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平面几何进阶讲座平面几何进阶讲座 第二讲 圆 1.四点共圆 四点共圆的性质包括：对角互补，外角等于内对角，同一条线段上所张的角相等，相交弦定理等，不再赘述.四点共圆的本质是反相似，又叫逆平行.在左图中，三角形A D E和三角形A B C反相似，D E和B C逆平行.同时，三角形D E F和三角形C F B,三角形B E F和三角形D F C，也都反相似.判定四点共圆，还可以用割线定理，即 =、四点共圆 在解决有关四点共圆的问题时，常常不需要画出外接圆.这方面最经典的应用包括西姆松定理和费尔巴哈九点圆，这将在后面讲到.四点共圆的一个美妙性质是托勒密定理，叙述如下：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，反之也对.证明：如图，在圆内接四边形A B C D的对角线B D上取一点P,使得=(作等角线).那么很容易看出：得=,=即 =,=.两式相加得 +=(+)=.托勒密定理的推广 对于任意四边形A B C D，都有如下不等式成立 +等号成立当且仅当A B C D共圆或共线.例题 在平行四边形A B C D中，作 于M,于N,连结MN并延长交B D的延长线于点P，连结C P、A C,求证：.FDEABC546312DCABP证明 延长C D交MP于点E,延长MD交C P于F,则由比例线段及知=又由A N C M四点共圆，故=所以=+=+=90,即 .2.点对圆的幂、根轴、反演和位似 在平面上有一点P,过P任作圆的割线，则由割线定理或相交弦定理（切割线定理可以看作极限情况）可知：P到两交点的距离的乘积为一定值，把这个定值叫做点P对圆的幂,记作()为了求出幂的值，取割线经过圆心的情况，则 =()(+)=2 2(或=()(+)=2 2),当然也等于由P向圆引切线的长.定义 对两圆幂相等的点叫作这两个圆的等幂点，由等幂点组成的直线叫做这两个圆的等幂线，又叫根轴.我们首先研究两圆的根轴有何特点.若P是圆1和2的等幂点，作 12于 如图，1()=2()12 12=22 22 12 22=12 22 12 22=12 22 同理，线段P M上的任意一点都是两圆的等幂点.现在我们可以讨论两种特殊情形，它们是显而易见的.OPOBABAPFEPNMDBACO2O1MP相交两圆的根轴是其公共弦所在的直线（注意到交点的幂都是 0，并且连心线垂直于公共弦），相切两圆的根轴是内共切线.定理（蒙日定理）三圆两两的根轴要么交于一点，要么平行（交于无穷远点）.证明相当的简单，同一法即可.要是两两没有交点，已经平行.假设圆12，23的根轴交于点P,则1()=2()，2()=3()，等量代换可知1()=3()，即P在圆13的根轴上，即证.定义 调和点列：若四点满足 =，则称四点为调和点列.定义 反演变换：在圆的任意一条直径上有两点P、Q，=2，则P、Q关于该圆 互为反演点.此时该圆叫做反演基圆，该变换叫做反演变换.同直线的反射变换（轴对称）类似，反演是圆独有的一种变换.反演的性质如下：经过反演：1)过圆心的一条直线变成过圆心的一条直线 2)不过圆心的一条直线变成过圆心的一个圆.3)过圆心的一个圆变成不过圆心的一条直线.4)不过圆心的一个圆变成不过圆心的一个圆.1)是显然的，根据定义不过是直线上的点交换了位置而已.为证明 2),我们过圆心O作 直线于点，并在直线上任取一点P,假设它们的反演点分别为M,P，则由反演定义有：=2=因此我们得到 因此=90，这表明P在以O M为直径的一个圆上.由反演的反身性可以知道 3)是正确的.下面我们来证明 4).PBAAOMBQ如图，设有任意一圆心为M(异于O)的圆，记圆O和圆M的半径分别为和.