数字图像处理第2章.ppt

张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室第2讲 图像的频域变换2.1 2.1 傅立叶变换傅立叶变换2.2 2.2 离散余弦变换离散余弦变换2.52.5 离散沃尔什离散沃尔什-哈达玛变换哈达玛变换 2.42.4 小波变换小波变换2.32.3 Gabor变换变换张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室频域变换的意义在计算机的图像处理中，所谓图像变换就是为达到图像处理的某种目的而使用的一种数学技巧.图像函数经过变换后处理起来较变换前更加简单和方便，由于这种变换是对图像函数而言的，所以称为图像变换。现在研究的图像变换基本上都是正交变换，正交变换可以减少图像数据的相关性，获取图像的整体特点，有利于用较少的数据量表示原始图像，这对图像的分析、存储以及图像的传输都是非常有意义的。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室傅立叶变换一维连续函数的傅立叶变换对定义为：（2.1.1）（2.1.2）2.1.1二维离散傅立叶变换张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室（2.1.3）二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换(DFT)张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室图图2.1.1 二维傅立叶变换的频谱分布二维傅立叶变换的频谱分布2.1.2 数字图像傅立叶变换的频谱分布和统计特性数字图像傅立叶变换的频谱分布和统计特性 张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室1数字图像傅立叶变换的频谱分布 数字图像的二维离散傅立叶变换所得结果的频率成分如图2.1.1所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅立叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅立叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室图2.1.2 频率位移示例张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室图2.1.2给出了二维离散傅立叶变换的频率位移特性示例。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，如果在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室2图像傅立叶变换的统计分布（1）傅立叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据公式（2.1.9），它反映了原始图像的平均亮度。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 (a)Lena (b)Barbara (c)Mandrill图图2.1.3 国际上流行的三幅标准图像国际上流行的三幅标准图像张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室傅立叶变换应用举例去除正弦波噪声去除白噪声l信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等；l研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。l概率与统计，量子力学等学科。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 2.2 离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)(Discrete Cosine Transform)如果一个函数如果一个函数f(x)为偶函数，即为偶函数，即f(x)=f(-x)，求此函数的傅立叶变求此函数的傅立叶变换如下：换如下：（2.2.1）张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室一维离散余弦变换一维离散余弦变换设设f(x)|x=0，1，N-1为离散的信号序列，一维为离散的信号序列，一维DCT变换对定义变换对定义 如下：如下：（2.2.2）u=0，1，2，N1 x=0，1，2，N1 张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室二维离散余弦变换正、反变换核为：二维离散余弦变换正、反变换核为：（2.2.3）DCTDCT的变换核具有可分离性，而且二维的变换核具有可分离性，而且二维DCTDCT的正反变换核是相同的。的正反变换核是相同的。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室DCT变换频谱示意图张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 与变换核为复指数的DFT相比，由于DCT的变换核是实数的余弦函数，因此DCT的计算速度要快，广泛应用于数字信号处理，如图像压缩编码、语音信号处理等方面。DCT变换的意义张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室加窗傅立叶变换加窗傅立叶变换-Gabor变换变换傅立叶变换对:2.3 2.3 加窗傅立叶变换加窗傅立叶变换(2.3.1)加窗傅立叶变换张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室离散信号加窗傅立叶变换对:(2.3.2)张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室图2.3.1STFT示意图张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室图2.3.2lenna图加窗傅立叶变换的频谱张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室2.3.1 Gabor变换的基本概念a，b为常数(a代表栅格的时间长度，b代表栅格的频率长度)，如图2.3.3所示。图2.3.3Gabor展开的取样栅格张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室图2.3.4h(t)的位移和调制图示张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室高斯函数有紧支撑的适度光滑函数Gabor变换最初提出时，指定用了高斯窗张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室加窗傅立叶变换的不足加窗傅立叶变换的不足:时时-频窗的形状对时频精细化程度的影响频窗的形状对时频精细化程度的影响 时频窗的面积时频窗的面积加窗傅立叶变换的优点加窗傅立叶变换的优点:能够对信号进行时能够对信号进行时-频局部化分析频局部化分析 不能自适应的调整时不能自适应的调整时-频窗频窗张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室小波变换2.5 小波变换小波变换2.5.1 小波变换的发展历程：小波变换的发展历程：1910年，年，Harr函数系在工程界常用函数系在工程界常用1946年，年，Gabor创立了时创立了时-频相位空间理论，这是早期的频相位空间理论，这是早期的非正交小波展开非正交小波展开1981年，法国地质物理学家年，法国地质物理学家Morlet首先（第一次）首先（第一次）提出了小波分析的概念提出了小波分析的概念张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室2.5.2什么是小波（什么是小波（Wavelets）小波变换是一种工具，它把数据、函数或算子分割成不同频率的小波变换是一种工具，它把数据、函数或算子分割成不同频率的成分，然后再用分解的方法去研究对应尺度下的成分。