随机变量及分布[概率与统计.pptx

第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布引引 言言 在第一章里，我们研究了在第一章里，我们研究了随机事件及其概率随机事件及其概率，通过随机事件的概率计，通过随机事件的概率计算初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法然算初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法然而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想通过随而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规律性显得很不方便机事件概率的计算来达到了解随机现象的规律性显得很不方便 本章，我们将引进概率论中的一个重要概念本章，我们将引进概率论中的一个重要概念随机变量随机变量使使随机试验随机试验的结果数量化的结果数量化，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象 本章我们将主要介绍本章我们将主要介绍:随机变量的概念随机变量的概念 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第一节第一节随机变量的概念随机变量的概念随机变量概念的引入随机变量概念的引入引入随机变量的意义引入随机变量的意义随机变量的分类随机变量的分类(1)有些随机试验中，试验结果本身与数值有关（本身就是一有些随机试验中，试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数）.例如，掷一颗骰子例如，掷一颗骰子观察其朝上面出现的点数观察其朝上面出现的点数；一、随机变量概念的引入一、随机变量概念的引入 每次出现的结果与一个数值对应，分别由每次出现的结果与一个数值对应，分别由1,1,2 2,3,3,4 4,5,5,6 6来表示；来表示；(2)(2)在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但可以指定一在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但可以指定一个数量来表示它的各种结果个数量来表示它的各种结果.也就是说，可把也就是说，可把试验结果数值化试验结果数值化.例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,考察其正面和反面朝上的情况考察其正面和反面朝上的情况可规定可规定:用用1 1表示表示“正面朝上正面朝上”，用，用0 0表示表示“反面朝上反面朝上”。结论结论：不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数单值函数.定义域为样本空间定义域为样本空间，取值为实数，取值为实数.X()R这即为所谓的这即为所谓的随机变量随机变量随机变量的定义随机变量的定义定义定义1.1设随机试验设随机试验E的样本空间为的样本空间为，对于任意的，对于任意的,X=X()是定义在是定义在上的单值实值函数，则称上的单值实值函数，则称X=X()为一个定义为一个定义在在上的随机上的随机变量（变量（RandomVariable），简记为），简记为X通常用大通常用大写字母写字母,或希腊字母或希腊字母 ,等表示等表示.（1 1）X X是一个变量是一个变量,它的取值随试验结果而改变，由于它的取值随试验结果而改变，由于事事先不能确定，故有随机性；先不能确定，故有随机性；（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，故随机变量）由于试验结果的出现具有一定的概率，故随机变量X取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.说明说明：(3)随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,或希腊字母或希腊字母,等表示等表示,而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z,w,等等.例例1 1 试验试验E E电话台单位时间内收到的电话台单位时间内收到的用户呼唤次数用户呼唤次数。记呼唤次记呼唤次数为数为 X(k)=k(k=0,1,2,X(k)=k(k=0,1,2,)，则则 X X 是一个随机变量，其所有可能是一个随机变量，其所有可能取值为取值为0 0，1 1，2 2，,(,(X=i)X=i)代表相应的基本事件（样本点）。