过O引一条射线交圆M于两点A、B，设A、B关于圆O的反演点为A、B,并过O作O P切圆M于点P.由反演性质及切割线定理可知：=2,=2 两式相除，可以得到=22=2 式中2是一个和A、B位置无关的常数.现在作AQ /B M交O M于点Q,且设AQ =，由平行知 =2,=2=这说明了Q点的位置是确定的，且圆M上任意点的反演点都在以Q为圆心，定长为半径的圆上.反演之所以如此有趣的原因是它和单规作图密切相关.我们在这里给出反演点的做法，关于单规作图和尺规作图的等价性可参看什么是数学或思考的乐趣.做圆外一点反演点的做法：给定一圆O和圆外一点P,以P为圆心，O P为半径画弧交圆O于两点M、N，以M、N为圆心，O M或O N为半径画弧得到异于O的一点P,该点即为所求.由作图可以得到：=,=其次=由此得到=2=2 顺便可以知道 =+=+=+=+=180 即O、P、P三点共线 这就说明了P是P的反演点.反过来却不那么容易.首先我们给出单规延长线段的方法,它蕴含在右边的图中：现在我们就可以用单规作出圆内一点的反演点了.首先将延长倍直到圆外一点，做关于圆的反 演 点 ,由 反 演 性 质 可 知 =2=,故只需将线段延长倍即可.PNMOP 定义 位似：如果两个透视图形满足任意三对对应点和透视中心连成线段的有向线段的比相等，那么则称这两个透视图形位似.该点叫位似中心.关于透视的定义已经在上一讲的笛沙格定理中给出.位似比指的是对应点和透视中心连成有向线段的比，可以为正，也可以为负.两种情况分别是位似图形在位似中心同侧和两侧.有的书，甚至包括某些初中课本（北师大版）将位似图形定义为：对应点连线共点并且相似的图形叫做位似图形，这个定义是错的.下面的图就给出了反例.如图所示，,是透视形并且相似（由四点共圆性质不难知道角相等，读者可自行推断.但它们并不位似.如果对它们有点重合不满意，可以以O点为位似中心将缩为,而和就又是一对反例.两圆的位似中心也很重要.如果两圆外离，则位似中心有两个，外公切线的交点和内公切线的交点.如果两圆外切，则位似中心也有两个，外公切线的交点和切点.如果两圆相交，则位似中心只有一个外公切线的交点.如果小圆内切于大圆，则位似中心为切点.如果小圆内含于大圆，则位似中心只有一个.关于圆的位似中心有这样一个显然的结论：过位似中心 P任作直线交两圆1,2于点1、2，则12=12（根据有向线段，可添加负号）例题 利用位似证明：小圆和大圆内切于点P,大圆的弦A B切小圆于Q,延长P Q交大圆于K,求证：K是弧A B的中点;2=2=.A1A212A2A121PPEDOACBFHG证明：连结A P交小圆于点A,连结B P交小圆于B,连接AQ、AB、BQ.根据位似，我们只需要证Q是弧AB的中点即可.由弦切角及AB/A B可知，=.得Q A=Q B,因此Q是AB的中点.证明的第二步，2=2是显然的，注意到 故=即2=.例题 在中，分别记,为外接圆和内切圆的的半径，O是外心，I是内心，设=，证明欧拉公式：2=2 2.证明：首先将待证式改为这样的形式：2 2=2.左边是()，因此我们延长A I交圆O于点D,这样只需要证：=2.也就是要证 2=.为此我们寻找相似三角形，2提示我们要作直径，故连接D O并延长交圆O于E,并连接B E.而提示我们要作内切圆半径，不妨设内切圆I切A B于F.=,=90.故 =现在我们需要证明D B=I D.不妨提前介绍下一讲的一个内容：鸡爪定理.如图，中，是内心，连接并延长交外接圆于.求证：=.如 图：=+=+=+=.所以=.同理可证=.故=.顺便证明了D是弧B C的中点 因为形状酷似鸡爪，故将内心的这个性质称作鸡爪定理.