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中考专项复习分式方程分式方程分式方程一、定义一、定义:分母中含有分母中含有_的方程的方程.二、解分式方程的一般方法二、解分式方程的一般方法分式方程分式方程 整式方程整式方程未知数未知数 去分母去分母方程两边同乘方程两边同乘_最简公分母最简公分母三、解分式方程的步骤三、解分式方程的步骤1.1.去分母去分母:方程两边同乘方程两边同乘_,_,约去分母将约去分母将分式方程化为分式方程化为_方程方程.2.2.求解求解:解这个解这个_方程方程.3.3.检验检验:将求得的整式方程的根代入所乘的将求得的整式方程的根代入所乘的_,_,使使_的根是原方程的根的根是原方程的根.使使_的根不是原方程的根的根不是原方程的根,必须舍去必须舍去.最简公分母最简公分母整式整式整式整式最简公最简公分母分母最简公分母不等于最简公分母不等于0 0最简公分母等于最简公分母等于0 0四、应用四、应用列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题的一般步骤:审、设、列、解、验、答审、设、列、解、验、答.【自我诊断】【自我诊断】(打打“”“”或或“”)“”)1.+1=0,-2=31.+1=0,-2=3均为分式方程均为分式方程.()()2.2.若若x=1x=1是分式方程是分式方程 的根的根,则则k=k=()()3.3.分式方程分式方程 的解为的解为x=1.x=1.()()4.4.将分式方程将分式方程 化为整式方程后为化为整式方程后为x+2(x-2)=1.x+2(x-2)=1.()()5.5.甲每小时比乙多加工甲每小时比乙多加工1010个零件个零件,若甲、乙分别加工若甲、乙分别加工300300个零件个零件,甲比乙少用甲比乙少用1 1小时小时,若设甲每小时加工若设甲每小时加工x x个个零件零件,则列出方程为则列出方程为 ()()考点一考点一 分式方程的解法分式方程的解法【例【例1 1】(1)(2017(1)(2017随州中考随州中考)解分式方程解分式方程:(2)(2017(2)(2017济宁中考济宁中考)解方程解方程:【思路点拨】去分母化为整式方程【思路点拨】去分母化为整式方程,解整式方程解整式方程,代入最简公分母检验代入最简公分母检验.【自主解答】【自主解答】(1)(1)原方程可化为原方程可化为:3+x:3+x2 2-x=x-x=x2 2,解得解得x=3.x=3.检验检验:当当x=3x=3时时,x(x-1)0,x(x-1)0,所以所以,原分式方程的解为原分式方程的解为x=3.x=3.(2)(2)方程两边乘方程两边乘(x-2),(x-2),得得2x=x-2+1,2x=x-2+1,解得解得x=-1,x=-1,检验检验:当当x=-1x=-1时时,x-20,2-x0.,x-20,2-x0.所以原分式方程的解为所以原分式方程的解为x=-1.x=-1.【名师点津】解分式方程的一般步骤【名师点津】解分式方程的一般步骤【备选例题】【备选例题】(2016(2016潜江中考潜江中考)解方程解方程:【解析】去分母得【解析】去分母得:3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1),:3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1),解得解得:x=2,:x=2,检验检验:当当x=2x=2时时,(x+1)(x-1)0,(x+1)(x-1)0,原分式方程的解是原分式方程的解是x=2.x=2.【题组过关】【题组过关】1.(20171.(2017滨州中考滨州中考)分式方程分式方程 的解为的解为()世纪金榜导学号世纪金榜导学号1610409116104091A.x=1A.x=1B.x=-1B.x=-1C.C.无解无解D.x=-2D.x=-2【解析】选【解析】选C.C.去分母去分母,得得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,去括号、合并同类项去括号、合并同类项,得得x=1,x=1,检验检验:当当x=1x=1时时,(x-1)(x+2)=0,(x-1)(x+2)=0,所以所以x=1x=1不是原分式方程的根不是原分式方程的根,所以原分式方程无解所以原分式方程无解.2.(20162.(2016十堰中考十堰中考)用换元法解方程用换元法解方程 时时,设设 =y,=y,则原方程可化为则原方程可化为()A.y-3=0A.y-3=0B.y-3=0B.y-3=0C.y-+3=0C.y-+3=0D.y-+3=0D.y-+3=0【解析】选【解析】选B.B.可转化为可转化为y-=3,y-=3,即即y-3=0.y-3=0.3.(20173.(2017威海中考威海中考)方程方程 的解是的解是_._.【解析】去分母得【解析】去分母得,3-x-1=x-4,3-x-1=x-4,解得解得x=3,x=3,检验知检验知x=3x=3是原分式方程的解是原分式方程的解.答案答案:x=3:x=34.(20174.(2017杭州中考杭州中考)若若 则则m=_.m=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1610409216104092【解析】当【解析】当m=3m=3时时,等式成立等式成立;当当m3m3时时,得得|m|=1,|m|=1,得得m=1,m=1,又因为又因为m-10,m-10,所以所以m m的值为的值为3 3或或-1.