2B--第二章-导热基本定律与稳态导热2解析.ppt

Shanghai Jiao Tong University缪正清缪正清 上海交通大学上海交通大学2016.32016.3传热传质学传热传质学Shanghai Jiao Tong University第二章、导热基本定律与稳态导热第二章、导热基本定律与稳态导热本章首先介绍导热的基本概念和基本定律，建立导热微本章首先介绍导热的基本概念和基本定律，建立导热微分方程。在此基础上，对典型的一维、二维稳态导热问题求分方程。在此基础上，对典型的一维、二维稳态导热问题求分析解。然后，介绍肋片换热。分析解。然后，介绍肋片换热。2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律2.2 2.2 导热微分方程导热微分方程2.3 2.3 一维稳态导热（通过平壁、圆筒壁、球壳一维稳态导热（通过平壁、圆筒壁、球壳 和其它变截面物体的导热）和其它变截面物体的导热）2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热2.5 2.5 具有内热源的导热及多维导热具有内热源的导热及多维导热Shanghai Jiao Tong University2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律 线索线索:Shanghai Jiao Tong University1.1.导热基本概念导热基本概念 (1)(1)(1)(1)温度场温度场 热热力力学学的的自自发发过过程程告告诉诉我我们们：能能量量总总是是自自发发地地从从高高温温物物体体传传向低温物体，其中温差是热量传递的推动力。向低温物体，其中温差是热量传递的推动力。物体的温度分布形成温度场物体的温度分布形成温度场稳态温度场：稳态温度场：一维温度场：一维温度场：二维温度场：二维温度场：三维温度场：三维温度场：温温度度场场还还可可以以用用图图线线表表示示。一一般般是是画画出出等等温温线线。等等温温线线是是等等温面与截面的交线。温面与截面的交线。由由于于场场内内的的任任何何一一点点，在在同同一一时时刻刻只只能能有有一一个个温温度度，所所以以等等温线或等温面是不会相交的。温线或等温面是不会相交的。Shanghai Jiao Tong University (2)(2)(2)(2)温度梯度温度梯度温度梯度温度梯度 假定在温度场内有两个等温面，如图假定在温度场内有两个等温面，如图2-12-1所示所示。A A点所在的等温面的温度为点所在的等温面的温度为t,与之相邻的一个等温面的温度为与之相邻的一个等温面的温度为t+t,现问现问A A点的温度变化率？点的温度变化率？因因A A点点的的温温度度变变化化率率与与方方向向有有关关，A A点点沿沿l方方向向的的温温度度变变化化率率为：为：图图2-1.2-1.等温面、温度梯等温面、温度梯度及热流梯度示意图度及热流梯度示意图温温度度梯梯度度是是A A点点处处最最大大的的温温度度变变化化率率，是是一一个个矢矢量量，其其方方向向沿沿着着等等温温线线的的法法线线方方向向，并并指指向向温温度度增增加加的的一一面面，用用符符号号 t t 或或gradtgradt表示。表示。Shanghai Jiao Tong University哈米尔顿算子：哈米尔顿算子：故，故，t t在直角坐标系中表示为在直角坐标系中表示为,注意：热流方向与温度梯度方向相反。注意：热流方向与温度梯度方向相反。Shanghai Jiao Tong University2.2.傅里叶定律（傅里叶定律（FourierFourier s laws law）导热的基本定律，反映了热传导的基本规律。导热的基本定律，反映了热传导的基本规律。(W)或者，或者，该定律的意义是：单位时间内传导的热量与温度梯度和垂直该定律的意义是：单位时间内传导的热量与温度梯度和垂直于热流方向上的截面积成正比，方向沿着温降方向。于热流方向上的截面积成正比，方向沿着温降方向。FourierFouriers s law law 以以微微分分形形式式揭揭示示了了导导热热的的数数学学本本质质，反反映映影影响响导导热热的各种物理、几何参数间的关系，是导热问题研究的基础的各种物理、几何参数间的关系，是导热问题研究的基础。