b e f fQVk 3 3 4()4 二、两平面相交二、两平面相交交线为两平面共有线交线为两平面共有线1.1.一般位置平面与特殊位置平面相交一般位置平面与特殊位置平面相交利用积聚性求交线利用积聚性求交线b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a a b b 与与e e f f 的交点的交点m m 、b b c c 与与f f h h 的交点的交点n n 即为两个共有点即为两个共有点的正面投影，故的正面投影，故m m n n 即即MNMN的的正面投影正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在FHFH上，点上，点在在BCBC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fhfh可可见，见，n2n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 例例5-105-10：求两平面的交线：求两平面的交线MNMN并判别可见性。并判别可见性。可通过正面投影直可通过正面投影直观地进行判别。观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，它们的正面投影都，它们的正面投影都积聚成直线。积聚成直线。交线必为一条交线必为一条正垂线正垂线，只要求得交线上的只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。一个点便可作出交线的投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例例5-115-11：求两平面的交线：求两平面的交线MNMN并判别可见性。并判别可见性。c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点的水平投影点的水平投影n n位于位于defdef的外面，说明点的外面，说明点N N位于位于DEFDEF所确定的平面内，但不所确定的平面内，但不位于位于DEFDEF这个图形内。这个图形内。所以所以ABCABC和和DEFDEF的交的交线应为线应为MKMK。nn m kmk 互交互交例例5-125-12：求两平面的交线并判别可见性。：求两平面的交线并判别可见性。【例例5-135-13】求一般位置平面求一般位置平面ABCABC与与铅垂面铅垂面Q Q的交线的交线KLKL。abqa b q c cklk l OX例例5-145-14如图如图a a所示，作三角形所示，作三角形ABCABC与铅垂的矩形与铅垂的矩形DEFGDEFG的交线，的交线，并表明可见性。并表明可见性。(a)已知条件已知条件(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解作三角形与铅垂矩形的交线作三角形与铅垂矩形的交线KLKL。判断并表明可见性：判断并表明可见性：在交线之右，三角形在前，矩在交线之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合处应是三角形可见，矩形不可形在后，正面投影重合处应是三角形可见，矩形不可见；在交线之左则相反。见；在交线之左则相反。方法方法1 1直线与平面求交点方法直线与平面求交点方法“包线作面包线作面”2.2.两个一般位置平面相交两个一般位置平面相交 求求两两平平面面交交线线的的问问题题可可以以看看作作是是求求两两个个共共有有点点的的问问题题,因因而而可可利利用用求求一一般般位位置置线线面面交交点点的的方方法法找找出出交交线线上上的的两两个个点点，将将其连线即为两平面的交线。其连线即为两平面的交线。mm bc c例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f fPHbc c例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f fQVmm nn 2 1 ()nmm n bc c例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f f1 2nmm n bc c例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f f343 4()XOPVmmQVllnn1(2)1 2abcdefabcdef例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。r rs sPVQVlkk l bc cd adea b e ff g h gh辅助平面辅助平面P、Q为特殊位置平面为特殊位置平面方法方法2 2 三面共点法求两平面交线三面共点法求两平面交线例例 求作平面求作平面 ABC ABC与一对平行直线与一对平行直线DEDE、F F所确定平面的交线。所确定平面的交线。V1 12 k 5 7 6 8 5 6 7 8k2k k2 5.3 5.3 直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直 直线与平面垂直、平面与平面垂直，是相交的特殊情况。直线与平面垂直、平面与平面垂直，是相交的特殊情况。一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 一直线如果同时垂直（含相交垂直和交错垂直）于平面上一直线如果同时垂直（含相交垂直和交错垂直）于平面上的相交两直线，则该直线与平面垂直的相交两直线，则该直线与平面垂直。MN 垂直于平面P MN 垂直于平面P MN 不垂直于平面P 反反之之，若若直直线线垂垂直直于于平平面面，则则该该直直线线垂垂直直于于平平面面上上的的所所有有直直线，当然也包括于平面上的投影面平行线。线，当然也包括于平面上的投影面平行线。图中直线图中直线AK AK 垂直于平垂直于平面面P P，垂足是点，垂足是点K K 。过垂足。