多元函数求导法则.ppt
第五讲 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数类型类型多多元元复复合合函函数数类型一类型一复合关系图复合关系图uxst类型类型多多元元复复合合函函数数类型二类型二复合关系图复合关系图uxty类型类型多多元元复复合合函函数数类型三类型三复合关系图复合关系图uxsyt类型类型多多元元复复合合函函数数类型四类型四复合关系图复合关系图uxtty类型类型多多元元复复合合函函数数类型五类型五复合关系图复合关系图uxyzyx多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数类型类型多多元元复复合合函函数数类型类型多多元元复复合合函函数数类型三类型三复合关系图复合关系图uxsyt求导法则求导法则如果函数如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点在点(s,t)具有偏导数具有偏导数,函数函数u=f(x,y)在对应点在对应点(x,y)具有连续偏导数具有连续偏导数，则复合函数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t)在点在点(s,t)具有偏导数具有偏导数，且有：，且有：定理定理注：注：若干项之和，若干项之和，项数项数=中间变量个数中间变量个数每项都是若干因子之积每项都是若干因子之积因变量对中间变量求偏导因变量对中间变量求偏导中间变量对自变量求偏导中间变量对自变量求偏导项数项数=因变量到自变量的路径数因变量到自变量的路径数因子数因子数=因变量到自变量的环节数因变量到自变量的环节数枝枝依次求导，每枝导数连乘，枝枝依次相加枝枝依次求导，每枝导数连乘，枝枝依次相加类型类型多多元元复复合合函函数数类型类型多多元元复复合合函函数数类型一类型一复合关系图复合关系图uxst求导法则求导法则u例例1 1设设求求类型类型多多元元复复合合函函数数类型类型多多元元复复合合函函数数类型二类型二复合关系图复合关系图uxty求导法则求导法则注：注：关于记法关于记法含有一个变量，用含有一个变量，用d含有多个变量，用含有多个变量，用关于称谓关于称谓因变量对自变量求导，称为因变量对自变量求导，称为全导数全导数因变量对中间变量或中间变量对自变量求导，因变量对中间变量或中间变量对自变量求导，称为称为导数导数u例例2 2设设求求类型类型多多元元复复合合函函数数类型类型多多元元复复合合函函数数类型四类型四复合关系图复合关系图uxtty求导法则求导法则设设z=tz注注表示因变量表示因变量u对自变量对自变量t的导数的导数,x和和y应视作应视作t的函数的函数.表示因变量表示因变量u对中间变量对中间变量t的导数的导数,x和和y应视作常数应视作常数.为突出以上区别为突出以上区别,将将改为改为相应地相应地,复合关系图也作一定修改复合关系图也作一定修改tu例例3 3求求设设类型类型多多元元复复合合函函数数类型类型多多元元复复合合函函数数类型五类型五复合关系图复合关系图uxyzyx求导法则求导法则设设v(x,y)=)=x,w(x,y)=)=yvw等式左边的等式左边的表示因变量表示因变量u对自变量对自变量x的偏导数的偏导数,z应视作应视作x的函数的函数.等式右边的等式右边的表示因变量表示因变量u对中间自变量对中间自变量x的偏导数的偏导数,z应视作常数应视作常数.为示区别为示区别,将等式右边的将等式右边的改记作改记作类似可得类似可得复合关系图可作相应修改复合关系图可作相应修改.xy复合关系图也可作相应修改复合关系图也可作相应修改.u例例4 4求求设设和和多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系复合关系图复合关系图wyvx依次求导依次求导u例例5 5求求设设和和f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,设设u=x+y+z,v=xyz，z先四则先四则,后复合后复合注意符号的含义注意符号的含义小小 结结关键关键:注意注意:搞清复合关系搞清复合关系,明确明确因变量因变量中间变量中间变量自变量自变量对谁求偏导对谁求偏导,把谁看成常数把谁看成常数不要漏掉中间变量不要漏掉中间变量高阶偏导数与原来函数有相同的复合关系高阶偏导数与原来函数有相同的复合关系
