《区间估计 》PPT课件.ppt

第第2 2.4.4节节 区间估计区间估计一、区间估计的概念一、区间估计的概念二、正态总体数学期望的置信区间二、正态总体数学期望的置信区间三、正态总体方差的区间估计三、正态总体方差的区间估计四、两个正态总体均值差的区间估计四、两个正态总体均值差的区间估计 五、两个正态总体方差比的区间估计五、两个正态总体方差比的区间估计六、单侧置信区间六、单侧置信区间七、非正态总体参数的区间估计七、非正态总体参数的区间估计一、区间估计基本概念一、区间估计基本概念1.问题的提出问题的提出点估计法：点估计法：不足之处：不足之处：例如例如问：问：很小很小较大较大 区间估计解决了上述问题，从而克服了点估区间估计解决了上述问题，从而克服了点估计的不足之处计的不足之处.2.置信区间与置信度置信区间与置信度定义定义2.11关于定义的说明关于定义的说明若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n)按按贝努利大数定理贝努利大数定理,当抽样次数充分大时，在这些当抽样次数充分大时，在这些区间中包含区间中包含 真值的频率接近置信度真值的频率接近置信度 1 ,即即例如例如 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间内内.这里有两个要求这里有两个要求:由定义可见，由定义可见，对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量)(X1,Xn)(X1,Xn)2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.如要求区间如要求区间长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.1.要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度保证可靠度的条件下尽可能提高精度.3.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(共共3步步)3 求解不等式求解不等式二、正态总体数学期望的置信区间二、正态总体数学期望的置信区间4 作等价变形作等价变形简写成简写成其置信区间的长度为其置信区间的长度为注注置信区间不唯一，但上述结论区间长度最小置信区间不唯一，但上述结论区间长度最小例例1 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了12 包糖包糖,称得重量称得重量(单单位位:克克)分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布,解解附表附表2-1附表附表2-22-2查表得查表得4 作等价变形作等价变形简写成简写成例例2解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋,称得称得重量重量(克克)如下如下:设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值试求总体均值附表附表3-13-1就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间,这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%.这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%.例例3解解附表附表3-3-2 2(续例续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布三、正态总体方差的区间估计三、正态总体方差的区间估计推导过程如下推导过程如下:根据第根据第1章第三节定理章第三节定理1.12可知可知进一步可得进一步可得:注意注意:在密度函数不对称时在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图).注注 此置信区间长度并非最短此置信区间长度并非最短例例4 (续例续例2)求例求例2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.解解代入代入公式公式得标准差的置信区间得标准差的置信区间附表附表4-14-1附表附表4-24-2四、两个正态总体均值差的区间估计四、两个正态总体均值差的区间估计本章将讨论两个总体本章将讨论两个总体均值差均值差和和方差比方差比的估计问题的估计问题.推导过程如下推导过程如下:为比较为比较,两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取随机地取型子弹型子弹10发发,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为随机随机地取地取型子弹型子弹20发发,得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为假设两总体都可认为近似地服从正态分布假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且由且由生产过程可认为它们的方差相等生产过程可认为它们的方差相等,求两总体均值求两总体均值差差信区间信区间.解解 由题意由题意,两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知),例例5五、两个正态总体方差比的区间估计五、两个正态总体方差比的区间估计推导过程如下推导过程如下:根据根据F分布的结构分布的结构,知知例例6(p69例例2.30)为了考察温度对某物体断裂强为了考察温度对某物体断裂强力的影响，在力的影响，在70度和度和80度分别重复做了度分别重复做了8次试验，次试验，测得的断裂强力的数据如下测得的断裂强力的数据如下(单位单位Pa):70度：度：20.5,18.8,19.8,21.5,19.5,21.0,21.2 80度：度：17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1解解附表附表5-15-1六、单侧置信区间六、单侧置信区间 但在某些实际问题中但在某些实际问题中,例如例如,对于设备、元件的对于设备、元件的寿命来说寿命来说,平均寿命长是我们希望的平均寿命长是我们希望的,我们关心的我们关心的是平均寿命是平均寿命 的的“下限下限”;与之相反与之相反,在考虑产品的在考虑产品的废品率废品率 p时时,我们常关心参数我们常关心参数 p的的“上限上限”,这就引这就引出了单侧置信区间的概念出了单侧置信区间的概念.1.单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义2.