第八章梁的弯曲案例.ppt

主主 编编 张明影张明影副主编副主编 魏晓棠魏晓棠北京理工大学出版社国家示范性高等职业教育规划教材第六章第六章 拉压与剪切拉压与剪切第五章第五章 材料力学的概念第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲第七章第七章 圆轴的旋转圆轴的旋转第二模块 材料力学第九章第九章 梁的变形梁的变形第六章第六章 拉压与剪切拉压与剪切第十章第十章 压杆稳定压杆稳定第六章第六章 拉压与剪切拉压与剪切第五章第五章 材料力学的概念第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲第二模块 材料力学第九章第九章 梁的变形梁的变形第六章第六章 拉压与剪切拉压与剪切第十章第十章 压杆稳定压杆稳定第二模块第二模块 材料力学材料力学第八章第八章 梁的弯曲8.1 工程中的弯曲问题8.2梁的计算简图8.3剪力和弯矩8.4剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图8.5梁对称弯曲时的正应力8.6梁对称弯曲时的切应力8.7梁的强度条件及应用8.8提高梁强度的措施第八章第八章 梁的弯曲8.1 工程中的弯曲问题构件在各自的载荷作用下，其轴线将由原来的直线弯成曲线，此种变形称为弯曲称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁称为梁。图81图82第八章第八章 梁的弯曲 工程实际中，绝大部分梁的横截面至少有一根对称轴，全梁至少有一个纵向对称面。使杆件产生弯曲变形的外力一定垂直于杆轴线，若这样的外力又均作用在梁的某个纵向对称面内（如图83所示），则梁的轴线将弯成位于此对称面内的一条平面曲线，此种弯曲称为对称弯曲对称弯曲。图83纵向对称面纵向对称面对称轴对称轴轴线轴线qpm第八章第八章 梁的弯曲8.2梁的计算简图梁的计算简图一、一、载荷的简化载荷的简化 一般可将载荷简化为两种形式。当载荷的作用范围很小时，可将其简化为集中载荷集中载荷（如图8-3中的集中力P、集中力偶m）。若载荷连续作用于梁上，则可将其简化为分布载荷分布载荷，呈均匀分布的载荷称均布载荷均布载荷（如图8-3中的均布载荷q）。分布于单位长度上的载荷大小，称为载荷载荷集度集度，通常以q表示。国际单位制中，集度单位N/m，或KN/m。图83纵纵向向对对称称面面对对 称称轴轴轴轴线线qpm第八章第八章 梁的弯曲8.2梁的计算简图梁的计算简图二、实际约束的简化二、实际约束的简化a 滑动铰支座 这种支座只在支承处限定梁沿垂直于支座平面方向的位移，因此，只产生一个垂直于支座平面的约束力（图8-4a）。b 固定铰支座 这种支座在支承处限定梁沿任何方向的位移，因此，可用两个分力表示相应的约束力（图84b）。图84FxFyFyFyFxM或(a)(c)(b)第八章第八章 梁的弯曲C 固定端 这种约束既限定梁端的线位移，也限定其角位移，因此，相应的约束力有三个：两个约束分力，一个约束力偶（图84c）。图84FxFyFyFyFxM或(a)(c)(b)第八章第八章 梁的弯曲8.2梁的计算简图梁的计算简图三、梁的类型三、梁的类型 约束反力全部可以根据平衡方程直接确定，这样的梁称为静定梁静定梁。根据约束的类型及其所处位置，可将静定梁分为三种基本类型：a简支梁简支梁 一端为固定铰支座，另一端为滑动铰支座的梁。如图81b b外伸梁外伸梁 简支梁的一端或两端外伸。如图82b c悬臂梁悬臂梁 一端固定而另一端自由的梁。如图85图85q图81图82第八章第八章 梁的弯曲8.3剪力和弯矩剪力和弯矩 梁上的载荷及约束力确定后，即可利用截面法分析梁的内力，进而为计算梁的强度及刚度做好准备。以图86为例，用截面法分析C处截面的内力：首先依据平衡条件确定约束力。因该梁结构及所受载荷对称，故可直接求出约束力 AAm mq=20/mmBC图86B0.2m第八章第八章 梁的弯曲 以一假想平面在C处将梁截开，选其中一部分（左段）为研究对象，分析AC段受力（如图86）。AC段上作用着均布载荷q、约束力RA这样的外载荷、及C截面的内力（BC段对AC段的作用力）。由平衡条件可知，C截面上一定存在沿铅垂方向的内力，这种与截面平行的内力称为剪力剪力，以Fs表示。剪力的大小及实际方向由平衡方程确定：（C截面上剪力的实际方向向下）AAm mq=20/mmBC图86B0.2m第八章第八章 梁的弯曲 又由平衡条件 可知，C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶力偶。