代表相应的基本事件（样本点）。例例2 2 试验试验E E某地区某段时间内的某地区某段时间内的气温气温。则。则任一时刻的气温值任一时刻的气温值X X 是一个随机变量，且其所有可能的取值为是一个随机变量，且其所有可能的取值为 a a，bb。（。（X=i X=i）即为一即为一基本事件（样本点）。基本事件（样本点）。例例3 3 试验试验E E检验检验产品质量产品质量，每次出现的结果虽不和数值对应，每次出现的结果虽不和数值对应，我们可以人为的定义一个数值来代表相应的一个基本事件（样本点）我们可以人为的定义一个数值来代表相应的一个基本事件（样本点），如，如“1”“1”代表代表“合格品合格品”，“0”“0”代表代表“次品次品”这样，可引进一个这样，可引进一个随机变量随机变量 X X，它的取值为它的取值为0 0，1 1。随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后，引入随机变量后，随机试验中的各种事随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.对对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件A收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫B没有收到呼叫没有收到呼叫X1X=0而有而有P(A)=PX1P(B)=PX=0再如：再如：E掷色子，随机变量掷色子，随机变量X表示朝上面的点数。表示朝上面的点数。则：则：P（X 1）=1/6，P（X 2）=2/6，P（X 5.7）=5/6，P（X 0）=0，P（X 6）=1，P（X 13.3）=1，P（X-4.12）=0三、随机变量的分类三、随机变量的分类按照随机变量的取值情况可把其分为两类：按照随机变量的取值情况可把其分为两类：离散型随机变量离散型随机变量：随机变量：随机变量X X的全部取值只有有限个或无限可的全部取值只有有限个或无限可列个。如列个。如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.非离散型随机变量非离散型随机变量：随机变量：随机变量X X的全部取值不能一一列出。的全部取值不能一一列出。其其中中最最重重要要的的是是续续型型随随机机变变量量（随随机机变变量量X X的的取取值值连连续续地地充充满满某某个个区区间间或或整整个个数数轴轴），例例如如，“电电视视机机的的寿寿命命”，实实际际中中常常遇遇到的到的“测量误差测量误差”等等.对于对于随机变量随机变量，我们主要关心如下两件事：，我们主要关心如下两件事：1 1随机变量的取值范围是什么？随机变量的取值范围是什么？2 2它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少？它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少？关于这个问题，将在下面几节中，按离散型随机变量和连关于这个问题，将在下面几节中，按离散型随机变量和连续性随机变量分别进行研究续性随机变量分别进行研究.第二节 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量定义离散型随机变量定义离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布几种常见的几种常见的离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率分布分布定义：若随机变量定义：若随机变量X的所有可能取值是的所有可能取值是有限多个有限多个或或可列无限多个可列无限多个,则称则称X为为离散型随机变量离散型随机变量.一、离散型随机变量定义一、离散型随机变量定义例如：例如：1、设、设X表示抛三次硬币的试验中出现正表示抛三次硬币的试验中出现正面朝上的次数面朝上的次数.X的可能取值为的可能取值为0，1，2，3.2、设、设Y表示表示120急救电话台一昼夜收到的呼次数急救电话台一昼夜收到的呼次数则则Y的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,X和和Y都是离散型随机变量都是离散型随机变量若离散型随机变量若离散型随机变量X X所有可能的取值为所有可能的取值为 x 1,x 2,对应的概率为对应的概率为p 1,p 2,。即：即：P(X=x i)=p i ,i=1,2,(1)则称式则称式(1)为随机变量为随机变量X X 的的概率分布律，简称为概率分布概率分布律，简称为概率分布或或分布律分布律。