概率论与数理统计课堂笔记.doc

概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。预备知识（一）加法原则引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。【答疑编号：10000101针对该题提问】解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。一般地有下面的加法原则：办一件事，有m类办法，其中：第一类办法中有n1种方法；第二类办法中有n2种方法；第m类办法中有nm种方法；则办这件事共有种方法。（二）乘法原则引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？【答疑编号：10000102针对该题提问】解：从北京经天津到上海的交通方法共有：汽1飞1，汽1飞2，汽2飞1，汽2飞2，汽3飞1，汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。一般地有下面的乘法原则：办一件事，需分m个步骤进行，其中：第一步骤的方法有n1种；第二步骤的方法有n2种；第m步骤的方法有nm种；则办这件事共有种方法。 （三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。 排列数的计算公式为：例如：（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。组合数的计算公式为例如：=45组合数有性质 （1），（2） ，（3）例如：例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？【答疑编号：10000103针对该题提问】解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数（种）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（×××）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？【答疑编号：10000104针对该题提问】解：第一步在5件正品中取2件，取法有（种）第二步在3件次品中取1件，取法有（种）由乘法原则，取法共有10×3=30（种）第一章 随机事件与随机事件的概率§1.1随机事件引例一，掷两次硬币，其可能结果有：上上；上下；下上；下下则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：1，2，3，4，5，6则出现偶数点的事件A，点数4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作，当然是必然事件。（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数2，B表示掷出的点数3。A=1，2，B=1，2，3。所以A发生则必然导致B发生。显然有（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。（四）事件的运算 （1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3则和事件A+B=1，2，3，5显然有性质若，则有A+B=BA+A=A（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或AB 例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，则AB=1，3显然有性质：若，则有AB=AAA=A（3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，则A-B=5显然有性质：若，则有A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=2，4AB=  （5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作例如，掷一次骰子，A=1，3，5，则显然，对立事件有性质：注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间。图1.1表示事件事件A图1.2阴影部分表示A+B图1.3阴影部分表示AB图1.4阴影部分表示A-B图1.5表示A与B互不相容图1.6阴影部分表示事件的运算有下面的规律：  （1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫对偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生【答疑编号：10010101针对该题提问】（2）A，B，C三事件都发生【答疑编号：10010102针对该题提问】（3）A，B，C三事件都不发生【答疑编号：10010103针对该题提问】（4）A，B，C三事件不全发生【答疑编号：10010104针对该题提问】（5）A，B，C三事件只有一个发生【答疑编号：10010105针对该题提问】（6）A，B，C三事件中至少有一个发生【答疑编号：10010106针对该题提问】解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3【答疑编号：10010107针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且C不发生【答疑编号：10010108针对该题提问】（2）A与B至少有一个发生而且C不发生【答疑编号：10010109针对该题提问】（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生【答疑编号：10010110针对该题提问】（4）A，B，C中最多有一个发生【答疑编号：10010111针对该题提问】（5）A，B，C中恰有两个发生【答疑编号：10010112针对该题提问】（6）A，B，C中至少有两个发生【答疑编号：10010113针对该题提问】（7）A，B，C中最多有两个发生【答疑编号：10010114针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）简记AB+AC+BC（7）简记例4，若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1）A+B；【答疑编号：10010115针对该题提问】（2）AB；【答疑编号：10010116针对该题提问】（3） ；【答疑编号：10010117针对该题提问】（4）；【答疑编号：10010118针对该题提问】（5）；【答疑编号：10010119针对该题提问】（6）；【答疑编号：10010120针对该题提问】（7），【答疑编号：10010121针对该题提问】（8） 。