此力偶的作用面位于梁的对称面，其矢量垂直于梁的轴线，此内力分量称为弯矩弯矩，以M表示。弯矩的大小及实际方向由平衡方程确定：注：一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心（C截面弯矩的实际方向为逆时针）AQAqCM图87第八章第八章 梁的弯曲 在上面以截面法计算弯曲内力的过程中，我们选取了左段左段作为研究对象，所求得的剪力与弯矩是C处左截面上的弯曲内力。若选取右段右段作为研究对象，所求得的弯曲内力则为C处右截面的内力，而左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反相反的（因其为作用力与反作用力的关系），如图88所示。因此，有必要对弯曲内力的符号做如下规定：使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负；使保留段产生下凸变形的弯矩为正，反之为负下凸变形的弯矩为正，反之为负。如图8-8,8-9所示。图8-8图8-9第八章第八章 梁的弯曲 综上所述，可将计算弯曲内力的方法概括如下：1、在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁切开，选其中一段为研究对象（一般选择载荷较少的部分为研究对象，以便于计算）2、对研究对象进行受力分析，此时，一般按正方向画出剪力与弯矩。3、由平衡方程 计算剪力Fs4、以所切截面形心为矩心，由平衡方程 计算弯矩。第八章第八章 梁的弯曲 8.4剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图梁横截面上的剪力与弯矩是随截面的位置而变化的。在计算梁的强度及刚度时，必须了解剪力及弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找出最大剪力与最大弯矩的数值及其所在的截面位置。沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系，即 上述关系式分别称为剪力方程剪力方程和弯矩方程弯矩方程。若以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图。第八章第八章 梁的弯曲 例81一悬臂梁AB（图89a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力图及弯矩图。解：（1）列剪力方程与弯矩方程 以A为坐标原点，在距原点x处将梁截开，取左段梁为研究对象，其受力分析如图810b 由平衡方程求x截面的剪力与弯矩(b)ABPxLxAQPOM（x）PQxMxPL(c)(d)(a)图810（2）依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图与弯矩图 由剪力方程可知，梁各截面的剪力不变，因此剪力图为一条水平直线。如图810c 由弯矩方程可知，弯矩是x的一次函数。如图8-10d第八章第八章 梁的弯曲 例82一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用（图810a）。作此梁的剪力图与弯矩图。ql2/8AAAlqBBxAQqoMxql/2ql/2（b）（c）（d）（a）图810解：(1)求支座反力(2)列剪力方程与弯矩方程 在距A点x处截取左段梁为研究对象，其受力如图910b。由平衡方程得由得第八章第八章 梁的弯曲 （3）画剪力图与弯矩图 由剪力方程可知剪力图为一斜直线。（两点确定一线：x=0时，Q=ql/2；x=l时，Q=-ql/2）如图810c 由弯矩方程可知弯矩图为一抛物线：抛物线上凸；在x=l/2处，弯矩有极值，Mmax=ql2/8；x=0及x=l时，M=0。如图810d 由剪力图及弯矩图可见，在靠近两支座的由剪力图及弯矩图可见，在靠近两支座的横截面上剪力的绝对值最大。在梁的中点截面横截面上剪力的绝对值最大。在梁的中点截面上，剪力为零，而弯矩最大。上，剪力为零，而弯矩最大。ql2/8AAAlqBBxAQqoMxql/2ql/2（b）（c）（d）（a）图810第八章第八章 梁的弯曲 例83图812a所示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。解：1、计算支反力。由平衡方程 BBx2Q2M2图812bAAlP PBCBx1x2a(a)AAx1Q1M1ap/lbp/lPab/l(b)(c)(d)(e)和 分别求得：2、建立剪力方程与弯矩方程由于C处有集中力P作用，故AC和BC两段梁的剪力方程和弯矩方程不同，必须分别列出。