数学解题技能提高讲座2 二次函数.doc

数学解题技能提高讲座数学解题技能提高讲座2二次函数中题型的转变1（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法若，且，求的值变式1：若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则 A B C D变式2：若的图像x=1对称，则c=_变式3：若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点、，且，试问该二次函数的图像由的图像向上平移几个单位得到？2（北师大版第52页例2）图像特征将函数配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像变式1：已知二次函数，如果(其中)，则 A B C DxyO变式2：函数对任意的x均有，那么、的大小关系是 A B C D变式3：已知函数的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_3（人教A版第43页B组第1题）单调性已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值变式1：已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是 A B C D变式2：已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_变式3：已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围4（人教A版第43页B组第1题）最值已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值变式1：已知函数在区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 A B C D变式2：若函数的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于_变式3：已知函数在区间0,2上的最小值为3，求a的值5（人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数是定义在R上的奇函数，当0时，画出函数的图像，并求出函数的解析式 变式1：若函数是偶函数，则在区间上是 A增函数 B减函数 C常数 D可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数是偶函数，则点的坐标是_变式3：设为实数，函数，(I)讨论的奇偶性；(II)求的最小值6（北师大版第64页A组第9题）图像变换已知(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值变式1：指出函数的单调区间变式2：已知函数给下列命题：必是偶函数； 当时，的图像必关于直线x=1对称； 若，则在区间a，上是增函数；有最大值 其中正确的序号是_变式3：设函数给出下列4个命题： 当c=0时，是奇函数； 当b=0，c>0时，方程只有一个实根； 的图象关于点（0，c）对称；方程至多有两个实根 上述命题中正确的序号为 7（北师大版第54页A组第6题）值域求二次函数在下列定义域上的值域：(1)定义域为；(2) 定义域为变式1：函数的值域是 A B C D 变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是_变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a 0），满足条件 f (1 + x) = f (1x)，且方程 f (x) = x 有等根(1)求 f (x) 的解析式；(2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 m,n 和 3m,3n，如果存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由8（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题当具有什么关系时，二次函数的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) (I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围变式2：已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )0，f (2 + cos b )0(I) 求证：b + c = 1；(II) 求证： c3；(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值9（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系右图是二次函数的图像，它与x轴交于点和，试确定以及，的符号变式1：二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为 DCxyOxyOOOxyxyAB 变式2：直线与抛物线中至少有一条相交，则m的取值范围是变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；(II)若 | x1 | < 2 且 | x1x2 | = 2，求 b 的取值范围10（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(I) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(II) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a为实数，记函数的最大值为g(a) （）求g(a)；（）试求满足的所有实数a二次函数答案1（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法变式1： 解：由题意可知，解得，故选D变式2： 解：由题意可知，解得b=0，解得c=2变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为，展开得，即，解得所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的，它的解析式是，即2（北师大版第52页例2）图像特征变式1： 解：根据题意可知， ，故选D变式2： 解：，抛物线的对称轴是，即，、，xyO故有，选C变式3： 解：观察函数图像可得： a>0(开口方向)； c=1(和y轴的交点)； (和x轴的交点)；()； (判别式)； (对称轴)3（人教A版第43页B组第1题）单调性变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，解得，故选D变式2：解：函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，即变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，已知函数在上是单调函数，区间应在直线的左侧或右侧，xyO即有或，解得或4（人教A版第43页B组第1题）最值变式1： 解：作出函数的图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，m的取值范围是，故选C变式2： 解：函数有意义，应有，解得， Þ Þ ，M=6，m=0，故M + m=6变式3： 解：函数的表达式可化为 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又，为所求当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又，为所求综上所述，或5（人教A版第43页A组第6题）奇偶性变式1： 解：函数是偶函数 Þ Þ ，当时，是常数；当时，在区间上是增函数，故选D变式2：解：根据题意可知应有且，即且，点的坐标是变式3： 解：（I）当时，函数，此时，为偶函数；当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当时，若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为，且（ii）当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且，若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为6（北师大版第64页A组第9题）图像变换变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间xyxO当时，当时，作出函数图像，由图像可得单调区间在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以是不正确的；若则，满足，但的图像不关于直线x=1对称，所以是不正确的；若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，在区间a，上是增函数，即是正确的；显然函数没有最大值，所以是不正确的变式3： 