微分方程模..ppt

可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的解法例 求微分方程的通解 解 分离变量后得一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征方程:实根 特 征 根通 解机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程:动态动态问题问题 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程 微分方程建模微分方程建模一般处理动态连续问题一般处理动态连续问题 微分方程建模是数学建模的重要方微分方程建模是数学建模的重要方法之一，因为在自然科学以及在工程、法之一，因为在自然科学以及在工程、经济、军事、社会等学科中，许多实际经济、军事、社会等学科中，许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把各种实际问题化成微分方定解问题。把各种实际问题化成微分方程的定解问题，建立微分方程模型，可程的定解问题，建立微分方程模型，可按以下步骤：按以下步骤：1.1.根据实际要求确定要研究的量（自变量、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系。未知函数、必要的参数等）并确定坐标系。2.2.找出这些量所满足的动态特征和基本找出这些量所满足的动态特征和基本规律。规律。3.3.运用这些规律列出方程和定解条件，运用这些规律列出方程和定解条件，从而建立微分方程模型。从而建立微分方程模型。建立微分方程模型，其方法归纳有：建立微分方程模型，其方法归纳有：1.1.根据规律列方程。利用数学、力学、物理、根据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的的规律和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等建立问题的微分方程模型。放射性规律等建立问题的微分方程模型。2.2.微元分析法。自然界中的许多现象所满足的微元分析法。自然界中的许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，不能直接列出自变量和未知函数对于这类问题，不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知规律建立变量的微元之间的关系式，再利用已知规律建立变量的微元之间的关系式，再通过取极限的方法得到微分方程模型。通过取极限的方法得到微分方程模型。3.3.模拟近似法。在生物、经济等学科中，许多模拟近似法。在生物、经济等学科中，许多现象的规律并不很清楚，而且相当复杂。常常需现象的规律并不很清楚，而且相当复杂。常常需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，根据假设，模拟实际现象所满足的规律，然设，根据假设，模拟实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法给出微分方程模型。后利用适当的数学方法给出微分方程模型。下面举几个微分方程建模的例子。下面举几个微分方程建模的例子。一、按规律列方程一、按规律列方程例例1 1（放射性废物的处理问题）（放射性废物的处理问题）有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理委员会）是这样处理浓缩放射性废物的，他们把这委员会）是这样处理浓缩放射性废物的，他们把这些废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深些废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里。这种做法是否会造成放射性污染，英尺的海里。这种做法是否会造成放射性污染，很自然地引起了生态学家及社会各界的关注。原子很自然地引起了生态学家及社会各界的关注。原子能委员会一再保证，圆桶非常坚固，决不会破漏，能委员会一再保证，圆桶非常坚固，决不会破漏，这种做法是绝对安全的。然而一些工程师们却对此这种做法是绝对安全的。然而一些工程师们却对此表示怀疑，他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发表示怀疑，他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。而原子能委员会的专家们则仍然坚持自己生破裂。而原子能委员会的专家们则仍然坚持自己的看法。于是，双方展开了一场笔墨官司。的看法。于是，双方展开了一场笔墨官司。究竞谁的意见正确呢？看来只能让事实来说话了。究竞谁的意见正确呢？看来只能让事实来说话了。问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞，圆问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞，圆桶和海底碰撞时的速度有多大？桶和海底碰撞时的速度有多大？工程师们进行了大量破坏性实验，发现圆桶在工程师们进行了大量破坏性实验，发现圆桶在40英英尺尺/秒的冲撞下会发生破裂，剩下的问题就是计算圆桶秒的冲撞下会发生破裂，剩下的问题就是计算圆桶沉入沉入300英尺深的海底时，其末速度英尺深的海底时，其末速度究竟究竟有多大了。有多大了。美国原子能委员会使用的是美国原子能委员会使用的是55加仑的圆桶，装满放射加仑的圆桶，装满放射性废物时的圆桶重量为性废物时的圆桶重量为W=527.436磅，而在海水中受磅，而在海水中受到的浮力到的浮力B=470.327磅。此外，下沉时圆桶还要受到磅。此外，下沉时圆桶还要受到海水的阻力海水的阻力 其中其中C 为常数为常数,通过实验，测得通过实验，测得C=0.08 .取一个垂直向下的坐标，并以海平面为坐标原点（取一个垂直向下的坐标，并以海平面为坐标原点（y=0）.于是，根据牛顿第二定律，圆桶下沉应满足微分方程于是，根据牛顿第二定律，圆桶下沉应满足微分方程（1）其中其中（1）可改写成）可改写成（2）如果极限速度不超过如果极限速度不超过40英尺英尺/秒，那么工程师们秒，那么工程师们可以罢休了。然而事实上，和可以罢休了。