线性代数23向量组的秩.ppt
2.3 2.3 向量组的秩向量组的秩(rank)(rank)向量组向量组 线性相关。线性相关。引例引例部分组部分组 线性无关，能够线性表示原线性无关，能够线性表示原 向量组中的所有向量。向量组中的所有向量。其中，向量其中，向量是是“多余的多余的”11、定义、定义 向量组向量组 的的部分组部分组 满足满足(1)线性无关线性无关；(2)原向量组中的原向量组中的任一向量任一向量都可由都可由 线性表示，线性表示，称部分组称部分组 是向量组是向量组 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组，简称，简称极大无关组极大无关组。【注】【注】(2)(2)任取原向量组中的一个向量添任取原向量组中的一个向量添加到该部分组中，所得新的部分组一定线性相关。加到该部分组中，所得新的部分组一定线性相关。一、极大线性无关组一、极大线性无关组注注书中定义书中定义:(2)的的印刷有误。印刷有误。2【注】【注】极大无关组满足的条件：极大无关组满足的条件：是原向量组的部分组；是原向量组的部分组；线性无关；线性无关；能表示向量组中任一向量。能表示向量组中任一向量。【理解】【理解】极大无关组是该向量组的线性无关的部分极大无关组是该向量组的线性无关的部分组中含向量个数最多的。组中含向量个数最多的。32、概念理解、概念理解(1)极大无关组的存在性？极大无关组的存在性？仅含仅含O向量的向量组，无极大无关组。向量的向量组，无极大无关组。含非含非O向量的向量组，必有极大无关组。向量的向量组，必有极大无关组。线性无关向量组，其极大无关组为其本身。线性无关向量组，其极大无关组为其本身。(3)极大无关组的唯一性？极大无关组的唯一性？求向量组求向量组 极大无关组极大无关组.引例引例(4)若一个向量组有两个极大无关组，它们之间若一个向量组有两个极大无关组，它们之间 是何关系？是何关系？(2)如果向量组中含基本单位向量组如果向量组中含基本单位向量组 ，其即是一个非常漂亮的极大无关组其即是一个非常漂亮的极大无关组.No！41、向量组等价、向量组等价 向量组向量组若若(I)中每一个向量都可由中每一个向量都可由（II）线性）线性表示，称向表示，称向量组量组(I)可由可由（II）线性表示；）线性表示；若若(I)和和(II)可以相互线性表示，称可以相互线性表示，称(I)和和(II)等等价价，记做记做(I)(II),或或 （I）（II）二、向量组的秩二、向量组的秩5例例1 判断下列两个向量组是否等价判断下列两个向量组是否等价?解解61)反身性：反身性：(I)(I)2)对称性：对称性：(I)(II)(II)(I)3)传递性：传递性：(I)(II)及及(II)(III)(I)(III)2、向量组等价的基本性质、向量组等价的基本性质73、向量组与其极大无关组的关系、向量组与其极大无关组的关系定理定理1 任一向量组与其极大无关组等价。任一向量组与其极大无关组等价。推论推论 任一向量组的两个极大无关组等价。任一向量组的两个极大无关组等价。向量组向量组 极大无关组极大无关组【示意】【示意】定义定义（传递性）（传递性）向量组向量组 极大无关组极大无关组(I)向量组向量组 极大无关组极大无关组(II)(I)(II)84、线性表示、线性关系、向量个数的有关结论、线性表示、线性关系、向量个数的有关结论定理定理2 设向量组设向量组（I）（II）向量组向量组(I)可以由向量组可以由向量组(II)线性表示，在此前线性表示，在此前提下，若提下，若 s t，则向量组，则向量组(I)线性相关。线性相关。【逆否命题】【逆否命题】设向量组设向量组(I)可以由向量组可以由向量组(II)线性表线性表示，在此前提下，若向量组示，在此前提下，若向量组(I)线性无关，则线性无关，则 s t。9例例1（续）（续）实例验证定理实例验证定理2(I)(II)10推论推论1 两个两个等价等价的的线性无关线性无关向量组，所含向量组，所含向量的个数相等。向量的个数相等。推论推论2 向量组的任意两个极大无关组，所含向量组的任意两个极大无关组，所含向量的个数相等。向量的个数相等。【评注】【评注】向量组的向量组的极大无关组所含向量的个数极大无关组所含向量的个数，应该，应该是向量组的一个本质属性，不会因为极大无是向量组的一个本质属性，不会因为极大无关组的不同而改变。关组的不同而改变。向量组的极大无关组是该向量组的线性无关向量组的极大无关组是该向量组的线性无关的部分组中的部分组中含向量个数最多的。含向量个数最多的。11定义定义 向量组向量组 的极大无关组所的极大无关组所含向量的个数，称为含向量的个数，称为向量组的秩（向量组的秩（rank），记做记做【重要结论】【重要结论】(1)仅含仅含O向量的向量组，秩为向量的向量组，秩为0。(2)向量组向量组 线性线性无关无关5、向量组的秩、向量组的秩(rank)(3)向量组向量组 线性线性相关相关【评注】【评注】可以利用秩与向量组中所含向量的个数可以利用秩与向量组中所含向量的个数判断向量组的线性关系。判断向量组的线性关系。12(4)s 个个 n 维向量维向量 ，有，有【重要结论】【重要结论】【注】【注】若若 sn，则向量组一定线性相关。则向量组一定线性相关。(5)s 个个 n 维向量维向量 ，若，若sn，且，且则其极大无关组则其极大无关组 可以线性表可以线性表示任意一个示任意一个n 维向量，从而与维向量，从而与 n 维基本单位向维基本单位向量组量组 等价，进而有等价，进而有 13定理定理3 等价向量组的秩相等。等价向量组的秩相等。【注】【注】逆命题不成立，即逆命题不成立，即“秩相等的向秩相等的向量组不一定等价量组不一定等价”，请举例。，请举例。等价的向量组有相同的线性关系吗？等价的向量组有相同的线性关系吗？不一定，请举例。不一定，请举例。如何求一个向量组的秩，将在如何求一个向量组的秩，将在2.42.4介绍。介绍。5、向量组的秩、向量组的秩(rank)14例例2 设设证明证明:与与 有相同的秩有相同的秩.解析解析 证两向量组等价证两向量组等价,则秩相等则秩相等.15例例3 下列两向量组是否等价？下列两向量组是否等价？与与解析解析 两向量组都线性无关，则秩都是两向量组都线性无关，则秩都是3 3，对由，对由3 3维向维向量构成的向量组量构成的向量组,若秩为若秩为3 3，根据重要结论，都与，根据重要结论，都与3 3维维的基本单位向量组等价，从而的基本单位向量组等价，从而两个向量组等价两个向量组等价.16例例4若向量组：若向量组：可由向量组：可由向量组：线性表示，则必有（线性表示，则必有（）Ast BstC r（）r（）D r（）r（）（I）（II）C【注】【注】可以作为结论使用可以作为结论使用(即课后即课后21题的结论题的结论)：若若()可被可被()线性表示，则线性表示，则 r()r().17课后习题课后习题 P86 15,16,1718 2118
