3.2.4立体几何中的向量方法求夹角.ppt
3.2.4立体几何中的向量方法求夹角1.异面直线所成角异面直线所成角lmlm若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 ,则则复习引入复习引入1.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角(1)定义定义:设设a,b是两条异面直线是两条异面直线,过空间任一点过空间任一点O作直线作直线a a,b b,则则a,b 所夹的锐角或直角叫所夹的锐角或直角叫a与与b所成的所成的角角.(2)范围范围:(3)向量求法向量求法:设直线设直线a、b的方向向量为的方向向量为 ,其夹角其夹角为为 ,则有则有(4)注意注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角应取其补角作为两异面直线所成的角.空间三种角的向量求解方法空间三种角的向量求解方法例例2解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则：所以：所以：所以 与 所成角的余弦值为 题后感悟如何用坐标法求异面直线所成的角？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角 方方向向向向量量法法 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的夹角。如图（的夹角。如图（2），设二面角），设二面角 的大小为的大小为其中其中AB DCLBA2、二面角、二面角注意法向量的方向：同进同注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角等于法向量夹角L 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 2、二面角、二面角若二面角若二面角 的大小为的大小为 ,则则法向量法法向量法BDCA3.二面角二面角(1)范围范围:(2)二面角的向量求法二面角的向量求法:若若AB、CD分别是二面角分别是二面角 的的两个面内与棱两个面内与棱l垂直的异面直线垂直的异面直线,则二面角则二面角的大小就是向量的大小就是向量 与与 的夹角的夹角(如图如图(1)设设 是二面角是二面角 的两个面的两个面 的法向量的法向量,则向量则向量 与与 的夹角的夹角(或其补或其补角角)就是二面角的平面角的大小就是二面角的平面角的大小(如图如图(2)(1)(2)例例2 正正三三棱棱柱柱 中中，D是是AC的的中点，当中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A1以以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以，可取所以，可取 二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角设平面 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值 策略点睛 题后感悟如何利用法向量求二面角的大小？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小 ABn3.线面角线面角设设n为平面为平面 的法向量，直线的法向量，直线AB与平面与平面 所所成的角为成的角为 ，向量，向量 与与n所成的角为所成的角为 ，则则n而利用而利用 可求可求 ，从而再求出从而再求出 3.线面角线面角l设设直直线线l的的方方向向向向量量为为 ，平平面面 的的法法向向量量为为 ，且且直线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 (),则则2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)定义定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围范围:(3)向量求法向量求法:设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ,平面的法平面的法向量为向量为 ,直线与平面所成的角为直线与平面所成的角为 ,与与 的的夹角为夹角为 ,则有则有N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体在长方体 中，中，例例1：N又又在长方体在长方体 中，中，例例1：例例2、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平为平行四边形，侧面行四边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCDOxyz【典例剖析典例剖析】例例3 如如图图,在四棱在四棱锥锥PABCD中，底面中，底面ABCD为为矩形，矩形，侧侧棱棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在，在线线段段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小所成角的大小为为450?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在的位置；若不存在说说明理由。明理由。【典例剖析典例剖析】DBACEPxzy解：以解：以A为原点，为原点，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，设设BE=m，则，则2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_._.3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则，则两平面所成的钝二面角为两平面所成的钝二面角为_._.基础训练基础训练:1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.6001350【巩固练习巩固练习】1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角所成角的余弦的余弦值为值为_.2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_.3正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形问题）（回到图形问题）小结：小结：小结：小结：1.异面直线所成角学学.科科.网网：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围谢谢观赏谢谢观赏