有关内心和外接圆的问题中，这个辅助线是常见的.BAKBQPAEDFIOABCDIABC3.九点圆及其他 定理（费尔巴哈九点圆）三角形三高的垂足、三边的中点、三个顶点和垂心连线的中点共圆，此圆称为九点圆.在证明该定理之前，我们先介绍一个有关三角形垂足的引理.引理 在中，,为三条高，是垂心，则=.证明：只需证=.而 =.也可称作：三角形的垂心是其垂足三角形的内心.这里提前介绍了本该下一讲介绍的内容.定理的证明：如图，在中，,为高的垂足，是垂心，,为三边中点，,分别是,的中点.则 =故,四点共圆，同理,和,四点共圆.又 =2=2=故,四点共圆，同理,和,也共圆.故,九点共圆.九点圆的简单性质和费尔巴哈定理需要用到等角共轭点和垂心、重心的一些性质，我们放到下一讲.这一小节就先简单地结束了.4.圆共点和密克定理 定理（密克定理）在三角形A B C的三边或延长线任取三点D,E,F，则,的外接圆1,2,3共点.该点M叫做D,E,F对A B C的密克点.解决这种问题的基本思路是将圆共点转化成点共圆.我们设圆1,2交于点 M,则由四点共圆的性质可以知道 =故四点共圆，即点M在圆3上.证毕.HYZXABCRQPEDFHYZXABC321MABCFDE 有关圆共点和密克点还有很多结论，我们再介绍几个.定理（完全四边形的密克点）完全四边形（四角星）中，,的外接圆1,2,3,4共点.该点O为完全四边形的密克点.这题用上一个密克定理十分合适.对应用密克定理，得2,3,4共点，不妨设为点O.再对应用密克定理，得1,2,3共点,显然这一点就是点O.证毕.定理（五角星的密克定理;五圆定理;C l i f f o r d定理）：完全五边形的五个密克点共圆 证 明：=，故四点共圆.同理四点共圆.于是五点共圆，从而+=+=+=+=180.于 是 四 点 共 圆，同 理 可 知五点共圆.5.圆的外切四边形 圆的外切四边形有如下的简单性质，在该讲义中讲不加证明地给出：菱形是圆外切四边形.一个凸四边形是圆外切四边形 对边之和相等（可用切线长定理证明）.若A B C D是 圆 外 切 四 边 形，则 +=180,+=180（可放大一倍证明）4421OCAEDFBIJFGHIJFGHBAEDCDQRPSIABC以下是两个稍复杂的定理以及证明.已知一凸四边形外切于圆,求证：+=证明：不妨设 =2,=2,=2,=2 +=180.又不妨设圆O半径为 1，则 =csc,=csc =csc,=csc,=cot+cot=sin(+)sinsin 同理可得,.故 =sin(+)sin(+)sinsinsinsin 而 +=csccsc+csc+csc=sinsin+sinsinsinsinsinsin 并将sin用sin(+)代换即可得到结果.定理（圆外切四边形的牛顿定理）圆外切四边形对边切点连线于两对角线共点.证明：设和交于点，由+=180可知，=sinsin=sinsin=所以=又设和交于点,则同理可知=故和重合.同理可证,交于一点.显然，这一点为,即证.用牛顿定理和塞瓦定理的角元形式搭配可以证明和帕斯卡定理对偶的布列安桑定理，有兴趣的读者可以自行查阅并证明.6.蝴蝶定理 蝴蝶定理可谓是一个比较特殊的定理由杂志征解产生问题、中学教师给出解答，还有一个这么漂亮的名字.看，多像一只翩翩起舞的蝴蝶！CAOBDNQSPRCABD已知：是弦的中点，、是过的任意两条弦。、分别与 EF 交于点、.求证：是的中点.证明：连接、.取中点、中点.连接、.根据垂径定理有 =90 =90 、四点共圆，、四点共圆.=，=1212=又 =()=即是中点.蝴蝶定理有很多变形，比如把弦请出圆外.顺便说一句，蝴蝶定理其实是定理的特例，有兴趣的同学可以自行查阅 下一讲预告：三角形中的巧合点 QRCDOPABJILKACMOFEDB