正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间注注 其他结果可以参见其他结果可以参见p70p70表表2 2.3.3.设从一批灯泡中设从一批灯泡中,随机地取随机地取10只作只作寿命试验寿命试验,测得样本寿命均值测得样本寿命均值(以小时计以小时计)为为1500h,样样本的修正均方差为本的修正均方差为 20h,设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布,求灯泡寿命平均值的置信度为求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限.解解例例7(p71例例2.31)解解例例8*七、非正态总体参数的区间估计七、非正态总体参数的区间估计1、利用渐近正态性取代精确分布、利用渐近正态性取代精确分布 由于统计量的精确抽样分布很难计算，因而由于统计量的精确抽样分布很难计算，因而通常可以利用近似分布取代精确分布。通常可以利用近似分布取代精确分布。一般总体均值的置信区间：一般总体均值的置信区间：首先回顾定理首先回顾定理1.18定理定理1.18由定理可得：由定理可得：由此可得总体期望由此可得总体期望置信度为置信度为1-置信区间为置信区间为这是因为这是因为 将这个结果代入置信区间公式即得参数将这个结果代入置信区间公式即得参数p的置信的置信区间区间 例例9(p72例例2.32)在试验的在试验的1000个电子元件中，共个电子元件中，共100个失效，试以个失效，试以99%的概率估计整批产品的实效率的概率估计整批产品的实效率.解解由题意可知，每个元件服从两点分布由题意可知，每个元件服从两点分布B(1,p),其中，其中，n=1000,m=100,1-=0.95,因而实效率因而实效率p的置信的置信区间为区间为例例10(p72例例2.33)设总体设总体X的分布密度为的分布密度为解解此分布为指数分布，容易证明此分布为指数分布，容易证明:但是，伽玛分布的上侧分位数很难找，因而需要但是，伽玛分布的上侧分位数很难找，因而需要做一定的变换才可以，不难证明做一定的变换才可以，不难证明:则有则有例例11(p73例例2.34)设总体设总体X服从服从(0,)上的均匀分布，上的均匀分布，解解又由于又由于同时我们知道同时我们知道则则 由此可见：由此可见：越小，精确度越高，越小，精确度越高，n越大，精确度越大，精确度越越大。大。再再 见见附表附表2-2标准正态分布表标准正态分布表z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表附表3-2=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208分布表分布表2.2010附表附表5-1 1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 3.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38199.519.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 5.55 3.52215.719.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.81 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13224.619.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90230.219.30 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74234.019.33 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63236.819.35 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54238.919.37 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.4824.0519.38 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 2.65 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42241.919.40 8.79 5.96 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 2.60 2.54 2.49 2.45 2.41 2.38245.919.43 8.70 5.86 4.62 3.94 2.51 3.22 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23248.019.45 8.66 5.80 4.56 3.87 3.44 3.15 2.94 2.77 2.65 2.54 2.46 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.16249.119.45 8.64 5.77 4.53 3.84 3.41 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11250.119.46 8.62 5.75 4.50 3.81 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 5.47 2.38 2.31 2.25 2.19 2.15 2.11 2.07151.119.47 8.59 5.72 4.46 3.77 3.34 3.04 2.83 2.66 2.53 2.43 2.34 2.27 2.20 2.15 2.10 2.06 2.03252.219.48 8.57 5.69 4.43 3.74 3.30 3.01 2.79 2.62 2.49 2.38 2.30 2.22 2.16 2.11 2.06 2.02 1.98253.319.49 8.55 5.66 4.40 3.70 3.27 2.97 2.75 2.58 2.45 2.34 2.25 2.18 2.11 2.06 2.01 1.97 1.93254.319.50 8.53 5.63 4.36 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54 2.40 2.30 2.21 2.13 2.07 2.01 1.96 1.92 1.883.79分布表分布表