Shanghai Jiao Tong University3 3导热系数导热系数 导导热热系系数数是是FourierFourier定定律律表表示示式式中中的的比比例例系系数数，它它表表示示当当温温度度梯度为梯度为1 1时通过单位面积的热流量。时通过单位面积的热流量。(材料性质、温度、压力、湿度、材料多孔度、方向性等材料性质、温度、压力、湿度、材料多孔度、方向性等)W/(mW/(m o oC)C)导热系数是通过实验测定的。导热系数是通过实验测定的。实验测定导热系数的方法分类：实验测定导热系数的方法分类：稳态测定方法稳态测定方法非稳态测定方法非稳态测定方法 通常导热系数：金属通常导热系数：金属 液体液体 气体气体 非非金金属属固固体体的的导导热热系系数数在在很很大大范范围围内内变变化化，数数值值高高的的接接近近液液体体，数数值值低低的的甚甚至至低低于于空空气气导导热热系系数数的的数数量量级级。图图2-3(2-3(三三版版教材教材P24)P24)示出了多种物质导热系数对温度的关系。示出了多种物质导热系数对温度的关系。Shanghai Jiao Tong University 大多数材料的导热系数随温度的变化可按线性近似大多数材料的导热系数随温度的变化可按线性近似,即即,式中，式中，b b为常数。为常数。导热系数很小的材料在工程上有重要的用途。导热系数很小的材料在工程上有重要的用途。隔隔热热材材料料（热热绝绝缘缘材材料料，保保温温材材料料：W/(mW/(m o oC)C)石棉、矿渣棉、硅藻土、石棉、矿渣棉、硅藻土、岩岩棉棉板板、岩岩棉棉玻玻璃璃布布缝缝毡毡，膨膨胀胀珍珍珠珠岩岩，膨膨胀胀蛭蛭石石及及膨膨胀塑料等。胀塑料等。岩棉玻璃布缝毡岩棉玻璃布缝毡 W/(mW/(m o oC)C)空气在空气在 ，W/(mW/(m o oC)C)上述这些效能高的隔热材料都呈蜂窝状多孔性结构。上述这些效能高的隔热材料都呈蜂窝状多孔性结构。Shanghai Jiao Tong University 呈蜂窝状的隔热材料的传热机理：呈蜂窝状的隔热材料的传热机理：蜂窝固体结构的导热蜂窝固体结构的导热 穿过微小气孔的导热穿过微小气孔的导热 温度更高时还有辐射温度更高时还有辐射 由此得到进一步由此得到进一步提高隔热效果的技术措施提高隔热效果的技术措施，用于某些需要，用于某些需要特殊隔热效果的场合。特殊隔热效果的场合。抽真空，以降低空气导热系数抽真空，以降低空气导热系数 设置多层间隔板，以降低辐射设置多层间隔板，以降低辐射各向异性材料：各向异性材料：某些材料各项结构不同（微观），不同方向上的导热系数某些材料各项结构不同（微观），不同方向上的导热系数各不相同。各不相同。木材，石墨以及多层抽真空结构的隔热材料等。木材，石墨以及多层抽真空结构的隔热材料等。Shanghai Jiao Tong University2.2 2.2 导热微分方程导热微分方程 导导热热微微分分方方程程建建立立在在FourierFourier定定律律与与能能量量守守恒恒定定律律基基础础上上。由于坐标系不同，就有不同的数学表达式。由于坐标系不同，就有不同的数学表达式。本本节节只只详详细细地地推推导导直直角角坐坐标标系系内内的的导导热热微微分分方方程程，对对圆圆柱柱坐坐标系的导热微分方程只作公式介绍。标系的导热微分方程只作公式介绍。1.1.直角坐标系的导热微分方程直角坐标系的导热微分方程设物体各向同性，设物体各向同性，均均为为常常数数,在在物物体内取微元体，体内取微元体，Shanghai Jiao Tong University根据能量守恒定律，对于微元体：根据能量守恒定律，对于微元体：三个方向上导入的热量三个方向上导入的热量+内热源发出的热量内热源发出的热量 =三个方向上导出的热量三个方向上导出的热量+内能增量。内能增量。(*)(*)根根据据fourierfourier定定律律，并并按按TayorTayor级级数数展展开开，略略去去二二阶阶导导数数以以后后的各项：的各项：所以所以x方向净导入热量方向净导入热量：Shanghai Jiao Tong University同理同理,设单位时间内单位体积内热源的生成率为设单位时间内单位体积内热源的生成率为，则，则，将上述各式代入式（将上述各式代入式（*），经整理得，），经整理得，式中式中,Shanghai Jiao Tong University所以，所以，固体导热方程固体导热方程为：为：当导热系数为常数，无内热源（当导热系数为常数，无内热源（）时，上式进一步简化为）时，上式进一步简化为：式式中中，,为为导导温温系系数数，也也称称热热扩扩散散率率。