定义定义2.12.1概率分布也可用下面的表格形式（概率分布表）表示：概率分布也可用下面的表格形式（概率分布表）表示：X X x1x2x iP(X X=x x i)p1p2pi 二二.离散型随机变量的概率分布律离散型随机变量的概率分布律离散型随机变量的概率分布反映了随机变量的离散型随机变量的概率分布反映了随机变量的所有可能取值所有可能取值及其取及其取每个可能值的每个可能值的概率概率，因此，离散型随机变量可完全由其分布律来刻划，因此，离散型随机变量可完全由其分布律来刻划分布律的性质分布律的性质：(1)(1)pi0，i =1,2,=1,2,；(2)用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律确定未知参数确定未知参数概率函数的应用概率函数的应用I-I-确定未知常数确定未知常数解解:依据分布律的性质依据分布律的性质P(X=k)0,a0,从中解得从中解得即即例例1设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数a.P37Ex1P56 Ex(7)P56 Ex(7)概率函数的应用概率函数的应用II-II-求概率求概率若离散型随机变量若离散型随机变量X X的的概率分布为：概率分布为：P(X=x i)=p i ,i=1,2,例例2 2 设设X的分布律为的分布律为求求P(0X2)P(0X2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3解解 即分布律确定概率即分布律确定概率表明：表明：事件事件“X满满足某一条件足某一条件”的概率的概率就是把满足条件的就是把满足条件的xi所对应的概率所对应的概率pi相加。相加。概率函数的求法概率函数的求法：步骤步骤I I.确定随机变量及其所有可能取值；确定随机变量及其所有可能取值；步骤步骤IIII.确定随机变量所有可能取值的概率，列表。确定随机变量所有可能取值的概率，列表。例例1 1（课本（课本P32P32）盒中有）盒中有3 3件产品，其中有一件次品。每次从盒中件产品，其中有一件次品。每次从盒中任取一件产品，做不放回抽样，直到取到次品为止。求取产品任取一件产品，做不放回抽样，直到取到次品为止。求取产品件数的概率分布。件数的概率分布。解解：设取产品件数记为：设取产品件数记为X X，则则X=1X=1，2 2，3 3P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X X的概率分布为：的概率分布为：例例2.2.社会上发行的一种福利奖券，每期中奖率皆为社会上发行的一种福利奖券，每期中奖率皆为0.0010.001，每，每券售券售2 2元。某人每期购买一张奖券，如果没有中奖下次再继续购元。某人每期购买一张奖券，如果没有中奖下次再继续购买买1 1张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数X X的概率分布。的概率分布。解解：X X的取值的取值1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，设设i=第第i次次购购买买的的1张张奖奖券券中中了了奖奖，事事件件X=k表表示示“前前k-1 次未中奖，第次未中奖，第k 次中奖次中奖”，则，则而而每每次次中中奖奖与与否否又又是是相相互互独独立立的的，故故出出现现事事件件X=k的的概率可利用事件的独立性求得：概率可利用事件的独立性求得：课本课本P37P37第第3 3题题例例3 3 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中为止。如果第一名两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中为止。如果第一名队员投中的概率为队员投中的概率为0.40.4，第二名队员投中的概率为，第二名队员投中的概率为0.60.6，设两名，设两名队员命中与否互不影响，求每名队员投篮次数的概率分布。队员命中与否互不影响，求每名队员投篮次数的概率分布。解解：设设X，Y分分别别表表示示第第一一名名队队员员和和第第二二名名队队员员的的投投篮篮次次数数，则则X=1，2，3，4，5，;Y=0，1，2，3，4，5，.事事件件X=k表表示示：第第一一名名队队员员前前k-1 次次未未投投中中，第第k 次次投投中中，同同时时第第二二名名队队员员前前 k-1 k-1 次次未未投投中中；或或者者第第一一名名队队员员前前k k次次未未投投中中，第二名队员前第二名队员前 k-1 k-1 次未投中，第次未投中，第 k k 次投中次投中.