然而事实上，和40英英/秒的承受能力相秒的承受能力相比，实际极限速度竞是如此之大，使我们不得不开比，实际极限速度竞是如此之大，使我们不得不开始相信，工程师们也许是对的。始相信，工程师们也许是对的。(2）式是一阶线性方程，且满足初值条件）式是一阶线性方程，且满足初值条件v(0)=0,其解为其解为（3）由（由（3）容易计算出圆桶的极限速度）容易计算出圆桶的极限速度 为了求出圆桶与海底的碰撞速度，首为了求出圆桶与海底的碰撞速度，首先必须求出先必须求出圆桶的下沉时间圆桶的下沉时间t,然而要做到这一点却是比较困难的。然而要做到这一点却是比较困难的。为此，我们改变讨论方法，将速度为此，我们改变讨论方法，将速度 v 表示成下沉深表示成下沉深度度 y 的函数，即改写成的函数，即改写成根据复合函数求导的链锁法则根据复合函数求导的链锁法则 这样，（这样，（1）式可改写成）式可改写成 或 工程师们的猜测是正确的，他们打赢了这场官司。现在，美国原子能委员会己改变了他们处理放射性废物的方法，并明确规定禁止将放射性废物抛入海中。注意到 v(0)=0 ,y(0)=0，两边积分，得到（4）十分可惜的是，我们无法从非线性方程（4）中解出v=v(y),并进而求出碰撞速度v(300).因此，只得借助数值方法求出v(300)的近似值。计算结果表明，v(300)=45.1 英尺/秒40英尺/秒。令 v=40 英尺/秒，计算得y=238.4 英尺/秒（注 g=32.2 英尺/秒）要证明 v(300)40 英尺/秒，还可以采用另外的方法 不难看出，v=v(y)是一个单调增加函数，而随着 v 的增加,y 也必增加 因此，如果v=40 英尺/秒时，有 y40英尺/秒。将（4）改写成 此即说明，v(300)40 英尺/秒例例2 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。方程，并得出理想单摆运动的周期公式。从图中不难看出，小球所受的合力为从图中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根根据据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得：从而得出二阶微分方程：从而得出二阶微分方程：这是理想单摆应这是理想单摆应满足的运动方程满足的运动方程 上式是一个二阶非线性方程，不易求解。上式是一个二阶非线性方程，不易求解。当当很小时，很小时，sin，此时，可考察其近似此时，可考察其近似线性方程：线性方程：MQPmg由此即可得出由此即可得出 以上方程的解为以上方程的解为:(t)=0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有近似方程近似方程二、微元法列方程二、微元法列方程例例3 3、车间空气的清洁问题、车间空气的清洁问题 问题问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为清洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台风量为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间里的空气的CO2含量。假定通入的新鲜空气能与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量排出车间。又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2?最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少？设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间并利用质量守恒定律：内车间空气含CO2量的“增加”等于 时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量。用数学公式表示出来就是分析和建模分析和建模于是，令得其中，解为这就是t时刻空气中含CO2的百分比。通常否则含CO2的量只会增加。令得这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟，K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%。试问：（1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于0.08%?（2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？例例4 l 某人的食量是某人的食量是10467焦焦/天，其中天，其中5038焦焦/天用于基本的天用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是大约是69焦焦/公斤公斤天乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形天乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量全部有效，而式贮藏的热量全部有效，而1公斤脂肪热量相当于公斤脂肪热量相当于41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律，建立数学模型并焦，试研究此人的体重随时间变化的规律，建立数学模型并求解。求解。解解 题中并未出现题中并未出现“变化率变化率”、“导数导数”这样的关键词，但要这样的关键词，但要寻找寻找的是体重（记为的是体重（记为W）看作是时间看作是时间t的连续可微函数，我们的连续可微函数，我们就能找到一个含有就能找到一个含有 的微分方程。的微分方程。问题中问题中“每天每天”的体重的变化输入的体重的变化输入输出输出其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗。出是进行健身训练时的消耗。净吸收量净吸收量/天天10467（焦（焦/天）天）5038（焦（焦/天）天）5429（焦（焦/天）天）净输出量净输出量/天天66.9（焦（焦/公斤公斤天）天）W（公斤）公斤）66.9W（焦（焦/天）天）体重的变化体重的变化/天天 （公斤（公斤/天）天）这就是所需要的关于连续函数这就是所需要的关于连续函数 的瞬时关系。