它它是是描描述述非非稳稳态导热过程的重要物理量。态导热过程的重要物理量。稳态导热的微分方程为稳态导热的微分方程为:即即Shanghai Jiao Tong University用同样的方法可以导出圆柱坐标系和球坐标系的导热微分方程式：用同样的方法可以导出圆柱坐标系和球坐标系的导热微分方程式：无内热源，无内热源，一维稳态导热，在不同坐标系中通式一维稳态导热，在不同坐标系中通式：式中，式中，n=0,直角坐标系；直角坐标系；n=1,柱坐标系；柱坐标系；n=2,球坐标系；球坐标系；Shanghai Jiao Tong University圆柱坐标系与球坐标系中的微元体的表示，参见圆柱坐标系与球坐标系中的微元体的表示，参见P27.P27.图图2-5.2-5.Shanghai Jiao Tong University2.2.边界条件和初始条件边界条件和初始条件 求导热微分方程必须要满足边界条件和初始条件。求导热微分方程必须要满足边界条件和初始条件。对于稳态问题，只要求给定边界条件。对于稳态问题，只要求给定边界条件。第一类边界条件：给定边界上的温度值。第一类边界条件：给定边界上的温度值。稳态：稳态：tw=常数；常数；非稳态：非稳态：0,0,tw=f1()第二类边界条件：给定边界上的热流密度。第二类边界条件：给定边界上的热流密度。稳态：稳态：qw=常数；常数；非稳态：非稳态：0,0,第第三三类类边边界界条条件件：给给定定边边界界物物体体与与周周围围流流体体的的换换热热。即即 ，和和 。以物体冷却为例：以物体冷却为例：在在非非稳稳态态时时，式式中中 ，和和 可可为为时时间间的的函函数数。当当流流体体温温度度为为常数时，其温度专门用常数时，其温度专门用 表示。表示。Shanghai Jiao Tong University2-3 2-3 一一维维稳稳态态导导热热（通通过过平平壁壁、圆圆筒筒壁壁、球球壳壳和和其它变截面物体的导热）其它变截面物体的导热）无无限限大大平平壁壁、圆圆筒筒壁壁、球球壳壳的的导导热热，但但温温度度场场不不随随着着时时间间而而变时，均为典型的一维稳态导热问题。变时，均为典型的一维稳态导热问题。1.1.通过平壁的导热通过平壁的导热 t1,t2不随时间而变化。不随时间而变化。,F=常数 方程方程 :边界条件：边界条件：求解结果求解结果:图2-6.单层平壁Shanghai Jiao Tong University上式揭示了上式揭示了 和之间的内在联系。和之间的内在联系。分析上式：分析上式：q 为热的转移量，为热的转移量，为造成热转移的动力，为造成热转移的动力，分母分母 为影响热转移的阻力。为影响热转移的阻力。其实，这一关系在自然界的其它转移过程也是成立的，如其实，这一关系在自然界的其它转移过程也是成立的，如电量、动量、质量的转移过程：电量、动量、质量的转移过程：所以，一般地，所以，一般地，Shanghai Jiao Tong University 比较比较:电路中的欧姆定律电路中的欧姆定律 导热的微分方程导热的微分方程 因此，在与欧姆定律的类比中，导热公式中的分母因此，在与欧姆定律的类比中，导热公式中的分母 叫做热阻。叫做热阻。即，即，或或,热热阻阻概概念念的的引引入入，使使得得可可以以利利用用电电路路中中的的串串并并联联电电阻阻的的计计算算公公式式来来计计算算传传热热过过程程的的合合成成热热阻阻，从从而而简简化化传传热热过过程程的的计计算。算。下面以此为例，计算多层平壁的导热问题。下面以此为例，计算多层平壁的导热问题。Shanghai Jiao Tong University 多层平壁：多层平壁：如客机座舱，锅炉炉墙等。给定给定:根据热流量相等，根据热流量相等，=常数常数 根据比例关系，根据比例关系，根据电热类比：根据电热类比：注意：注意：当导热系数为温度的线性函数时，即当导热系数为温度的线性函数时，即 ，时，取计算区域内的平均值代入。，时，取计算区域内的平均值代入。图2-7.多层平壁Shanghai Jiao Tong University2.2.