第八章第八章 梁的弯曲 BC段：为计算简便，以B为原点，在距B点X2处截取梁的右段作为研究对 象，其受力如图911c所示。根据平衡条件分别得：AC段：以A为原点，在距A点X1处截取左段梁作为研究对象，其受力如图811b所示。根据平衡条件分别得第八章第八章 梁的弯曲 3、画剪力图与弯矩图 根据AC、BC两段各自的剪力方程与弯矩方程，分别画出AC、BC两段梁的剪力图与弯矩图。图812d、812e可以看出，可以看出，截面截面C的弯矩最大。的弯矩最大。如果ab，则BC段的剪力的绝对值最大。结论：结论：在集中力作用处，其左、右两侧横截面上在集中力作用处，其左、右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力则发生突变，突变量等的弯矩相同，而剪力则发生突变，突变量等于该集中力之值。于该集中力之值。BBx2Q2M2图812bAAlP PBCBx1x2a(a)AAx1Q1M1ap/lbp/lPab/l(b)(c)(d)(e)第八章第八章 梁的弯曲 例84图813a所示简支梁，在截面C处受到矩为m的集中力偶作用，试作梁的剪力图与弯矩图。解：1、计算支反力。由平衡方程 与分别求得：(c)bAAlm mBCBx1x2a(a)ma/lmb/lm/l(b)图813 2、建立剪力方程与弯矩方程 分别于C与C+处将梁截开，分别取左段与右段为研究对象，并分别以Q1、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：AAx1Q1M1BBx2Q2M2m m第八章第八章 梁的弯曲 3、画剪力图与弯矩图 根据剪力方程及弯矩方程，可作出如图712b、c所示的剪力图与弯矩图。结论结论：在集中力偶作用在集中力偶作用处处，其左右两，其左右两侧侧横截面上的剪力相同，但弯矩横截面上的剪力相同，但弯矩则发则发生突生突变变，突，突变变量等于量等于该该集中力偶之矩。集中力偶之矩。第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力 图814a所示简支梁，在P力作用下，产生对称弯曲。观察图814b、c所示的该梁的剪力图与弯矩图，CD段梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零，我们称这种弯曲为纯弯曲纯弯曲。AC、BD段梁的各横截面上同时有剪力与弯矩，这种弯曲称为横力弯横力弯曲曲。为了更集中地分析正应力与弯矩的关系，下面我们将以纯弯曲为研究对象，去分析梁横截面上的正应力。（a）图814QAD DBCPPM（b）（c）第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力一、一、纯弯梁横截面上的正应力纯弯梁横截面上的正应力1纯弯曲的实验现象及相关假设 为了研究横截面上的正应力，我们首先观察在外力作用下梁的弯曲变形现象：取一根矩形截面梁，在梁的两端沿其纵向对称面，施加一对大小相等、方向相反的力偶，即使梁发生纯弯曲（图815）。我们观察到如下的实验现象：图815第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力（1）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。（2）横向直线仍为直线，只是横截面间作相对转动，但仍与纵线正交。（3）在纵向拉长区，梁的宽度略减小，在纵向缩短区，梁的宽度略增大。根据上述表面变形现象，我们对梁内部的变形及受力作如下假设：（1）梁的横截面在梁变形后仍保持为平面，且仍与梁轴线正交。此为平面假设。（2）梁的所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉长或缩短（即纵向纤维之间无相互挤压）。此为单向受力假设。第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力我们将与底层平行、纵向长度不变的那层纵向纤维称为中性层中性层。中性层即为梁内纵向纤维伸长区与纵向纤维缩短区的分界层。中性层与横截面的交线被称为中性轴中性轴。概括起来就是：概括起来就是：纯弯梁变形时，所有横截面均保持为平面，只是绕各自的中性轴转过一角度，各纵向纤维承受纵向力，横截面上各点只有拉应力或压应力。第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力2.纯弯梁变形的几何规律 我们用相距为dx的两横截面11与22，从矩形截面的纯弯梁中切取一微段作为分析对象（如图816a），并建立图示坐标系：z轴沿中性轴，y轴沿截面对称轴。