注意到有的瞬时关系。注意到有些量是用能量（焦）的形式给出的，而另外一些量是用重量些量是用能量（焦）的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式（公斤）给出，考虑单位的匹配，利用的形式（公斤）给出，考虑单位的匹配，利用 公斤公斤/天天 因此转换后近似得到因此转换后近似得到一天开始时他的体重是已知的，因此有一天开始时他的体重是已知的，因此有（10-1）至此，已建立起问题的常微分方程模型。用分离变量法求解至此，已建立起问题的常微分方程模型。用分离变量法求解利用所给初初条件利用所给初初条件从而得到三、模拟近似法列方程三、模拟近似法列方程简单模型简单模型Malthus 模型模型Logistic模型模型 人口问题人口问题一一 问题的提出问题的提出二 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染三是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五四大问题之首。五 人口在不断的增长，其增长有无规律可循？六 目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。二二建模准备建模准备三三 资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。四 近一千年人口统计比较精细。看下图。180010人口（亿）年1930201960301974401987501999602033100我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。世界人口日。198911199512三三 建立模型建立模型1 简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数人口数 ，今后这些年的增长率增长率（出生率-死亡率）一年后，人数增加到k 年后，人口数为若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2 Malthus 模型模型马尔萨斯(Malthus 1766-1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的 人口指数增长模型。人口指数增长模型。基本假设：基本假设：人口净相对增长率为常数。人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设 净相对增长率为 ，时刻人口总数为 。经 时间后人口总数为 Malthus 模型模型求解求解otNN0分析分析数据表明，在17001961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。按模型计算，取问题：利用此模型能预测未来吗？1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus 模型计算，到2692年人口总数将增至地表面积为平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1 平方英尺（约为9.3 平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3 层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malthus 模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus 模型中的人口相对增长率为常数的假设。3 罗杰斯特罗杰斯特 Logistic模型（阻滞增长模型）模型（阻滞增长模型）假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。r 表示人口的自然增长率。令Nm为人口的最大容纳量，那么即阻滞因子Logisitic模型模型求解求解oNtNoN0NmNm/2tm人口增长最快点结论：结论：在人 口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。-Logisitic模模型型调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型更复杂的人口模型 Gompertz模型模型人口模型的推广人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。Usher模型模型 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能，能否判断此人生活在多少年前？否判断此人生活在多少年前？1、古尸年代鉴定问题古尸年代鉴定问题三、其它常见模型年代测定方法是年代测定方法是1949年美国芝加哥大学年美国芝加哥大学利比（利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究）建立的，是考古工作者研究年年代的重要手段之一。代的重要手段之一。背景背景宇宙线宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的应而生成具有放射性的 。从古至今，碳。从古至今，碳 不断产不断产生，同时其本身又在不断的放出生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。射线而裂变为氮。大气中大气中 处于动态平衡状态，处于动态平衡状态，经过一系列交换过经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂放射性元素裂变规律变规律衰减。衰减。基本原理基本原理从星际空间射到地球的射线从星际空间射到地球的射线裂变速率与剩余量成正比。裂变速率与剩余量成正比。Kc14=1/8000设 t 为死后年数，建模建模年代测定的修订：年代测定的修订：19661966年，耶鲁实验室的年，耶鲁实验室的MinzeMinze StuiverStuiver和加利福尼亚和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的大学圣地亚哥分校的HansE.SuessHansE.Suess在一份报告中指出：在在一份报告中指出：在25002500到到1000010000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约峰值发生在大约60006000年以前。