-1.答案答案:3:3或或-1-15.(20175.(2017无锡中考无锡中考)解方程解方程:【解析】方程两边都乘以【解析】方程两边都乘以(2x-1)(x+2),(2x-1)(x+2),化为整式方程化为整式方程5(x+2)=3(2x-1).5(x+2)=3(2x-1).解这个整式方程得解这个整式方程得x=13.x=13.经检验经检验,x=13,x=13是原分式方程的解是原分式方程的解,原分式方程的解是原分式方程的解是x=13.x=13.【知识拓展】可化为一元二次方程的分式方程的解法【知识拓展】可化为一元二次方程的分式方程的解法可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次整式方程的解法相同可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次整式方程的解法相同,化为一元二次方程后化为一元二次方程后,解这个一元二解这个一元二次方程次方程,然后检验然后检验.考点二考点二 与分式方程的解有关的字母取值问题与分式方程的解有关的字母取值问题【例【例2 2】(1)(2017(1)(2017泸州中考泸州中考)关于关于x x的分式方程的分式方程 =3 =3的解为正实数的解为正实数,则实数则实数m m的取值范围的取值范围是是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1610409316104093(2)(2017(2)(2017攀枝花中考攀枝花中考)若关于若关于x x的分式方程的分式方程 无解无解,则实数则实数m=_.m=_.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)解分式方程解分式方程求得方程的解求得方程的解方程的解为正实数方程的解为正实数不等式不等式求得求得m m的范围的范围方程的解不等于方程的解不等于22不不等式等式mm的范围的范围.(2)(2)分式方程无解包括两种情况分式方程无解包括两种情况,一是分式方程变形后的整式方程无解一是分式方程变形后的整式方程无解.二是整式方程的解不是原分式方程的根二是整式方程的解不是原分式方程的根,分别分别求出求出m m的值的值.【自主解答】【自主解答】(1)(1)x+m-2m=3x-6,x+m-2m=3x-6,x=.x=.由题意得由题意得x=0,x=0,解得解得m6,m6,又又x=2,m2,m6x=2,m2,m6且且m2.m2.答案答案:m6:m1B.a1C.a1C.a1且且a4a4D.a1D.a1且且a4a4【解析】选【解析】选C.C.去分母得去分母得:2(2x-a)=x-2,:2(2x-a)=x-2,解得解得x=x=由题意得由题意得 0 0且且 2,2,解得解得a1a1且且a4.a4.考点三考点三 分式方程的应用分式方程的应用 【考情分析】【考情分析】分式方程的应用的层级为能列分式方程解决实际问题分式方程的应用的层级为能列分式方程解决实际问题,在各地中考试题中均有体现在各地中考试题中均有体现,是分式方程的一个重要考向是分式方程的一个重要考向,考查的内容一般为行程问题、工程问题、和差倍分问题等考查的内容一般为行程问题、工程问题、和差倍分问题等,有时涉和方案设计问题有时涉和方案设计问题,结合方程组、不等式组一起考查结合方程组、不等式组一起考查,各种题型均有体现各种题型均有体现.命题角度命题角度1:1:行程问题行程问题【例【例3 3】(2016(2016哈尔滨中考哈尔滨中考)早晨早晨,小明步行到离家小明步行到离家900900米的学校去上学米的学校去上学,到学校时才发现眼镜忘在家中到学校时才发现眼镜忘在家中,于是他立即于是他立即按原路步行回家按原路步行回家,拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多到学校所用的时间多1010分钟分钟,小明骑自行车速度是步行速度的小明骑自行车速度是步行速度的3 3倍倍.(1)(1)求小明步行速度求小明步行速度(单位单位:米米/分分)是多少是多少.(2)(2)下午放学后下午放学后,小明骑自行车回到家小明骑自行车回到家,然后步行去图书馆然后步行去图书馆,如果小明骑自行车和步行的速度不变如果小明骑自行车和步行的速度不变,小明步行从家到图小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2 2倍倍,那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米?【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)设步行速度为设步行速度为x x米米/分分,根据根据“步行到校的时间步行到校的时间=骑自行车到校的时间骑自行车到校的时间+10”+10”列方程求解列方程求解.(2)(2)设小明家与图书馆之间的路程为设小明家与图书馆之间的路程为y y米米.根据小明根据小明“步行从家到图书馆的时间步行从家到图书馆的时间骑自行车从学校到家的时间骑自行车从学校到家的时间2”2”列不等式求解列不等式求解.