梁弯曲后，设11与22截面间的相对转角为d、中性层O1O2的曲率半径为，我们分析距中性层为y处的纵线ab的变形量：图8161122O1yO2xabdxdy1122O1O2abzy中性轴（a）（b）第八章第八章 梁的弯曲 故ab纵线的正应变则为：上式表明：每层纵向纤维的正应变与其到中性层的距离成线形关系。3、物理方程与应力分布 由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由虎克定律知（81）（82）图8161122O1yO2xabdxdy1122O1O2abzy中性轴（a）（b）上式表明了横截面上正应力的分布规律，即正应力即正应力沿截面高度呈线形分布，而中性轴上各点的正应力为沿截面高度呈线形分布，而中性轴上各点的正应力为零。零。如图817-max+max中性轴图817第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力4静力学关系 如图818所示，横截面上各处的法向微内力dA组成一空间平行力系，而且，由于横截面上没有轴力，只有位于梁对成面内的弯矩M，因此：xzyydAc图818M得：即 由静力学知道，截面形心C的y坐标为（83）（85）（84）将式（85）代入得由此可见，中性轴过截面形心中性轴过截面形心。第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力再将式（82）代入式（84），并令得（86）由此可知，中性由此可知，中性层层的曲率的曲率为为：（87）式中，Iz为截面对为截面对Z轴的惯性矩，轴的惯性矩，它是仅与截面形状及尺寸有关的几何量。由（82）式可知，中性层的曲率1/与弯矩M成正比，与EIz成反比。可见，EIz的大小直接决定了梁抵抗变形的能力，因此我们称EIz为梁的截面抗弯刚度为梁的截面抗弯刚度，简称为抗弯刚度抗弯刚度。第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力 通过以上推导，我们得知了梁弯曲后中性轴的位置及中性层的曲率半径。将（87）式代入（82）中，即可得横截面上任一点的正应力计算公式：（88）弯矩为正时，中性层以下属拉伸区，产生拉应力；中性层以弯矩为正时，中性层以下属拉伸区，产生拉应力；中性层以上部分属压缩区，产生压应力。弯矩为负时，情况则相反。上部分属压缩区，产生压应力。弯矩为负时，情况则相反。第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力二、二、常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩1、常见截面的惯性矩常见截面的惯性矩（1）矩形截面的惯性矩矩形截面的惯性矩Iz 。图819所示矩形截面，其高、宽分别为h、b，z轴通过截面形心C并平行于矩形底边。为求该截面对z轴的惯性矩，在截面上距z轴为y处取一微元面积（图中阴影部分），其面积dA=bdy，根据惯性矩定义有：b/2b/2b/2b/2C Cy ydydyz zy yh/2h/2图819同理可得截面对y轴的惯性矩：（89）第八章第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力梁对称弯曲时的正应力图820dzy yzc （2）圆形截面的惯性矩Iz 图820所示直径为d的圆形截面，Z、y轴均过形心C。因为圆形对任意直径都是对称的。因此有Iz=Iy。在圆截面上取微面积dA，因为 ，于是，圆截面对中心的极惯性矩IP与其对中性轴的惯性矩Iz有如下关系：（810）同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为（811）故有：式中式中D为空心圆截面的外径，为空心圆截面的外径，为内、外径的比值。为内、外径的比值。第八章第八章 梁的弯曲 式中，Iz/ymax是只与截面的形状及尺寸相关的几何量，称其为抗弯截面抗弯截面模量模量，用Wz表示，即 （812）因此，最大弯曲正应力即为 （813）（1）矩形截面抗弯截面系数（814）（2）圆形截面抗弯截面系数（815）同理，空心圆截面的抗弯截面系数（816）2、抗弯截面系数由公式88可知，当y=ymax时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为：第八章第八章 梁的弯曲 3、组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 在工程实际中，许多构件的横截面是由简单图形组合而成的，对这种组合截面，我们用组合法计算其惯性矩。