事事件件Y=k表表示示：第第一一名名队队员员前前k次次未未投投中中，同同时时第第二二名名队队员员前前k-1 次次未未投投中中,第第k 次次投投中中；或或者者第第一一名名队队员员前前k次次未未投投中中，第第二二名队员前名队员前k次未投中，次未投中，第一名队员第一名队员第第k+1 次投中次投中.则则 补例补例 一批零件中有一批零件中有7 7个正品，个正品，3 3个次品。安装机器时从这批个次品。安装机器时从这批零件中任取一个，若取到正品，则停止抽取；若取到次品，则零件中任取一个，若取到正品，则停止抽取；若取到次品，则放在一边继续抽取，直到取出正品为止。求在取到正品前所取放在一边继续抽取，直到取出正品为止。求在取到正品前所取出的次品数的概率函数。出的次品数的概率函数。解解：在取到正品前所取出的次品数记为：在取到正品前所取出的次品数记为X X，则则X=0X=0，1 1，2 2，3 3P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X X的概率分布为：的概率分布为：课本课本P37P37第第2 2题题2.2 2.2 常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布1、（、（0-1）分布：）分布：（也称两点分布）（也称两点分布）定义定义2.2随机变量随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值，其分布律为：两个值，其分布律为：1ppP01X或或抛掷硬币的试验中，设随机变量抛掷硬币的试验中，设随机变量X X 表示一次试验中正表示一次试验中正面向上的次数，则面向上的次数，则X服从服从“0-1”分布。分布。例：例：任任何何只只有有两两种种结结果果的的随随机机现现象象，都都可以用可以用0-10-1分布来描述。分布来描述。2.伯努利试验和二项分布伯努利试验和二项分布伯努里试验伯努里试验(P33)试验的独立性：试验的独立性：所谓两个试验所谓两个试验E1和和E2独立，是指试验独立，是指试验E1的结果的发生和的结果的发生和试验试验E2的结果的发生互不影响。即试验的结果的发生互不影响。即试验E1的任一事件和试验的任一事件和试验E2的任一事件是互相独立的。的任一事件是互相独立的。独立试验序列：独立试验序列：多个试验多个试验E1，E2，.En,A1,A2,An分别是试验分别是试验E1，E2，.En的任一事件，若的任一事件，若A1,A2,An是互相独立的，则称试是互相独立的，则称试验验E1，E2，.En独立试验序列。独立试验序列。将一个试验将一个试验E重复进行重复进行n次所得的独立试验序列次所得的独立试验序列,称为一个称为一个n重独立试验序列，记为重独立试验序列，记为En.n重重独立试验：独立试验：设试验设试验E只有两个可能结果只有两个可能结果:则称这样的试验则称这样的试验E称为称为伯努利伯努利(Bernoulli)试验试验.抛硬币：抛硬币：“出现正面出现正面”，“出现反面出现反面”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”例如例如:“重复重复”是指这是指这n次试验中次试验中P(A)=p 保持不变保持不变.将伯努利试验将伯努利试验E E独立地重复地进行独立地重复地进行n次次 ,则称这则称这一串一串重复的独立重复的独立试验为试验为n重伯努利试验重伯努利试验.“独立独立”是指各是指各次试验的结果互不影响次试验的结果互不影响.问题：问题：在在n重伯努里试验中，设事件重伯努里试验中，设事件A在一次试验中发生的概率在一次试验中发生的概率为为P(A)=p，求事件求事件A出现出现k次的概率次的概率(0 k n)结论结论:在在n重伯努里试验中事件重伯努里试验中事件A出现出现k次的概率为：次的概率为：(其中其中q=1-p，0 k n)证明证明:在在n重重伯伯努努里里试试验验中中，设设i=第第i次次试试验验出出现现事事件件则则指指定定的的某某k 次次(比比如如前前k 次次)出出现现事事件件的的概概率率可可利利用用事件的独立性求得：事件的独立性求得：由于在由于在n 次试验中恰有次试验中恰有k次出现事件次出现事件共有共有种情形，种情形，故在故在n 次试验中，事件次试验中，事件出现出现k次的概率为：次的概率为：例：随机地掷一个骰子，连掷次，求：例：随机地掷一个骰子，连掷次，求：（1）恰有一次出现）恰有一次出现“点点”的概率；的概率；（2）至多有两次出现）至多有两次出现“点点”的概率；的概率；解：设解：设“出现点出现点”，则：，则：P(A)1/6连掷次骰子，可以看成重贝努利试验，其中：连掷次骰子，可以看成重贝努利试验，其中：p=1/6（1）恰有一次出现）恰有一次出现“点点”的概率为：的概率为：（2）至多有两次出现）至多有两次出现“点点”的概率的概率为：为：=0.335+0.402+0.201=0.938P34例例4P37-384-72.