通过圆筒壁内的导热通过圆筒壁内的导热(油管、气管、火焰筒油管、气管、火焰筒)设长为设长为 l，内外径，内外径 r r 1 1,r r2 2 温度温度 t t 1 1,t t2 2,导热系数导热系数 假如假如 ，可以简化为一维稳态导热：，可以简化为一维稳态导热：圆柱坐标一维导热方程：圆柱坐标一维导热方程：边界条件：边界条件：通解：通解：温度分布温度分布:(2-28)图2-8.多层圆筒壁Shanghai Jiao Tong University由温度分布，可以求出温度梯度，然后利用由温度分布，可以求出温度梯度，然后利用FourierFourier定律求出定律求出Q.Q.取微元：取微元：将温度分布代入上式将温度分布代入上式,或或对于圆筒壁的总面积，热阻为对于圆筒壁的总面积，热阻为：(2-31)Shanghai Jiao Tong University对对于于多多层层圆圆筒筒壁壁与与多多层层平平壁壁一一样样可可运运用用串串联联热热阻阻迭迭加加法法求求出导热总热量（出导热总热量（以三层壁为例）：以三层壁为例）：空空心心球球壁壁的的导导热热，内内外外球球壁壁保保持持均均匀匀恒恒定定温温度度时时，在在球球坐坐标系内亦为一维稳定导热，其温度分布和热量计算公式为：标系内亦为一维稳定导热，其温度分布和热量计算公式为：其热阻为其热阻为,或或（为壁厚）为壁厚）Shanghai Jiao Tong University2-42-4通过肋片的导热通过肋片的导热 为为了了强强化化传传热热，往往往往采采用用肋肋片片形形式式的的换换热热器器。如如暖暖气气片片，发发动动机机水水箱箱散散热热片片，气气缸缸外外套套的的肋肋片片，家家用用空空调调的的散散热热器器，锅炉铸铁式省煤器的肋片等。锅炉铸铁式省煤器的肋片等。按肋的外形分：直肋，环肋，针形肋等。按肋的外形分：直肋，环肋，针形肋等。Shanghai Jiao Tong University通过等截面直肋片的导热通过等截面直肋片的导热研究内容研究内容：l温度沿直肋片长度的分布温度沿直肋片长度的分布;l通过肋片的散热量。通过肋片的散热量。Shanghai Jiao Tong University假设：假设：l稳态导热，稳态导热，长肋片：肋片的高度长肋片：肋片的高度 肋片厚度肋片厚度 ，一一维维温温度度变变化化：因因为为一一般般为为金金属属 ，很很大大，任任一一截截面面 相相同，同，Shanghai Jiao Tong University方法一方法一方法一方法一：描述导热的通用微分方程为描述导热的通用微分方程为：导热通用微分方程的简化：导热通用微分方程的简化：因为，因为，所以，所以，式中，式中，为单位体积的热源。为单位体积的热源。相应的微元体积为相应的微元体积为 ，故，相应的折算源项（单位体积的热源），故，相应的折算源项（单位体积的热源）为，为，Shanghai Jiao Tong University特别引起注意的是特别引起注意的是 一项。一项。它是指加入微元，或微元向外释放的热量，如果我们在肋片它是指加入微元，或微元向外释放的热量，如果我们在肋片内部取微元，则，内部取微元，则，=0=0，现现在在我我们们取取dxdx长长，包包括括肋肋外外周周的的微微元元，则则所所取取微微元元有有向向外外散散热热部部分，所以在此，分，所以在此，且，且 。Shanghai Jiao Tong University方法二方法二方法二方法二：从微元热平衡求微分方程，从微元热平衡求微分方程，据，据，所以，所以，整理，整理，引进，无量纲过余温度，引进，无量纲过余温度，令，令，则，则，（二阶常微分方程）（二阶常微分方程）Shanghai Jiao Tong University其通解为，其通解为，(1)(1)C1,C2的数值取决于边界条件：的数值取决于边界条件：肋根：肋根：(2)(2)肋端的边界条件比较复杂，我们取一种：肋端的边界条件比较复杂，我们取一种：设肋端绝热：设肋端绝热：(3)(3)求解：求解：所以，所以，令，即可求出肋端温度，：令，即可求出肋端温度，：Shanghai Jiao Tong University通过肋的全部散热量：通过肋的全部散热量：有两种方法可供选择：有两种方法可供选择：*单位肋长外边长上散热的积分，单位肋长外边长上散热的积分，*计算肋根导入的热量。计算肋根导入的热量。