多元函数的极限与连续性(IV).ppt
多元函数的极限与连续性二重极限累次极限2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系与一元函数的极限相类似，二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数 的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.返回返回返回返回2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系一、二重极限 定定义义1 设设二元函数二元函数 定定义义在在上上,为为 D 的的 一个聚点一个聚点,A 是一是一实实数数.若若 使得当使得当 时时,都有都有 则则称称在在 D 上当上当时时以以 A 为为极限极限,记记作作 2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系当当 P,分分别别用坐用坐标标 表示表示时时,上式也上式也 常写作常写作 例例1 依定依定义验证义验证证证 因为因为 简记为简记为2007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系不妨先限制在点不妨先限制在点(2,1)的方邻域的方邻域 内来讨论内来讨论,于是有于是有2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系当当 时时,就有就有 这就证得这就证得 所以所以2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系例例2 2 设设 证证明明证证(证证法一法一)2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系可知可知 故故注意注意 不要把上面的估计式错写成：不要把上面的估计式错写成：2007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系因因为为的的过过程只要求程只要求 即即 而并不要求而并不要求 (证证法二法二)作极坐作极坐标变换标变换 这时这时 等价于等价于(对对任何任何 ).由于由于 因此，因此，对对任何任何 2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系都有都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结结原则原则(而且证明方法也相类似而且证明方法也相类似).).定理定理1的充要条件是：的充要条件是：对对于于 D 的的 任一子集任一子集 E,只要只要 仍是仍是 E 的聚点的聚点,就有就有2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系推推论论1 若若,P0 是是 E1 的聚点的聚点,使使 不存在不存在,则则 也不存在也不存在 推论推论2 若若 是它们的聚点，使得是它们的聚点，使得都存在，但都存在，但,则则不存在不存在2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系推推论论3 极限极限 存在的充要条件是：存在的充要条件是：D 中任中任 一一满满足条件足条件 它所它所 对应对应的函数列的函数列都收都收敛敛 下面三个例子是它们的应用下面三个例子是它们的应用 例例3 讨论讨论当当时时是是否否存在极限存在极限(注注:本题结论很重要本题结论很重要,以后常会用到以后常会用到.)解解 当动点当动点(x,y)沿着直线沿着直线 而趋于定点而趋于定点(0,0)2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系时，由于时，由于,因此有因此有 这说明动点沿不同斜率这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时的直线趋于原点时,对应对应 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系如图如图 16-15 所示所示,当当(x,y)沿任何直线趋于原点时沿任何直线趋于原点时,相相应应的的 都都趋趋于于 0,但但这这并不表明此函数在并不表明此函数在 2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系时时的极限的极限为为 0.因因为为当当(x,y)沿抛物沿抛物线线 趋趋于点于点 O 时时,将将趋趋于于1.所所以极限以极限 不存在不存在.例例5 讨论讨论在在 时时不不 存在极限存在极限 解解 利用定理利用定理 1的推论的推论 2,需要找出两条路径需要找出两条路径,沿沿 着着此二路径而使此二路径而使 时时,得到两个相异得到两个相异 的极限的极限 2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系第一条路径简单地取第一条路径简单地取 此时有此时有 第二条路径可考第二条路径可考虑虑能使能使的分子与的分子与 分母化为同阶的无穷小分母化为同阶的无穷小,导致极限不为导致极限不为 0.按此思路按此思路 的一种有效选择的一种有效选择,是取是取 此时得到此时得到 2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系这就达到了预期的目的这就达到了预期的目的(非正常极限非正常极限)的定的定义义 定定义义2 设设 D 为为二元函数二元函数f的定的定义义域，域，是是 D 的一个聚点的一个聚点.若若 使得使得 则则称称 f在在 D 上当上当 时时,有有非正常极限非正常极限 ,记记作作 下面再下面再给给出当出当 时时,2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系或或 仿此可类似地定义：仿此可类似地定义：例例6 设设.证明证明 证证 此函数的图象见后面的图此函数的图象见后面的图.2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系因因 ,故对故对只需取只需取 这就证得结果这就证得结果 二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特特 同同,这里不再一一叙述这里不再一一叙述.