解：，(1)当c=0时，满足，是奇函数，所以是正确的；(2)当b=0，c>0时，方程即 或 ，显然方程无解；方程的唯一解是 ，所以 是正确的；(3)设是函数图像上的任一点，应有，而该点关于（0，c）对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以是正确的； (4)若，则，显然方程有三个根，所以 是不正确的7（北师大版第54页A组第6题）值域变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，注意到函数定义不包含，所以函数值域是变式2：解： y= cos2x+sinx=2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î 1,1，则y=2t2+t+1，其中tÎ 1,1，y Î 2, ，即原函数的值域是2, 变式3： 解：(I) f (1 + x) = f (1x)， = 1，又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b1) x = 0 有等根， = (b1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = ， f (x) = x 2 + x(II) f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，1° 当 m1 时，f (x) 在 m,n 上是减函数，3m = f (x)min = f (n) = n 2 + n(*)， 3n = f (x)max = f (m) = m 2 + m，两式相减得：3 (mn) = (n 2m 2) + (nm)，1m < n，上式除以 mn 得：m + n = 8，代入 (*) 化简得：n 28n + 48 = 0 无实数解2° 当 n1 时，f (x) 在 m,n 上是增函数，3m = f (x)min = f (m) = m 2 + m， 3n = f (x)max = f (n) = n 2 + n，m = 4，n = 03° 当 m1n 时，对称轴 x = 1 Î m,n，3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 与 n1 矛盾综合上述知，存在 m = 4、n = 0 满足条件8（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R，应有 Þ a > 1，实数 a 的取值范围是(1,+¥) (II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值1° 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；2° 当 a 0 时，应有 Þ 0 < a1实数 a 的取值范围是0,1 变式2： 解法一：(转化为最值)在上恒成立，即在上恒成立， ；，综上所述解法二：（运用根的分布） 当，即时，应有， 即，不存在；当，即时，应有，即，；当，即时，应有，即 ， 综上所述变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)0，f (2 + cos p) = f (1)0，f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = 1，(II)由 (I) 得： f (x) = x 2(c + 1) x + c (*)f (2 + cos b )0 Þ (2 + cos b ) 2(c + 1) (2 + cos b ) + c0Þ (1 + cos b ) c(2 + cos b )0，对任意 b 成立1 + cos b 0 Þ c2 + cos b ，c(2 + cos b )max = 3(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a(c + 1) sin a + c，设 t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t 2(c + 1) t + c，1t1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ，由 (II) 知：t= 2， g(t) 在 1,1 上为减函数 g(t)max = g(1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， c = 3 b = c1 = 49（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系变式1： 解：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函数图象知同号，而由中一次函数图象知异号，互相矛盾，故舍去又由知，当时，此时与中图形不符，当时，与中图形相符变式2： 解：原命题可变为：求方程，中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，即得所求解不等式组得 ，故符合条件的取值范围是或变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = ，g(x) = f (x)x = a x 2 + (b1) x + 1，a > 0，由x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2，g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ > 1 Þ > ，即 m > (II) = (b1) 24a > 0 Þ (b1) 2 > 4a， x1 + x2 = ，x1x2 = ，| x1x2 | 2 = (x1 + x2) 24x1x2 = () 2= 2 2，(b1) 2 = 4a + 4a 2(*)又| x1x2 | = 2， x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，要 g(x) = 0 有一根属于 (2,2)，则 g(x) 对称轴 x = Î (3,3)， 3 < < 3 Þ a > | b1 |，把代入 (*) 得：(b1) 2 > | b1 | + (b1) 2，解得：b < 或 b > ， b 的取值范围是：(¥, )( ,+¥)10（北师大版第52页例3）应用变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0<x<a)，则B点的坐标为，A点的坐标为设矩形ABCD的周长为P，则P=2(0<x<a) 若a>2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，两边之比为8:；若0 <a2，此时函数P=无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:；当0 <a2时，周长最大的内接矩形不存在变式2： 解：(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为 f (x) = kx，g(x) = m，由f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ，f (x) = x（x0），g(x) = (II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10x 万元，企业的利润 y = (10x) + = () 2 + （0x10），= ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 4 万元答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元变式3： 解：设，要使有意义，必须且，即，且 的取值范围是由得：，不妨设，（I）由题意知即为函数，的最大值，当时，有=2；当时，此时直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，若即时，若即时，综上所述，有=（II）若a>0，则>0，此时g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=1)；若<a<0，则<2，此时g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=2+<(舍去)；若<a，则2<，此时g(a)=g( ) Û a= Þ a= (舍去)；若a，则，此时g(a)=g( ) Û =恒成立；若2a<，则<，此时g(a)=g( ) Û =aÞ a= (舍去)；若a<2，则<<0，此时g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=2+>2 (舍去) 综上所述，满足的所有实数a为：或