【答疑编号：10010122针对该题提问】解：（1）A+B=1，2，3，5；（2）AB=1，3；（3）=2，4，6；（4）=4，5，6；（5）=4，6；（6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6；（8）=4，6由本例可验算对偶律，=，=正确例5，（1）化简；【答疑编号：10010123针对该题提问】（2）说明AB与是否互斥【答疑编号：10010124针对该题提问】解：（1）（2）例6.A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；【答疑编号：10010125针对该题提问】（2）；【答疑编号：10010126针对该题提问】（3）AB；【答疑编号：10010127针对该题提问】（4）【答疑编号：10010128针对该题提问】解：（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件（2） 表示A，B都发生且C不发生的事件（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。AB表示至少A与B都发生的事件（4）所以也可以记AB表示，ABC与 中至少有一个发生的事件。例7.A，B，C为三事件，说明（AB+BC+AC）与是否相同。【答疑编号：10010129针对该题提问】解：（1）表示至少A，B发生它表示A，B，C三事件中至少发生二个的事件。（2）表示A，B，C三事件中，仅仅事件A与事件B发生的事件表示A，B，C三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。§1.2随机事件的概率（一）频率：（1）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。（2）比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A），即历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件： 试验人NnAfn（A）摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率fn（A）的稳定值大约是0.5。（二）概率：事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作P（A）实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质：（1）0P（A） 1（2）P（）=1，P（）=0（3）若A与B互斥，即AB=，则有P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2，An互斥，则有（三）古典概型：若我们所进行的随机试验有下面两个特点：（1）试验只有有限个不同的结果；（2）每一个结果出现的可能性相等，则这种试验模型叫古典概型。例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：设是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点数为r则有公式：例1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。【答疑编号：10010201针对该题提问】解：样本空间为=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5n=6,r=3 例2.掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：（1）P（A）；【答疑编号：10010202针对该题提问】（2）P（B）；【答疑编号：10010203针对该题提问】（3）P（C）【答疑编号：10010204针对该题提问】解：样本空间=正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1） （2）（3） 由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。例3，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。【答疑编号：10010205针对该题提问】解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以基本事件总数 A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的基本事件 例4，从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件A的概率。【答疑编号：10010206针对该题提问】解：（1）第一次取一个数字的方法有9种；第二次取一个数字的方法与第一次相同也是9种；由乘法原则，知两次所取的数字方法有9×9=92（种）每一种取法是一个基本事件，所以n=92（2）所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有：也可按（1）的乘法原则求r，第一次的取法有9种，第二次的数字与第1次不同，所以只有8种，所以取法共有9×8（种）r=9×8例5，袋中有5个白球，3个红球，从中任取2个球，求（1）所取2个球的颜色不同的事件A的概率；【答疑编号：10010207针对该题提问】（2）所取2个球都是白球的事件B的概率；【答疑编号：10010208针对该题提问】（3）所取2个球都是红球的事件C的概率；【答疑编号：10010209针对该题提问】（4）所取2个球是颜色相同的事件的概率。【答疑编号：10010210针对该题提问】解：袋中共的8个球，从中任取2个球结果与顺序无关，所以取法共有种，每一种取法的结果是一个基本事件，所以基本事件总数为（1）分两步取。第一步，在5个白球中任取一个，方法数为5；第二步在3个红球中取一个，方法数为3，根据乘法原则，共有5×3种方法，即有5×3种结果。（2）从5个白球中任取2个，结果与顺序无关取法共有（种）B包含的基本事件共有r2=10 （3）从3个红球中任取2个的方法为（种）C包含的基本事件数r3=3 （4）所取2个球颜色相同的有两类：第一类：2个球都是白球的方法有（种） 第二类：2个球都是红球的方法有（种）根据加法原则，所取2个球是颜色相同的方法共有10+3=13种。2个球颜色相同的事件D包含r4=13种基本事件。例6，袋中有10件产品，其中有7件正品，3件次品，从中每次取一件，共取两次，×××求:（1）不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率。【答疑编号：10010211针对该题提问】（2）放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率【答疑编号：10010212针对该题提问】解（1）第一次取一件产品的方法有10种不放回，第二次取一件产品的方法有9种由乘法原则知，取两次的方法共有10×9种也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，所以取法有（种）基本事件总数n=10×9第一次取到正品，第二次取到次品的方法有7×3种，所以事件A包含的基本事件有：（2）放回抽样。