非线性规划.doc
非线性规划问题目前还没有合适各种问题形式的一般算法，现有的各个算法都有特定的适用范围，带有一定的局限性.实际问题中绝大多数都是有约束的优化问题.目前，求解带约束条件的非线性问题的常见方法是，将约束问题化为无约束问题，将非线性规划问题化为线性规划问题，以及将复杂问题化为较简单的问题的其他方法.利用一般迭代法解决无约束非线性规划问题.2 非线性规划问题 非线性规划的一般（标准）形式： minf(x) (2.1) 式中变量需满足：s.t. (2.2) 其中，x为n维欧式空间中的向量，称为决策向量，f（x）为目标函数，称为约束条件.，f(x)中至少有一个是关于决策变量的非线性函数关系式.同理，决策变量、目标函数、约束条件构成了非线性规划问题的三要素.通常，非线性规划是指非线性约束优化，但只要目标函数是非线性的，也可以讨论无约束优化问题1.2.1 一般迭代法 迭代法发的一般形式，Ax=b改写成x=Hx+g，H为矩阵g 向量而定义向量序列; , 为迭代序列而向量总是由方向和长度确定，即向量总可以写成 （k=1,2,.）其中为一个向量，为一个实数，称为步长，即可由及唯一确定2.2.2 梯度法f(x)具有一阶连续偏导数，它存在极小点X*。X(k)表示极小点的第k次近似，为了求其第k+次近似X(k+1)，在X(k)点沿方向P(k)作射线 我们不妨设P(k)的模一定。当P(k)与f(X(k)同向，即取P(k)为梯度方向时,=0,cos=1, f(X(k)TP(k)最大；当P(k)与f(X(k)反向时, =1,cos=0, f(X(k)TP(k)<0，且其值最小，这一 方向为负梯度方向.前曾指出，负梯度方向是函数值下降最快的方向(通常指在X(k)的某一小范围内)，沿这一方向搜索，有可能较快地达到极小点，梯度法就采用这样的方向为搜索方向. 为得到下一个近似极小点，在选定了搜索方向之后，还要确定步长。选取步长的一种方法是通过试算，即先取为某一常数，检验下式是否满足： 若满足，就可以取这个值进行迭代；若不满足，就减小使满足上式，由于采用负梯度方法，总是存在的3.3 用Matlab解决非线性规划问题 在Matlab优化工具箱中，fmincon函数是用SQP算法来解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为：x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON)3.1 管道问题天然气开采点S（0，0）,需铺设管道分别向城市a（400km，400km）,b（400km，600km）,c（600km，400km）输送天然气（城市之间也可铺设管道），且知这三个城市的天然气日需量分别为5万，4万，10万立方米，铺设日输天然气能力为1万立方米的管道1km的总费用为5万元(假定总费用与管道的输送能力成正比)，试设计管道铺设方案使费用最省4.到个坐标点的横向距离为x,纵向距离为y有已知条件知：目标函数：约束条件：MATLAB软件编写程序如下：function hh X0=500 500; format short g X,FVAL,EXITFLAG=fminsearch(myfun,X0) %test fmin syms x y A=5;B=4;C=10; f0=(A+B+C)*sqrt(x2+y2); fa=A*sqrt(x-400)2+(y-400)2); fb=B*sqrt(x-400)2+(y-600)2); fc=C*sqrt(x-600)2+(y-400)2); f=5*(f0+fa+fb+fc) ezmesh(f,0 500 0 500) function f=myfun(x) A=5;B=4;C=10; f0=(A+B+C)*sqrt(x(1)2+x(2)2); fa=A*sqrt(x(1)-400)2+(x(2)-400)2); fb=B*sqrt(x(1)-400)2+(x(2)-600)2); fc=C*sqrt(x(1)-600)2+(x(2)-400)2); f=5*(f0+fa+fb+fc); 结果： X = 2.2307e-005 1.7288e-005 FVAL = 64620 EXITFLAG = 1 3.2用最速下降法求解无约束非线性规划目标函数为： 其中，要求选取初始点，终止误差5.解： （i）编写M文件detaf.m如下function f,df=detaf(x);f=x(1)2+25*x(2)2;df(1)=2*x(1);df(2)=50*x(2);（ii）编写M文件zuisu.mclcx=2;2;f0,g=detaf(x);while norm(g)>0.000001 p=-g'/norm(g); t=1.0;f=detaf(x+t*p); while f>f0 t=t/2;f=detaf(x+t*p); endx=x+t*pf0,g=detaf(x)End