【自主解答】【自主解答】(1)(1)设小明步行的速度为设小明步行的速度为x x米米/分分,根据题意根据题意,得得 =10,=10,解得解得x=60.x=60.经检验经检验x=60 x=60是原方程的解是原方程的解,小明步行速度为小明步行速度为6060米米/分分.(2)(2)设小明家与图书馆之间的路程为设小明家与图书馆之间的路程为y y米米,根据题意根据题意,得得 2,2,解得解得y600,y600,小明家与图书馆之间的路程最多是小明家与图书馆之间的路程最多是600600米米.【母题变式】【母题变式】(改变问法改变问法)其他条件不变其他条件不变,问小明从家步行去学校的时间为多少问小明从家步行去学校的时间为多少?提示提示:15:15分分.设小明从家步行去学校的时间为设小明从家步行去学校的时间为x x分分,则则3 3 解得解得x=15.x=15.经检验知经检验知:x=15:x=15是原方程的解是原方程的解.答答:小明步行从家去学校的时间为小明步行从家去学校的时间为1515分分.【知识归纳】行程问题一般有三个量【知识归纳】行程问题一般有三个量:路程、速度和时间路程、速度和时间.一般题目告诉一个量一般题目告诉一个量,我们设一个量我们设一个量,然后再根据第三个量然后再根据第三个量的关系列方程的关系列方程.命题角度命题角度2:2:工程问题工程问题【例【例4 4】(2016(2016呼和浩特中考呼和浩特中考)某一公路的道路维修工程某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成,根据两队根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合作此项维修工程若由两队合作此项维修工程,6,6天可以完成天可以完成,共需工程费用共需工程费用385200385200元元,若单独完成此项维修工程若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用甲队比乙队少用5 5天天,每天的工程费用甲队比乙队多每天的工程费用甲队比乙队多40004000元元.从节从节省资金的角度考虑省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队应该选择哪个工程队?世纪金榜导学号世纪金榜导学号1610409516104095【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)设甲队单独完成此项工程需设甲队单独完成此项工程需x x天天,“根据甲队一天的工作量根据甲队一天的工作量+乙队一天的工作量乙队一天的工作量=”=”列方程求解列方程求解.(2)(2)分别计算甲乙两队每天的工程费用分别计算甲乙两队每天的工程费用,再乘以各自再乘以各自完成这项工程的天数完成这项工程的天数,比较得出结论比较得出结论.【自主解答】设甲队单独完成此项工程需【自主解答】设甲队单独完成此项工程需x x天天,乙队单独完成需要乙队单独完成需要(x+5)(x+5)天天.依据题意可列方程依据题意可列方程:解得解得:x:x1 1=10,x=10,x2 2=-3(=-3(舍去舍去),),经检验经检验x=10 x=10是原方程的解是原方程的解,设甲队每天的工程费用为设甲队每天的工程费用为y y元元,依据题意可列方程依据题意可列方程:6y+6(y-4000)=385200,:6y+6(y-4000)=385200,解得解得:y=34100.:y=34100.甲队完成此项工程费用为甲队完成此项工程费用为:3410010=341000:3410010=341000元元,乙队完成此项工程费用为乙队完成此项工程费用为:3010015=451500:3010015=451500元元.答答:从节省资金的角度考虑从节省资金的角度考虑,应该选择甲工程队应该选择甲工程队.【母题变式】【母题变式】(改变问法改变问法)因工程需要因工程需要,此项工程必须在此项工程必须在8 8天之内完成天之内完成,问应如何安排甲乙两队的工作时间问应如何安排甲乙两队的工作时间,才能使总费才能使总费用最低用最低.提示提示:由原题解题过程知由原题解题过程知,甲队单独完成这项工程比乙队单独完成这项工程的费用低甲队单独完成这项工程比乙队单独完成这项工程的费用低,故安排甲做故安排甲做8 8天天,剩下的工程量剩下的工程量乙做乙做,所以乙还需的天数为所以乙还需的天数为:即甲做即甲做8 8天天,乙做乙做3 3天可使总费用最低天可使总费用最低.【名师点津】【名师点津】列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题的一般步骤1.1.审审审清题意审清题意,分清题中的已知量、未知量分清题中的已知量、未知量2.2.设设设适当的未知数设适当的未知数,可以直接设未知数可以直接设未知数,有的题目需要间接设未知数有的题目需要间接设未知数3.3.列列用含未知数的代数式表示相等关系列出方程用含未知数的代数式表示相等关系列出方程4.4.解解解分式方程解分式方程5.5.验验检验是否是增根检验是否是增根,是否符合题意是否符合题意6.6.答答写出答案写出答案(包括单位包括单位)【题组过关】【题组过关】1.(20171.