二项分布二项分布定义定义2.32.3若随机变量若随机变量X的的概率概率分布为：分布为：k k =0,1,2,n则称则称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布，记为的二项分布，记为X B(n,p)。其中其中：0p0为常数，则称为常数，则称X X服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，简记为简记为X X P()。若若随机变量随机变量X X的概率分布为：的概率分布为：4 4 泊松泊松（Poisson）分布分布分布律的验证分布律的验证由于由于0,可知对任意的自然数可知对任意的自然数k，有，有又由幂级数的展开式，可知又由幂级数的展开式，可知所以所以是分布律是分布律服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目泊松分布的应用泊松分布的应用:体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布可以看作泊松分布,其参数其参数 可以由观测值的平均值求可以由观测值的平均值求出。出。泊松泊松分布的有关计算可查附表分布的有关计算可查附表1。例例：某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数X X服从参数服从参数=5 5的普哇的普哇松分布，写出松分布，写出X X的概率函数的概率函数,并求并求(1)(1)一分钟内呼唤一分钟内呼唤3 3次的概率；次的概率；(2)(2)一分钟内呼唤至少一分钟内呼唤至少3 3次的概率。次的概率。解：解：X X的概率函数为的概率函数为二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近 在实际应用时，当在实际应用时，当X XB(n,p)时，若时，若n充分大充分大，事件，事件A在一次在一次试验中出现的概率试验中出现的概率p充分小充分小，=n p大小适中大小适中，则事件则事件A在在n次次试验中出现的次数试验中出现的次数X可以可以近似地服从参数为近似地服从参数为=n p 的泊松分布：的泊松分布：例例：共有共有50005000人参加某类人寿保险，若一年中每个受保人死亡的概人参加某类人寿保险，若一年中每个受保人死亡的概率为率为0.0010.001，试求在未来的一年中至少有两位受保人死亡的概率。，试求在未来的一年中至少有两位受保人死亡的概率。解解设设X X表示表示“50005000参保者中一年内死亡的人数参保者中一年内死亡的人数”，则，则X B(5000,0.001)，所求概率为所求概率为P(X 2)，显然直接用二项分布计算是很麻烦的显然直接用二项分布计算是很麻烦的.注意到：注意到：n=5000较大，较大，p=0.001较小，而较小，而np=5大小适当，所以，大小适当，所以，近似地近似地X P(5)，于是，于是在可列重贝努利试验中，随机变量在可列重贝努利试验中，随机变量X X表示表示“事件事件A首次发生所需的试验次数首次发生所需的试验次数”，则则X的概率分布为：的概率分布为：P(X X=k)=(1-p)k-1 p,k=1,2,则称则称X X 服从参数为服从参数为p的几何分布。的几何分布。例例:设某批电子管的合格品率为设某批电子管的合格品率为0.75，不合格品率为，不合格品率为0.25，现对该批电子管进行有放回地测试，设第现对该批电子管进行有放回地测试，设第X X次首次测到次首次测到合格品，求合格品，求X X的概率函数的概率函数。X的可能取值为：的可能取值为：1,2,。事件事件(X X=k)表示表示“第第k 次才测到合格品次才测到合格品”，则：，则：P(X X=k)=0.25k-10.75,k=1,2,解：解：5几何分布几何分布第三节第三节随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义随机变量分布函数的定义分布函数的性质分布函数的性质分布函数与概率的关系分布函数与概率的关系离散型随机变量分布函数的求法离散型随机变量分布函数的求法如果将如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数F(x)的值就表示的值就表示X落在区间落在区间内的内的概率概率.设设 X是一个是一个随机变量，随机变量，x是任意实数，称函数是任意实数，称函数为为X的分布函数的分布函数,记作记作F(x).