成分，然后再用分解的方法去研究对应尺度下的成分。小波分析时傅立叶分析发表近两个世纪以来最佳的继承、总结小波分析时傅立叶分析发表近两个世纪以来最佳的继承、总结和发展和发展小波变换是一种时频局部化或称为时频定位的工具，有数学小波变换是一种时频局部化或称为时频定位的工具，有数学显微镜显微镜之称，同时它还具有良好的之称，同时它还具有良好的自适应性质自适应性质张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室无时无时-频定位信息频定位信息可以获得时间局部化的信息可以获得时间局部化的信息进行时进行时-频定位的一种标准方法频定位的一种标准方法张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室小波变换与加窗傅立叶变换的相似与不同：小波变换与加窗傅立叶变换的相似与不同：窗口傅立叶变换函数和小波变换函数的对比窗口傅立叶变换函数和小波变换函数的对比张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室2.5.4 二维离散小波变换二维离散小波变换张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室图图2.5.1 二级小波变换示例二级小波变换示例 小波变换在图像压缩中的应用小波变换在图像压缩中的应用2.5.5 小波变换应用小波变换应用张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 工程工程、物理及纯数学领域、物理及纯数学领域 图像处理与传输、信号处理、模式识别、地震探图像处理与传输、信号处理、模式识别、地震探测、音乐、雷达、测、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、成像、彩色复印、流体湍流、机器视觉、机械故障诊断与监控以及机器视觉、机械故障诊断与监控以及HDTV等等。等等。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 DFT和和DCT在快速算法中要用到复数乘法、三角函数乘法，这在快速算法中要用到复数乘法、三角函数乘法，这些运算占用时间较多，在某些应用领域，需要更有效和便利的变换些运算占用时间较多，在某些应用领域，需要更有效和便利的变换方法。方法。沃尔什（沃尔什（WalshWalsh）变换就是其中一种，在它的变换核矩阵中，）变换就是其中一种，在它的变换核矩阵中，只含有只含有1 1和和1 1两种元素，因此在计算过程中只有加减运算而没有两种元素，因此在计算过程中只有加减运算而没有乘法运算，从而大大提高了运算速度，且易于硬件实现、抗干扰性乘法运算，从而大大提高了运算速度，且易于硬件实现、抗干扰性好，尤其是在实时处理大量数据时，沃尔什变换更加显示出其优越好，尤其是在实时处理大量数据时，沃尔什变换更加显示出其优越性，故获得了一定范围的应用。性，故获得了一定范围的应用。2.3 2.3 沃尔什沃尔什-哈达玛变换哈达玛变换张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室2.3.1 2.3.1 一维离散沃尔什函数变换核定义：一维离散沃尔什函数变换核定义：正变换核：正变换核：反变换核：反变换核：（2.3.1）张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室N8时沃尔什函数核形成的阵列时沃尔什函数核形成的阵列 张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室二维离散沃尔什变换二维离散沃尔什变换性质性质:变换核具有可分离性变换核具有可分离性 变换核的矩阵形式变换核的矩阵形式 WT具有能量集中的性质具有能量集中的性质(说明说明)张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室2.3.2 一维哈达玛变换一维哈达玛变换（Hadamard）正变换核：正变换核：反变换核：反变换核：（2.3.2）其中，指数上的求和是以其中，指数上的求和是以2为模的；为模的；称为哈达玛变换的阶数；称为哈达玛变换的阶数；是是z的二进制表示的第的二进制表示的第k位。位。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室例如例如,N=2n=8时的变换核和反变换核用矩阵形式表示为时的变换核和反变换核用矩阵形式表示为:对应对应x=1,u=4,n=3,考虑考虑x=(0001),u=(0100)张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室N8时，哈达玛核形成的阵列时，哈达玛核形成的阵列张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达玛变换矩阵哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达玛变换矩阵也是一个方阵，只包含也是一个方阵，只包含1和和1两种矩阵元素，各行和各列之间彼此是两种矩阵元素，各行和各列之间彼此是正交的；哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换核矩阵的不同之处仅仅是行和正交的；哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换核矩阵的不同之处仅仅是行和列的次序不同；哈达玛变换的最大优点在于它的变换核矩阵具有简单的列的次序不同；哈达玛变换的最大优点在于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以由低阶矩阵的克罗内克积求得。递推关系，即高阶矩阵可以由低阶矩阵的克罗内克积求得。张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室应用克罗内克快速求哈达玛变换核应用克罗内克快速求哈达玛变换核矩阵克罗内克积矩阵克罗内克积:张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室哈达玛变换核满足克罗内克运算哈达玛变换核满足克罗内克运算张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 阶哈达玛矩阵有如下形式：阶哈达玛矩阵有如下形式：张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室哈达玛变换核的递推公式哈达玛变换核的递推公式(2.3.3)张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室 二维二维W-H正、反变换核是可分离的和对称的，因正、反变换核是可分离的和对称的，因此一个二维的离散哈达玛正变换或反变换可以通过两此一个二维的离散哈达玛正变换或反变换可以通过两次一维的哈达玛变换或反变换来完成。次一维的哈达玛变换或反变换来完成。W-H变换的特点变换的特点:无乘积计算无乘积计算 有快速算法有快速算法 可由递推关系求得哈达玛矩阵可由递推关系求得哈达玛矩阵张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室例例:求下列图像的哈达玛变换求下列图像的哈达玛变换(1(1)已知已知:由克罗内克积求哈达玛变换核由克罗内克积求哈达玛变换核H哈达玛变换公式哈达玛变换公式:张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室(2(2)张明艳张明艳 安徽工程大学电气工程学院电科研室安徽工程大学电气工程学院电科研室N=8时沃尔什与哈达玛变换核时沃尔什与哈达玛变换核