即将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1，A2、An。根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：（817）式式817即为惯性矩的组合公式。即为惯性矩的组合公式。第八章第八章 梁的弯曲 如图821，z轴过组合截面的形心，欲求组合截面对z轴的惯性矩Iz，则可将组合截面划分为三个矩形（、），每个矩形对z轴的惯性矩之和，即为Iz。以矩形为例，z0轴过其形心，欲求其对z轴的惯性矩，则需知道矩形对z0、z这两个平行轴的两个惯性矩之间的关系。下面我们将推导这种关系：zz z0 0图821第八章第八章 梁的弯曲 图822中，C为截面形心，z轴与z0轴平行且相距为d，微面积dA在y-z、y0-z0坐标系中的纵坐标分别y、y0，根据惯性矩定义有：zyz z0 0y y0 0yy y0 0d图822CdA上式展开得：上式展开得：因因z0通过形心通过形心C，故：，故：=0于是得出结论：于是得出结论：此此式即为平行移轴定理式即为平行移轴定理（截面对形心轴的惯性矩最小截面对形心轴的惯性矩最小）（818）第八章第八章 梁的弯曲 例85图823所示为T字形截面，求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。解：（1）确定界面形心C的位置 建立坐标系Oyz,将截面分为两个矩形、，其面积及各自的形心纵坐标分别为：A160201200mm2 yC120/210mm A2=4020800 mm2 yC240/22040mm由形心计算公式，组合截面形心C的纵坐标为：20204060COyyCZZC图823（2）求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。根据组合公式817有：由平移轴公式813有：故有：第八章第八章 梁的弯曲 三、三、横力弯曲时梁的正应力计算横力弯曲时梁的正应力计算大量的理论计算与实验结果表明：只要梁是细长的，例如l/h5（梁的跨高之比大于5），剪力对弯曲正应力的影响将是很小的，可以忽略不计。因此，应用公式83计算横力弯曲时的正应力，其值仍然是准确的。（88）第八章第八章 梁的弯曲 例86图824a所示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。试求B截面上c、d两点的正 应力。解：（1）求B截面上的弯矩由截面法（AB受力分析如图811b），求得：图824lqA AB BQBqA AB BMBbhc cd dh/2zy（b）（a）（2）求B截面上c、d处的正应力。由公式88，有：因B截面上的弯矩为负，故横截面上中性轴z以上各点产生拉应力、以下各点产生压应力。所以，C点处为拉应力，d点处为压应力。第八章第八章 梁的弯曲 例87求图825所示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。P=20KN，Iz=10200cm4。ABCP2P96.45050200150yz解：（1 1）画弯矩画弯矩图图，确定危，确定危险险面面 因为梁是等截面的，且横截面相对z轴不对称，铸铁的抗拉能力与抗压能力又不同，故绝对值最大的正、负弯矩所在面均可能为梁的危险面。弯矩图如图825b（2）确定危险点，计算最大拉应力与最确定危险点，计算最大拉应力与最大压应力大压应力。由弯矩图看出，A、B两截面均可能为危险面。A、B截面正应力分布如图825c。(a)12KNm16KNmy2y1MAy2y1MA图825(b)(c)第八章第八章 梁的弯曲 显然，A截面上的最大拉应力要大于B截面上的最大拉应力，故梁内最大拉应力发生在A截面下边缘各点处，其值为：对A、B两截面，需经计算，才能得知哪个截面上的最大压应力更大：由此可见，梁内最大压应力发生在B截面的下边缘各点处。第八章第八章 梁的弯曲 8.6梁对称弯曲时的切应力梁对称弯曲时的切应力图827所示矩形截面梁，高为h,宽为b，截面上的剪力为Q(图中未画出弯矩)。根据剪应力互等定理可知，在截面的两侧边缘，剪应力的方向一定平行于截面侧边。根据局部梁的平衡条件，可推出梁横截面上y处的剪应力为：yzybhQ(中性轴)图827yC(819)式中，Q为横截面上的剪力；b为横截面上所求应力点处的宽度；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩第八章第八章 梁的弯曲 Sz（）为y处横线一侧的部分横截面对中性轴的静矩。