定义定义3.1 分布函数的定义分布函数的定义(1)分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量高等数学的工具来研究随机变量.(2)只要知道了随机变量只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数，它的统计特性就可以它的统计特性就可以得到全面的描述得到全面的描述.注意注意注意注意:分布函数的性质分布函数的性质2)F(x)是不减函数是不减函数，即对，即对x1 1 0),0),求常数求常数 a a 的值。的值。分布函数与概率间的关系分布函数与概率间的关系若若已已知知X X的的分分布布函函数数，能能求求X X落落在在任任一一区区间间的的概概率率。分分布布函函数数完完整整地描述了随机变量的概率分布情况。地描述了随机变量的概率分布情况。P(X Xa)=)=F(a)，P(X X a)=1-)=1-F(a)P(aX X b)=P(X b)P(X a)=F(b)-F(a)P(aX Xb)=)=P(aX Xb)+P(X=)+P(X=a)=)=F(b)-F(a-o)P(a XXb)=)=P(aX Xb)-P(X=)-P(X=b)=)=F(b-o)-F(a)P(aXXb)=)=P(aX Xb)+P(X=)+P(X=a)-P(X=)-P(X=b)=F(b-o)-F(a-0)设离散型设离散型随机变量随机变量 X的分布律是的分布律是PX=xk=pk ,k=1,2,3,F(x)=P(Xx)=即即F(x)是是X取取的诸值的诸值xk 的概率之和的概率之和.一般地一般地一般地一般地则其分布函数则其分布函数 离散型随机变量分布函数的求法离散型随机变量分布函数的求法若离散型随机变量若离散型随机变量X X的的概率分布为：概率分布为：离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布函函数数是是阶阶梯梯形形函函数数，它它在在X的的一一切切有有概率的点概率的点xk都有一个跳跃，其跳跃度为都有一个跳跃，其跳跃度为P(X=xk)=0 0p p1 1P P1 1+P+P2 2P P1 1+P+P2 2+P+Pi ixixi+1X Xxx1x2xX X2 2 .x xi iX Xi+1i+1.x x1 1P P1 11 1P Pi+1i+1分布函数具体求法：分布函数具体求法：当当x0时时，Xx=，故故F(x)=0例例1 设设随机变量随机变量X的分布律为的分布律为当当0 x1时时，F(x)=PXx=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解解X求求X的分布函数的分布函数F(x).当当1x 2时时，F(x)=PX=0+PX=1=+=当当x 2时时，F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=1故故的分布函数图的分布函数图例例2 2：随机变量：随机变量 的概率分布为：的概率分布为：解：解：(1)(1)由概率分布知：由概率分布知：求求:（1 1）常数）常数C C（2)2)分布函数分布函数F(xF(x）(3)P(-0.2(3)P(-0.22.5);2.5);P(P(2.3);2.3);P(P(0);0);P(P(=-=-3);3);0.1+0.26+0.1+0.26+C+0.3=1C+0.3=1得得 C=0.34C=0.34(2)(2)分布函数：分布函数：0 00.10.10.360.361 1F F（x x）=P(=P(x)x)=0.70.7P(P(2.3)=0.1+0.26+0.34=0.7;2.3)=0.1+0.26+0.34=0.7;P(P(=-3)=0=-3)=0 P(P(0)=0.26+0.34+0.3=0.9 0)=0.26+0.34+0.3=0.9 (3)(3)P(-0.2P(-0.22.5)=2.5)=P(P(=0)+=0)+(=2)=0.6;=2)=0.6;-10 x23第四节第四节连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质概率密度的性质概率密度与概率的关系概率密度与概率的关系分布函数的求法分布函数的求法三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,称称f(x)为为X 的的概率密度概率密度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度.1.1.