由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是10种，由乘法原则知抽取方法共有10×10=100种，所以基本事件总数n=10×10=100第一次取正品方法有7种，第二次取次品的方法有3种，由乘法原则，事件B包含的基本事件共有 例7，将一套有1,2,3,4,5分册的5本书随机放在书架的一排上，求1，2分册放在一起的事件A的概率。【答疑编号：10010301针对该题提问】解：（1）基本事件总数n=5×4×3×2×1（种）或者为（2）A包含的基本事件有（种）例8，掷两次骰子，求点数和为7的事件A的概率。【答疑编号：10010302针对该题提问】解：（1）基本事件总数n=6×6=36（种）（2）A=；A包含的基本事件数r=6 例9，从1，2，3，4，5，6，7这七个数码中任取3个，排成三位数，求（1）所排成的三位数是偶数的事件A的概率。（2）所排成的三位数是奇数的事件B的概率。【答疑编号：10010303针对该题提问】解：基本事件总数（个）（1）所排成的三位数是偶数的取法需分两步：第一步，取一个偶数放在个位码位置，取法有3种；第二步，将其余6个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有种方法。根据乘法原则，事件A包含的基本事件数（2）所排成的三位数的取法也需分两步进行；第一步，取一个奇数放在个位码位置，有4种方法。第二步，将其余6个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有种。根据乘法原则，事件B包含的基本事件数例10，袋中有9个球，分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9从中任取3个球，求（1）所取3个球的最小号码为4的事件A的概率；【答疑编号：10010304针对该题提问】（2）所取3个球的最大号码为4的事件B的概率；【答疑编号：10010305针对该题提问】解：基本事件总数（个）（1）最小号码为4的取法分两步进行第一步，取出4号球，方法只有1种第二步，在5，6，7，8，9这5个球中任取2个，方法数为A包含的基本事件（2）最大码为4的取法为：第一步，取出4号球方法只有1种第二步，在1，2，3号球中任取2个，方法数为B包含的基本事件例11，将两封信投入4个信箱中，求两封信在同一信箱的事件A的概率。【答疑编号：10010306针对该题提问】解：（1）先将第一封信投入信箱，有4种方法再将第二封信投入信箱，也有4种方法根据乘法原则共有4×4种方法基本事件总数n=4×4（2）将两封信同时投入一个信箱，方法有4种A包含的基本事件数r=4例12，袋中有10个球，其中有6个白球，4个红球，从中任取3个，求：（1）所取的三个球都是白球的事件A的概率【答疑编号：10010307针对该题提问】（2）所取三个球中恰有2个白球一个红球的事件B的概率【答疑编号：10010308针对该题提问】（3）所取3个球中最多有一个白球的事件C的概率【答疑编号：10010309针对该题提问】（4）所取3个球颜色相同的事件D的概率【答疑编号：10010310针对该题提问】解：基本事件总数（1）A包含的基本事件数（2）B包含的基本事件数（3）C的基本事件包含两类：第一类，一个白球，二个红球的取法有第二类，0个白球，三个红球取法有种事件C包含的基本事件数（4）事件D包含的基本事件有两类：第一类，三个球都是白球的取法有种第二类，三个球都是红球的取法有种事件D包含的基本事件数（种）（四）概率的加法公式请先看下面引例：掷一次骰子，A=1，3，5，B=1，2，3请求：（1）P（A）；【答疑编号：10010311针对该题提问】（2）P（B）；【答疑编号：10010312针对该题提问】（3）P（A+B）；【答疑编号：10010313针对该题提问】（4）P（AB）【答疑编号：10010314针对该题提问】解：（1） （2）（3） （4） 由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式：特别情形：  （1）如果A与B互斥，即AB=则P（AB）=0这时（2）因为A与有性质所以 当上面等式中左边的概率P（A）不易求得，而且A的对立事件的概率则较易计算时，便可以通过容易计算的求难计算的概率P（A）。例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）【答疑编号：10010315针对该题提问】解：因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6例2，袋中有10件产品，其中有6件正品，4件次品，从只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。【答疑编号：10010316针对该题提问】解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三类事件，计算比较复杂。而对立事件 则表示没有次品，即都是正品的事件，比较简单。因为基本事件总数事件 包含的基本事件加法公式可推广如下：例3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0.2，P（AC）=0.24，P（BC）=0，求P（A+B+C）。【答疑编号：10010317针对该题提问】解： （五）概率的减法公式  因为，而，而BA与明显不相容。特别地，若，则有AB=A所以当例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求 【答疑编号：10010318针对该题提问】解：例2，若A与B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求【答疑编号：10010319针对该题提问】解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8根据对偶公式所以 §1.3条件概率（一）条件概率和乘法公式 符号叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率，需要指出的是条件概率仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者是以B已经发生为条件。  例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。用A表示所选职工优秀，B表示所选职工是男职工。求（1）P（A）；【答疑编号：10010401针对该题提问】（2）P（B）；【答疑编号：10010402针对该题提问】（3）P（AB）；【答疑编号：10010403针对该题提问】（4）；【答疑编号：10010404针对该题提问】解：（1）（2）（3）AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工 （4）表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时n=100,r=10  由本例可以看出事件A与事件不是同一事件,所以它们的概率不同,即 由本例还可看出,事件AB与事件也不相同，事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职工，这时基本事件总数n1=200，r=10。