看作点函数看作点函数别把别把 时时,相应的证法也相相应的证法也相 2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系不存在不存在.观察观察播放播放2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系二、累次极限是以任何方式趋于是以任何方式趋于 这种极限也称为这种极限也称为重重 极限极限.下面要考察下面要考察 x 与与 y 依一定的先后顺序依一定的先后顺序,相继相继趋趋 在上面在上面讨论讨论的的中中,自自变变量量 于于 与与 时时 f 的极限的极限,这种极限称为这种极限称为累次极限累次极限.定定义义3 2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系如果进一步还存在极限如果进一步还存在极限 累次极限累次极限,记作记作 则则称此称此 L 为为 先先对对 后后对对的的 它一般与它一般与 y 有关有关,记作记作 2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系类似地可以定义类似地可以定义先对先对 y 后对后对 x 的累次极限的累次极限:注注 累次极限与重极限是两个不同的概念累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间两者之间没有蕴涵关系没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点下面三个例子将说明这一点.例例7 设设.由例由例 3 知道知道 当当时的重极限不存在时的重极限不存在.但当但当时时,有有 2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系从而又有从而又有 同理可得同理可得 这说明这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等的两个累次极限都存在而且相等.累次极限分别为累次极限分别为 例例8 设设 ,它关于原点的两个它关于原点的两个 2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系当沿斜率不同的直当沿斜率不同的直线线时时,有有 诉我们诉我们,这个结果是必然的这个结果是必然的.)因此该函数的重极限不存在因此该函数的重极限不存在.(下面的定理下面的定理 2 将告将告 2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系例例 设设,它关于原点的两它关于原点的两 个累次极限都不存在个累次极限都不存在.这这是因是因为对为对任何任何 时时,f 的第二的第二项项不存在极限不存在极限.同理同理,f 的第一的第一 项项当当 时时也不存在极限也不存在极限.但但是由于是由于 故按定义知道故按定义知道 时时 f 的重极限存在的重极限存在,且且 2007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系下述定理告诉我们下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件重极限与累次极限在一定条件 下也是有联系的下也是有联系的.定理定理2 若若 f(x,y)的重极限的重极限 与与 累次极限累次极限 都存在都存在,则两者必定相等则两者必定相等.证证 设设 则则使得当使得当时时,有有2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系的的 x,存在极限存在极限 另由存在累次极限之假设另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式对任一满足不等式 回到不等式回到不等式(1),让其中让其中,由由(3)可得可得故由故由(2),(4)两式两式,证得证得,即即2007年8月29南京航空航天大学 理学院 数学系由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论推论1 若重极限若重极限 和累次极限和累次极限 都存在都存在,则三者必定相等则三者必定相等.推论推论2 若累次极限若累次极限都存在但不相等都存在但不相等,则则重极限重极限必定必定 不存在不存在.2007年8月30南京航空航天大学 理学院 数学系请注意请注意:(i)定理定理 2 保证了在重极限与一个累次保证了在重极限与一个累次 极限都存在时极限都存在时,它们必相等它们必相等.但对另一个累次极限的但对另一个累次极限的 存在性却得不出什么结论存在性却得不出什么结论(ii)推论推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分给出了累次极限次序可交换的一个充分条件条件.(iii)推论推论 2 可被用来否定重极限的存在性可被用来否定重极限的存在性(如例如例8).2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系例例10 设设 试证明试证明:2007年8月32南京航空航天大学 理学院 数学系证证 2007年8月33南京航空航天大学 理学院 数学系根据柯西准根据柯西准则则,证证得得利用条件利用条件(ii)与结论与结论,2007年8月34南京航空航天大学 理学院 数学系又有又有这就证得这就证得2007年8月35南京航空航天大学 理学院 数学系注注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件本例给出了二累次极限相等的又一充分条件.与与 定理定理16.6 的推论的推论1 相比较相比较,在这里的条件在这里的条件(i)与与(ii)成立时成立时,重极限重极限 未必存在未必存在.2007年8月36南京航空航天大学 理学院 数学系复习思考题试问累次极限试问累次极限是否就是动点是否就是动点2007年8月37南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月38南京航空航天大学 理学院 数学系