过垂足K K在平面在平面P P上作水平线上作水平线BCBC和和正平线正平线DEDE。则，直线。则，直线AKAK垂垂直于直于BCBC和和DEDE。但但根根据据直直角角投投影影法法则则，在在水水平平投投影影中中akak应应垂垂直直于于bcbc或或P PH H；在在正正面面投投影影中中akak应垂直于应垂直于dede或或P PV V。结论结论：垂直于一平面：垂直于一平面的直线，其投影垂直于该的直线，其投影垂直于该平面上投影面平行线的相平面上投影面平行线的相应投影，因而也垂直于该应投影，因而也垂直于该平面的同面迹线。平面的同面迹线。例例4-18 4-18 过过ABC ABC 外一点外一点M M，作直线，作直线MN MN 垂直于该平面。垂直于该平面。解解：作作平平面面内内的的水水平平线线ADAD和和正正平平线线CECE，则则mnmn应应垂垂直直于于adad，mnmn应垂直于应垂直于cece。例例 过过M M点作直线点作直线MNMN垂直于平面垂直于平面ABCDABCD。bc caa b mm nn dd ee 例例 过点过点K K作平面垂直于直线作平面垂直于直线ABAB。baa b kk 1 122 例例4-19 4-19 给定平面给定平面ABCABC，试过定点，试过定点M M 作平面的法线作平面的法线abcabcmnn例例4-20 4-20 平行直线平行直线ABAB、CDCD确定一平面，直线确定一平面，直线MNMN是否垂直于是否垂直于该平面？该平面？cdabcdmnmnfef不垂直！不垂直！eba 例例4-214-21 已知直线已知直线MN MN 及直线外一点及直线外一点A A，试过点，试过点A A作一平面，作一平面，使该平面与已知直线使该平面与已知直线MN MN 相垂直，并求出垂足相垂直，并求出垂足K K。解：解：如果已知平面是特殊位置平面，则过已知点所作的垂线也如果已知平面是特殊位置平面，则过已知点所作的垂线也必定是特殊位置直线。例如：必定是特殊位置直线。例如：铅垂面的垂线是水平线正垂面的垂线是正平线正平面的垂线是正垂线例例4-234-23如图如图a a所示，过点所示，过点A A作正垂面三角形作正垂面三角形CDECDE的垂线的垂线ABAB和垂足和垂足B B，并确定点，并确定点A A与三角形与三角形CDECDE平面的真实距离。平面的真实距离。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解 如如果果某某平平面面包包含含一一条条垂垂直直于于另另一一平平面面的的直直线线，则则该该两两平平面互相垂直。面互相垂直。直线KL平面Q，则包含KL直线的所有平面如P1、P2、P3等，都垂直于平面Q。反之，与平面Q垂直的任何平面，如P1，一定包含有与平面Q垂直的直线，如KL。二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 例例4-244-24 试过点试过点M M 作平面垂直于作平面垂直于ABC ABC 平面。平面。2.包含此直线任作一平面，则所作平面必与已知平面垂直。包含直线MN的平面MND、MNE、MNF都垂直于已知平面ABC。解：解：1.过点M作一直线垂直于已知平面（MNABC）。例例4-264-26如图如图a a所示，过点所示，过点A A作一平面，平行于直线作一平面，平行于直线BCBC，垂直于三，垂直于三角形角形DEFDEF。(a)(a)已知条件已知条件解解(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果分析：分析：按直线与平面平按直线与平面平行和两平面垂直的几何行和两平面垂直的几何条件，只要所作的平面条件，只要所作的平面既包含过点既包含过点A的的BC的平的平行线，又包含过点行线，又包含过点A的的三角形三角形DEF的垂线，就的垂线，就能满足题目的要求。能满足题目的要求。过点过点A A作作AGAGBCBC：作作agagbcbc，agagbcbc，就，就作出了作出了AGAG的两面投影。的两面投影。过点过点A A作作AHAHDEFDEF：作：作DEFDEF平面上的平面上的一条水平线一条水平线D D和一和一条正平线条正平线D D。过。过a a作作ahahd d1 1，过，过aa作作ahahdd22，便，便作出了作出了AHAH的两面投影。的两面投影。两相交直线两相交直线AGAG和和AHAH所确定的平面所确定的平面AGHAGH即为所求。即为所求。例例4-274-27如图如图a a所示，检验两三角形所示，检验两三角形ABCABC与与DEFDEF是否垂直。是否垂直。解解分别在三角形分别在三角形DEF平面上平面上作水平线作水平线D和正平线和正平线D。过过b作作bg垂直于垂直于d2，与，与ac交得交得g；由；由g引投影连线，引投影连线，与与ac交得交得g，连，连b与与g。检验。检验bg是否与是否与d1垂直：如垂直：如bg与与d1垂垂直，则在三角形直，则在三角形ABC上能作上能作出一条直线出一条直线BG与三角形与三角形DEF相垂直，两三角形互相垂直；相垂直，两三角形互相垂直；否则，两三角形不垂直。否则，两三角形不垂直。结论：结论：bg垂直于垂直于d1，所，所以检定了三角形以检定了三角形ABC与与DEF是互相垂直的。是互相垂直的。例例 过点过点K K作一平面垂直平面作一平面垂直平面ABCDABCD。k kbaa b dcc d 121 2 ee 例例 判断下图中两平面是否垂直。判断下图中两平面是否垂直。baa b dcc d ee f fg g例例 判断下图中两平面是否垂直。判断下图中两平面是否垂直。baa b dcc d ee f f例例 完成矩形完成矩形ABCD的投影。的投影。baa b 1 12 2c d dcmm 2 例例 求点求点K到平面到平面ABC的距离。的距离。cbaa b kc k 21 1ll 求实长求实长距离实长距离实长kk a b c abcll c例例 求点求点C到直线到直线AB的距离。的距离。baa b kc k 22 1 1距离实长距离实长 -THE END-Thanks for watching Thanks for watching