而事件 则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n2=100，r=10，所以虽然P（AB）与不相同，但它们有关系，由本例可以看出本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：显然有：若P（A）>0则有将上面的结果改写为整式有  公式叫概率的乘法公式。 例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回）， A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：（1）P（A）；【答疑编号：10010405针对该题提问】（2）；【答疑编号：10010406针对该题提问】（3）P（AB）【答疑编号：10010407针对该题提问】解（1）（2）（3） = 例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求【答疑编号：10010408针对该题提问】解： 例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，求。【答疑编号：10010409针对该题提问】解：（1）（2）例5，某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，若该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？【答疑编号：10010410针对该题提问】解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。已知P（A）=0.8，P（B）=0.7由于因为所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875乘法公式可以推广为：例6，袋中有三件正品，二件次品（××）从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。【答疑编号：10010411针对该题提问】解：用A1表示第一次取到正品A2表示第二次取到正品A3表示第三次取到正品则用古典概型计算P（A1），这时n1=5，r1=3再用古典概型计算，这时n2=4，r2=2再用古典概型计算，这时n3=3，r3=2（二）全概公式  定义：若事件组满足条件（1）互不相容（2）在一次试验中，事件组中至少发生一个，即 就说事件组是样本空间的一个划分。例如事件组A与有所以事件组是样本空间的一个划分。例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足：（1）（2）所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。下面介绍全概公式  设是样本空间的一个划分，B是一个事件，则有：【答疑编号：10010412针对该题提问】证： 又B=B互不相容也互不相容用乘法公式上式可改写为特别地（1）若是的一个划分，则有（2）是的一个划分，所以全概公式的优点是当P（B）不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求P（B）例1，袋中有5个球，其中有3个红球，2个白球，从中每次取出一个球（不放回）用A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球，求（1）P（A）；【答疑编号：10010413针对该题提问】（2）P（B）【答疑编号：10010414针对该题提问】解：（1）用古典概型n=5,r=3（2）直接求P（B）很困难，因为B发生的概率与事件A发生与之有关，用古典概型容易求得：所以可用全概公式计算可见第一次，第二次取到红球的概率相同。例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少？【答疑编号：10010415针对该题提问】解：用B表示该人是色盲者，A表示该人是男人.直接求P（B）比较困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但已知例3，甲乙两台车床加工同一产品，甲车床的次品率为0.03，乙车床的次品率为0.02，又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍，现将两台车床的产品放在一起，从中任取一件，求该产品是次品的概率。【答疑编号：10010416针对该题提问】解：用B表示该产品是次品，A表示该产品由甲车床生产已知 例4，二门导弹射击敌机，敌机未被击中的概率为0.25，被击中一弹的概率为0.5,被击中二弹的概率为0.25，若敌机中一弹时被击落的概率为0.7，敌机中二弹时，被击落的概率为0.9。求敌机被击落的概率。【答疑编号：10010417针对该题提问】解：用AK表示敌机的被击中K弹，K=0,1,2；B表示敌机被击落已知显然有其中A0,A1,A2是的一个划分（三）逆概公式（贝叶斯公式）由 可得公式叫逆概公式（贝叶斯公式）当P（A）,P（B），已知时，可反过来求。例5，某地七月份下暴雨的概率为0.7，当下暴雨时，有水量的概率为0.2；当不下暴雨时，有水量的概率为0.05，求：（1）该地七月份有水灾的概率.【答疑编号：10010501针对该题提问】（2）当该地七月份已发生水灾时，下暴雨的概率.【答疑编号：10010502针对该题提问】解：用B表示该地七月有水灾；A表示该地七月下暴雨已知（1）（2）例6，某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求：（1）该产品的次品率【答疑编号：10010503针对该题提问】（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。【答疑编号：10010504针对该题提问】解：用B表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。所以表示已知产品甲厂产品时，该产品是次品表示已知产品是乙厂产品时，该产品是次品。表示已知该产品是丙厂产品时，该产品是次品。则表示已知产品是次品时，它是甲厂产品；则表示已知产品是次品时，它是乙厂产品；则表示已知产品是次品时，它是丙厂产品；（1）（2）可见，若该产品是次品，则此次品是丙厂产品的可能性最大。例7，甲袋中有3个白球，2个红球，乙袋中有2个白球，3个红球，先从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中取一个球，求：（1）从乙袋中取出的球是白球的概率；【答疑编号：10010505针对该题提问】（2）如果从乙袋中取出的球是白球，则这时从甲袋中取出白球的概率是多少？从甲袋中取出红球的概率是多少？【答疑编号：10010506针对该题提问】解：用B表示从乙袋中取出白球；A表示从甲袋中取出白球，所以表示从甲袋中取出红球。已知 （1）（2） 可见从甲袋中取出白球的可能性大。例8，已知，求（1）P（AB）；【答疑编号：10010507针对该题提问】（2）【答疑编号：10010508针对该题提问】解：（1）（2）例9，若；求（1）P（B）；【答疑编号：10010509针对该题提问】（2）