根据热平衡：根据热平衡：由肋片散入外界的全部热量由肋片散入外界的全部热量=通过通过x=0 x=0 的肋根的导入热量的肋根的导入热量 所以，所以，对于必须考虑肋片末端面散热的少数场合，计算时，可采用一简单的方法：对于必须考虑肋片末端面散热的少数场合，计算时，可采用一简单的方法：以以直直肋肋为为例例，假假如如肋肋厚厚度度 ，则则可可以以用用假假想想高高度度代代替替实实际际肋肋高高H H ,代入原代入原Q Q公式。公式。Shanghai Jiao Tong University附录附录:Shanghai Jiao Tong University2.2.各种肋片换热面散热量的计算各种肋片换热面散热量的计算关于一般形状肋片的温度分布和散热量可从有关参考资料查得。关于一般形状肋片的温度分布和散热量可从有关参考资料查得。实实用用上上，在在采采用用理理论论方方法法求求得得后后还还把把理理论论解解转转化化为为曲曲线线形形式式表表示，以利于人们方便地查阅、计算。示，以利于人们方便地查阅、计算。在图线表示时，引进了表征肋片散热有效程度的肋效率概念。在图线表示时，引进了表征肋片散热有效程度的肋效率概念。这样，当各种形状的肋的肋效率以曲线表示后，人们根据给这样，当各种形状的肋的肋效率以曲线表示后，人们根据给定的形状参数查得肋效率后，就很容易求出实际的散热量。定的形状参数查得肋效率后，就很容易求出实际的散热量。注注意意：在在曲曲线线图图中中要要查查时时，首首先先要要算算出出横横坐坐标标（自自变变量量组组合合值）。值）。如，对于等截面直肋，如，对于等截面直肋，Shanghai Jiao Tong University图图2-19.2-19.矩形及三角形直肋的效率曲线矩形及三角形直肋的效率曲线Shanghai Jiao Tong University2-52-5具有内热源的导热及多维导热具有内热源的导热及多维导热具有内热源的导热具有内热源的导热例子：例子：*电流通过电路或线圈时的发热电流通过电路或线圈时的发热 *化学工程中的吸热与放热化学工程中的吸热与放热 *核反应装置核反应装置物理方程：物理方程：边界条件边界条件:解：解：任一位置处的热流密度：任一位置处的热流密度：图图2-26.具有均匀内具有均匀内热源的平壁热源的平壁Shanghai Jiao Tong University多维导热多维导热常用两种方法：常用两种方法：分析解法：分析解法：仅适用于具有简单几何形状与边界条件的多维问题。仅适用于具有简单几何形状与边界条件的多维问题。形状因子法：形状因子法：查表法查表法数值解法数值解法(1)(1)两维导热问题的分析解两维导热问题的分析解二维矩形物体的三个边界温度均为二维矩形物体的三个边界温度均为t t1 1，第四个边界温度为第四个边界温度为 t t2 2。无内热源，无内热源，.求：求：二维温度场。二维温度场。图2-30 矩形区域中的二维稳态导热Shanghai Jiao Tong University物理方程：物理方程：(2-54a)(2-54a)边界条件边界条件:(2-54b)(2-54b)解：解：式（式（1-54a1-54a）是关于温度的拉普拉斯方程，是一个齐次）是关于温度的拉普拉斯方程，是一个齐次方程（即方程右边为零）。方程（即方程右边为零）。首先将边界条件齐次化，然后，用分离变量法求解。首先将边界条件齐次化，然后，用分离变量法求解。引入无量纲过余温度：引入无量纲过余温度：(2-55)(2-55)Shanghai Jiao Tong University整理上述方程与边界条件：整理上述方程与边界条件：(2-56a)(2-56a)边界条件边界条件:(2-56b)(2-56b)解：采用分离变量法，解：采用分离变量法，设设 利用傅里叶级数，可以得到其分析解。利用傅里叶级数，可以得到其分析解。(2-57)(2-57)Shanghai Jiao Tong University(2)(2)形状因子法形状因子法 将两个等温面间的导热热流量写作：将两个等温面间的导热热流量写作：（2-532-53）式中，为形状因子。其与导热物体的形状及大小有关。式中，为形状因子。其与导热物体的形状及大小有关。工工程程中中常常见见的的复复杂杂结结构构的的导导热热问问题题，已已用用分分析析方方法法或或数数值值方法确定了其形状因子表达式。部分结果列于表方法确定了其形状因子表达式。部分结果列于表2-22-2。Shanghai Jiao Tong UniversityShanghai Jiao Tong University