连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义有有,使得对任意使得对任意实数实数,对于随机变量对于随机变量X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数f(x),连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在上连续上连续2、概率密度、概率密度f(x)的性质：的性质：f(x)0 x1面积为面积为1性质性质2的几何意义：曲线的几何意义：曲线y=f(x)与与x轴所夹的面积等于轴所夹的面积等于1（如图所示的阴影面积）。（如图所示的阴影面积）。利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数x1,x2,(x12或或x1),p(1.5 X2.5)(3)分分布布函函数数F(x)例例(P51Ex1)：已知随机变量：已知随机变量X X的密度函数的密度函数（2）p(X X 2 2)=)=p p(1.5(1.5 X2.5)X1)=X1)=解：解：k k x+1,0 x 2 f(x)=)=0,x2或或x0（3）已求得）已求得分布函数分布函数02x-1),p(1.5 X1)=X1)=1-p(X X 1)=1-F(1)=1-3/4=1/401p p(1.5(1.5 X2.5)=X2.5)=F F(2.5)-(2.5)-F F(1.5)=1-0.9375=0.0625(1.5)=1-0.9375=0.0625注：由概率密度注：由概率密度f f(x x)求分布函数求分布函数 F F(x x)，利用，利用 需注意当需注意当f f(x x)是分段表示时，则要分段求出是分段表示时，则要分段求出 F F(x x)的表示式，的表示式，然后合并写出然后合并写出 F F(x x)。P43P43例例1 1 连续型随机变量有关事件的概率计算连续型随机变量有关事件的概率计算-已知分布函数已知分布函数f(x)f(x)或或F(x)F(x)，求概率，求概率P(XI)P(XI)xOaf(x)b练习练习(P57Ex12)：已知连续随机变量：已知连续随机变量X的概率密度为：的概率密度为：求求(1)常数常数a;(2)P（0X/4)；（；（3）X的分布函数的分布函数F(x)。a cosx-/2 x /2 f(x)=)=0其它其它解解(1)(1)所以所以(3)(3)例例2(P44)2(P44)设某种型号电子管的寿命设某种型号电子管的寿命X（以小时计）具有以下（以小时计）具有以下密度函数：密度函数：试求：试求：(1)电子管寿命在电子管寿命在50小时到小时到200小时之间的概率；小时之间的概率；(2)电子管寿命电子管寿命超过超过500小时的概率。小时的概率。解解(1)(1)例例3（P44）：设连续型设连续型随机变量随机变量X X的的分布分布函数函数为为01求：求：(1)常数常数A；（；（2）X的密度函数的密度函数f(x)；(3)p(0.3p(0.3X0.7)X0.7)解：解：（1）由）由F(x)的的连续性连续性，得，得（2）由密度函数与分布函数之间的关系，得）由密度函数与分布函数之间的关系，得（3）p(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.4或或 p(0.3X0.7)已知连续随机变量已知连续随机变量X的分布函数为：的分布函数为：例例(P51Ex5)(P51Ex5)：求求:(1)常数常数a，b（2）X的密度函数的密度函数（3）P(0X2）。0 x -1 F(x)=)=a+b arcsinx-11解：解：(1)(1)因因F(x)在在x=-1，x=1点连续，则点连续，则即：即：a+a+arcsin(1)=a+arcsin(1)=a+b/2=1b/2=1得：得：a=1/2 a=1/2 =1/=1/0 x 1-1x1f(x)=F (x)=0 x-1（3）P(0X2)=F(2)-F(0)=1-1/2=1/2即即:a+a+arcsin(-1)=a-arcsin(-1)=a-b/2=0b/2=04、三种常见的连续型随机变量、三种常见的连续型随机变量则称则称X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布，XUa,b若随机变量若随机变量X的概率密度为：的概率密度为：（1）均匀分布）均匀分布 该式说明，随机变量该式说明，随机变量 X X 落入落入 a a,b b 中任一小区间的概率与该中任一小区间的概率与该区间的长度成正比，而与小区间在区间的长度成正比，而与小区间在 a a,b b 上的具体位置无关，上的具体位置无关，即它落入区间即它落入区间 a a,b b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同中任意等长度的子区间内的可能性是相同的，这就是均匀分布的概率意义。的，这就是均匀分布的概率意义。例例4 4：课本：课本4545页页解：解：设每人的候车时间为设每人的候车时间为，则，则 服从服从0,5上的均匀分布。