将上式及Iz=bh3/12代入式814，得：上式表明，矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度按抛物线规律变化；在截面的上、下边缘（y=h/2），=0；在中性轴处（y=0）,剪应力最大，其值为即最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。（820）(821)根据以上分析，可画出沿横截面高度方向的剪应力分布图 （如图如图814）图814ybhc czymax第八章第八章 梁的弯曲 例88.试计算图829所示工字形截面梁内的最大剪应力。解：（1）画梁的剪力图。最大剪力为15KN （2）查表得No16工字钢的截面几何数据b=6mm Iz/Sz()=13.8cm （3）计算应力5KN5KN10KN10KN15KN15KN图829 第八章第八章 梁的弯曲 8.7梁的强度条件及应用梁的强度条件及应用1、弯曲强度条件弯曲强度条件 在一般载荷作用下的细长、非薄壁截面梁，弯矩对强度的影响，要远大于剪力的影响。因此，对细长非薄壁梁进行强度计算时，主要是限制弯矩所引起的梁内最大弯曲正应力不得超过材料的许用正应力，即：（822）此式此式为弯曲强度条件为弯曲强度条件第八章第八章 梁的弯曲 8.7梁的强度条件及应用梁的强度条件及应用2、强度条件的应用强度条件的应用在进行强度计算时，一般应遵循下列步骤：（1）分析梁的受力分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力；分析梁的内力（画出弯矩图）（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险面：依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险面。对变截面梁，则需依据弯矩及截面变化情况，才能确定危险面。（3）确定危险点：确定危险点：对于拉、压力学性能相同的材料（如钢材），其最大拉应力点和最大压应力点具有同样的危险程度，因此，危险点显然位于危险面上离中性轴最远处。而对于拉、压力学性能不等的材料（如铸铁），则需分别计算梁内绝对值最大的拉应力与压应力。（4）依据强度条件，进行强度计算。依据强度条件，进行强度计算。第八章第八章 梁的弯曲 例89一原起重量为50KN的单梁吊车，其跨度l=10.5m（其计算简图如图830a），由45a号工字钢制成。而现拟将其重量提高到Q=70KN，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承受的起重量。梁的材料为A3钢，许用应力=140MPa；电葫芦自重G=15KN，暂不考虑梁的自重。图8-30lQ+GQ+G(a)(b)（Q+G）l/4解：（1）做弯矩）做弯矩图图，确定危，确定危险险面面显然，当电葫芦行至梁中点时所引起的弯矩最大，此时弯矩如图830b。由弯矩图可知，危险面为中点处的截面，其弯矩为 第八章第八章 梁的弯曲 （2）计算最大弯曲正应力）计算最大弯曲正应力 等截面梁，且截面（如工字钢、矩形、圆形）关于中性轴对称，此类梁的最大弯曲正应力显然发生在危险截面（最大弯矩处）的上下边缘点处。由型钢表查得45a号工字钢的抗弯截面模量故梁内最大工作正应力为（3 3）依据）依据强强度条件，度条件，进进行行强强度度计计算算 显然，最大工作应力超过了材料的许用应力，故梁不安全。梁的最大承载能力：因此，梁的最大起重量为因此，梁的最大起重量为61.3KN。第八章第八章 梁的弯曲 例810图831a所示简支梁，受均布载荷q作用，梁跨度l=2m，=140MPa，q=2KN/m，试按以下两个方案设计轴的截面尺寸，并比较重量。（1）实心圆截面梁 （2）空心圆截面梁，其内、外径之比=0.9。q ql lqlql2 2/8/8（a）解：解：画梁的弯矩图（如图831b），由弯矩图可知，梁中点截面为危险截面，其上弯矩值为：图831（b）（1）设计实心截面梁的直径d。依据强度条件：将 代入解得 取d=42mm第八章第八章 梁的弯曲 （2）.确定空心截面梁的内、外径d1及D 将 代入强度条件解得 取 D=60mm,则 d1=0.9D=54mm（3）.比较两种不同截面梁的重量 因材料及长度相同，故两种截面梁的重量之比等于其截面积之比。重量比=计算结果表明计算结果表明:空心截面梁的重量比实心截面梁的重量小很多。因此，在满足强度要求的前提下，采用空心截面梁，可节省材料、减轻结构重量。第八章第八章 梁的弯曲 在下列几种特殊情况下，则应同时考虑弯曲正应力强度条件及剪应力强度条件。