(2017新疆生产建设兵团中考新疆生产建设兵团中考)某工厂现在平均每天比原计划多生产某工厂现在平均每天比原计划多生产4040台机器台机器,现在生产现在生产600600台机器所需的时间与台机器所需的时间与原计划生产原计划生产480480台机器所用的时间相同台机器所用的时间相同,设原计划每天生产设原计划每天生产x x台机器台机器,根据题意根据题意,下面列出的方程正确的是下面列出的方程正确的是()【解析】选【解析】选B.B.原计划平均每天生产原计划平均每天生产x x台机器台机器,根据题根据题意得意得,2.(20172.(2017泰安中考泰安中考)某服装店用某服装店用1000010000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件元购进一批某品牌夏季衬衫若干件,很快售完很快售完;该店又用该店又用1470014700元钱购进第二批元钱购进第二批这种衬衫这种衬衫,所进件数比第一批多所进件数比第一批多40%,40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多1010元元,求第一批购进多少件衬衫求第一批购进多少件衬衫?设设第一批购进第一批购进x x件衬衫件衬衫,则所列方程为世纪金榜导学号则所列方程为世纪金榜导学号16104096(16104096()【解析】选【解析】选B.B.第一批购进第一批购进x x件衬衫件衬衫,根据第二批每件根据第二批每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多1010元元,列方列方程得程得 3.(20173.(2017扬州中考扬州中考)星期天星期天,小明和小芳从同一小区门口同时出发小明和小芳从同一小区门口同时出发,沿同一路线去离该小区沿同一路线去离该小区18001800米的少年宫参加活动米的少年宫参加活动,为响应为响应“节能环保节能环保,绿色出行绿色出行”的号召的号召,两人都步行两人都步行,已知小明的速度是小芳的速度的已知小明的速度是小芳的速度的1.21.2倍倍,结果小明比小芳早结果小明比小芳早6 6分钟分钟到达到达,求小芳的速度求小芳的速度.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1610409716104097【解析】设小芳的速度为【解析】设小芳的速度为x x米米/分分,由题意可得由题意可得 =6,=6,解方程得解方程得,x=50,x=50经检验经检验,x=50,x=50是原方程的解且符合实际是原方程的解且符合实际.答答:小芳的速度为小芳的速度为5050米米/分分.4.(20174.(2017黄冈中考黄冈中考)黄麻中学为了创建全省黄麻中学为了创建全省“最美书屋最美书屋”,”,购买了一批图书购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多类图书平均每本的价格多5 5元元.已知学校用已知学校用1200012000元购买的科普类图书的本数与用元购买的科普类图书的本数与用90009000元购买的文学类图书的本数相元购买的文学类图书的本数相等等.求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元?世纪金榜导学号世纪金榜导学号1610409816104098【解析】设文学类图书平均每本的价格为【解析】设文学类图书平均每本的价格为x x元元,则科普类图书平均每本的价格为则科普类图书平均每本的价格为(x+5)(x+5)元元,依题意可列方程依题意可列方程:解得解得:x=15.:x=15.经检验经检验:x=15:x=15是所列分式方程的解是所列分式方程的解.x+5=15+5=20.x+5=15+5=20.答答:科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为为2020元和元和1515元元.5.(20175.(2017广州中考广州中考)甲、乙两个工程队均参与某筑路甲、乙两个工程队均参与某筑路工程工程,先由甲队筑路先由甲队筑路6060公里公里,再由乙队完成剩下的筑路再由乙队完成剩下的筑路工程工程,已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍倍,甲队比乙队多筑路甲队比乙队多筑路2020天天.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1610409916104099(1)(1)求乙队筑路的总公里数求乙队筑路的总公里数.(2)(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为58,58,求乙队平均每天筑路多少公里求乙队平均每天筑路多少公里.【解析】【解析】(1)(1)乙队筑路的总公里数乙队筑路的总公里数:60 =80(:60 =80(公里公里).).(2)(2)设甲队每天筑路设甲队每天筑路5x5x公里公里,乙队每天筑路乙队每天筑路8x8x公里公里.根据题意得根据题意得 解得解得x=.x=.乙队每天筑路乙队每天筑路 8=(8=(公里公里).).经检验经检验x=x=是原方程的解且符合题意是原方程的解且符合题意答答:乙队平均每天筑路乙队平均每天筑路 公里公里.人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。