上的均匀分布。的密度函数为的密度函数为 f(x)=1/5/50 x 50 x5设某人的候车时间不超过设某人的候车时间不超过2分钟的概率为分钟的概率为某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起时起,每隔每隔15分钟来一辆车，若某乘客分钟来一辆车，若某乘客从从7点到点到7点点30分分内内到达车站是等可能的到达车站是等可能的，试求，试求(1)他候车少于他候车少于5 分钟的概率；分钟的概率；(2)等车超过等车超过10分钟的概率。分钟的概率。设乘客于设乘客于7点过点过X分钟分钟到站到站,则则X X服从服从0,30上的均匀分布。上的均匀分布。X的密度函数为的密度函数为（1）等车不超过）等车不超过5分钟的概率为：分钟的概率为：解：解：f(x)=1/30/300 x 300 x30例例：（2）等车超过）等车超过10分钟的概率为：分钟的概率为：定义定义4.34.3：若连续随机变量若连续随机变量X X 的密度函数为的密度函数为其中其中 0为常数，则称为常数，则称X X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布。指数分布常可作为各种指数分布常可作为各种“寿命寿命”分布的近似，如电子分布的近似，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布。服务系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布。其分布函数为其分布函数为 f(x)=0 x 0 e-xx01-e-xx00 x 02 2 指数分布指数分布设某电子元件的使用寿命设某电子元件的使用寿命X X服从服从指数分布，其密度函数指数分布，其密度函数为为例例：f(x)=0 x 00.001e-0.001xx0若一台仪器中装有若一台仪器中装有3 3个这样的元件，其中一件损坏，整机将停个这样的元件，其中一件损坏，整机将停止工作，求该仪器工作止工作，求该仪器工作10001000小时以上的概率。小时以上的概率。解：解：就一个元件而言，工作到就一个元件而言，工作到10001000小时以上的概率为小时以上的概率为由于仪器有三个这样的元件，各元件寿命相互独立，由于仪器有三个这样的元件，各元件寿命相互独立，再以再以A表示表示“该仪器工作该仪器工作1000小时以上小时以上”，则有，则有例例：设设X X服从参数为服从参数为 的的指数分布，证明：对任意的指数分布，证明：对任意的s s 00，t t 00有有 P P(X(X s s+t t|X X s s)=)=P P(X X t t)证证 这是指数分布的一个有趣的这是指数分布的一个有趣的“无记忆性无记忆性”或或无后效性无后效性。即只要即只要X X服从指数分布，便有服从指数分布，便有P P(X(X s s+t t|X X s s)=)=P P(X X t t)，这表明：如果已知寿命长于这表明：如果已知寿命长于 s s 年，则再活年，则再活 t t 年的概率与年龄年的概率与年龄 s s 无关，故风趣地称指数分布是无关，故风趣地称指数分布是“永远年轻永远年轻”的分布。的分布。设设某某日日光光灯灯管管的的使使用用寿寿命命X X服服从从参参数数为为=1/2000的的指指数数分分布布。(1)任任取取一一根根这这种种灯灯管管，求求能能正正常常使使用用1000小小时时以以上上的的概概率率；(2)有有一一根根这这种种灯灯管管，求求正正常常使使用用了了2000小小时时后后，还还能能使使用用1000小时以上的概率。小时以上的概率。例例：X X的密度函数，分布函数分别为的密度函数，分布函数分别为(1)P(X X1000)=1-P(X X 1000)=1-F(1000)=e-1000=e-1/2 0.607解：解：1-e-xx00 x 0F(x)=(2)0.607 从本例可看出，一根灯管能正常使用从本例可看出，一根灯管能正常使用10001000小时以上的概率小时以上的概率为为0.6070.607，在使用，在使用20002000小时后还能使用小时后还能使用10001000小时以上的概率仍小时以上的概率仍为为0.6070.607。验证了指数分布的。验证了指数分布的“无记忆性无记忆性”或或无后效性无后效性。f(x)=0 x 0 e-xx03.正态分布正态分布1）标准正态分布定义）标准正态分布定义定义定义4.4若连续型若连续型随机变量随机变量X 的的概率密度为概率密度为则称则称X X服从服从标准标准正态分布正态分布，记为，记为X X N(0,1)。Ox y标准正态分布密度函数标准正态分布密度函数 0(x)的性质的性质(具备具备P42一般密度函数