因为这类特殊情况下，梁内往往产生较大的弯曲剪应力。（1）薄壁截面梁薄壁截面梁（2）弯矩较小而剪力较大的梁，如短而粗的梁弯矩较小而剪力较大的梁，如短而粗的梁（3）集中载荷作用于支座附近的梁集中载荷作用于支座附近的梁第八章第八章 梁的弯曲 8.8提高梁强度的措施提高梁强度的措施1、选择合理的截面形状选择合理的截面形状合理的截面形状，就是用最少的材料获得最大的抗弯截面模量的截面。一般情况下，抗弯截面模量与截面高度的平方成正比，因此，在横截面积不变的前提下，将较多材料配置在远离中性轴的部位，便可获取较大的抗弯截面模量，从而降低梁内的最大弯曲正应力。在设计梁的合理截面时，还应考虑材料自身特性。对抗拉强度与抗压强度相同的塑性材料，宜采用关于中性轴对称的截面图832图833第八章第八章 梁的弯曲 8.8提高梁强度的措施提高梁强度的措施2、采用变截面梁或等强度梁采用变截面梁或等强度梁一般情况下，梁内不同截面的弯矩不同，在设计等截面梁时，针对最大弯矩所在截面进行设计，这样，除最大弯矩所在截面外，其余截面上的最大弯曲正应力均小于或远远小于材料的许用应力，即材料强度均未得到充分利用。从强度角度考虑，理想的变截面梁应使所有截面上的最大弯曲正应力均相等，且趋近材料的许用应力，此种梁称为等强度梁等强度梁。图834图835第八章第八章 梁的弯曲 8.8提高梁强度的措施提高梁强度的措施3、改善梁的受力状况改善梁的受力状况 合理安排梁的约束及加载方式，可以降低梁内的最大弯矩，从而减小梁内最大弯曲正应力，这是提高梁强度的另一措施。如图836a所示简支梁，在均布载荷作用下，梁内最大弯矩为ql2/8 若将两端铰支座各向内移动0.2l（图819b），则最大弯矩为ql2/40，为前者的1/5。图836第八章第八章 梁的弯曲 又如，图837所示简支梁，将集中载荷P分为大小相等的两个集中力P/2作用于梁上，则降低了梁内最大弯矩值。由此可见，在条件允许的情况下，合理安排约束及加载方式，可以显著降低梁内的最大弯矩。图837第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲本章小结本章小结1、弯曲与平面弯曲弯曲与平面弯曲 1)弯曲弯曲 梁弯曲变形的特点是：构件所受载荷为横向载荷；构件的轴线由直线变成光滑连续曲线。2)平面弯曲平面弯曲 作用在梁上的所有载荷位于纵向对称面内，梁的轴线弯成纵向对称面内的平面曲线。第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲本章小结本章小结2、弯曲内力弯曲内力 弯矩和剪力弯矩和剪力。弯曲内力的符号做如下规定：有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负；使保留段产生下凸变形的弯矩为正，反之为负。如下图89所示。图89第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲本章小结本章小结3、计算弯曲内力的方法、计算弯曲内力的方法 概括如下：1)在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁切开，选其中一段为研究对象（一般选择载荷较少的部分为研究对象，以便于计算）2)对研究对象进行受力分析，此时，一般按正方向画出剪力与弯矩。3)由平衡方程 计算剪力Fs4)以所切截面形心为矩心，由平衡方程 计算弯矩。第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲本章小结本章小结4、建立梁内各横截面的剪力、弯矩与、建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系的函数关系，即 上述关系式分别称为剪力方程剪力方程和弯矩方程弯矩方程5、剪力图和弯矩图、剪力图和弯矩图以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图。第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲本章小结本章小结 6、弯曲应力、弯曲应力梁弯曲时其横截面上一般有两种应力：正应力和剪应力正应力往往是引起梁破坏的主要因素，而剪应力则为次要因素。正应力正应力:剪应力剪应力:弯曲强度条件：弯曲强度条件：7、提高梁强度的措施、提高梁强度的措施1）选择合理的截面形状2）采用变截面梁或等强度梁3）改善梁的受力状况 人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。