他们提出了一个很成功的误年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的差公式，用来校正根据碳测定出的23002300年到年到60006000年前这期年前这期间的年代：间的年代：真正的年代真正的年代 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。然是一件十分有意义的工作。2 传染病模型传染病模型 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。这一现象呢？试用建模方法来加以证明。问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型将传染病流行范围内的人群分成三类：R类：移出者移出者（Removal），指被隔离，或具有免疫力的人。他们既非感病者，也非易感者，实际上他们退出了传染病系统S类：易感者易感者（Susceptible），指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染；I类：感病者感病者（Infective），指染上传染病的人；已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为，称为该疾病的传染强度称为该疾病的传染强度模型模型1 1假设假设建模建模?此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体上反映了传染病流模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况 若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染.模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康健康人人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 分别为分别为 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 传传染强度染强度SI 模型模型模型模型2Logistic 模型i(t)i00ti(t)t曲线如右图曲线如右图/2Ti(t)i00tT0tt=T,di/dt 最大最大T传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。(传染强度传染强度)T 模型模型2Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?最终人人都将被传染，与实际情况不符最终人人都将被传染，与实际情况不符模型模型3传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者SIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的人数分别为出者的人数分别为2）传染病的传染强度）传染病的传染强度 建模建模需建立需建立 的方程的方程3）每天）每天治愈治愈的人数与当时病人数成正的人数与当时病人数成正比，比例系数比，比例系数 （治愈系数）（治愈系数）.模型模型3SIR模型模型 其中其中 通常是一个与疾病种类有关的通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。较大的常数。下面对下面对 进行讨论，请参见右图进行讨论，请参见右图如果如果 ，则有则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。，此疾病在该地区根本流行不起来。如果如果 ，则开始时，则开始时 ，i(t)单增。但在单增。但在i(t)增加同时，增加同时，伴随地有伴随地有s(t)单减。当单减。当s(t)减少到小于等于减少到小于等于 时，时，i(t)开始减小，开始减小，直至此疾病在该地区消失。直至此疾病在该地区消失。鉴于在本模型中的作用，鉴于在本模型中的作用，被被医生们称为此疾病在该地区医生们称为此疾病在该地区的阀值。的阀值。的引入解释了为什的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区么此疾病没有波及到该地区的所有人。的所有人。综上所述，模型综上所述，模型3 3指出了传染病的以下特征：指出了传染病的以下特征：（1 1）当当人人群群中中有有人人得得了了某某种种传传染染病病时时，此此疾疾病病并并不不一一定定流流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。（2 2）疾疾病病并并非非因因缺缺少少易易感感染染者者而而停停止止传传播播，相相反反，是是因因为为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。（3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。）种群不可能因为某种传染病而绝灭。模型的应用模型的应用SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (传染强度传染强度)卫生水平卫生水平 (治愈系数治愈系数)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s0 的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 提高阈值提高阈值 (=/),群体免疫群体免疫模型模型4传染病有潜伏期传染病有潜伏期SEIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人、潜伏不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为者和移出者的比例分别为2）传染强度）传染强度 ,治愈系数治愈系数 建模建模建立建立 方程方程3）单位时间内潜伏者以比例常数）单位时间内潜伏者以比例常数 转为染转为染 病者病者模型模型4SEIR模型模型