10 高中数学解题方法讲座(直线与平面).doc

10 高中数学讲座-直线与平面学习本单元首先要建立空间观念，对一些基本定理要透彻理解，掌握定理研究的对象，定理要求的条件，判定定理和性质定理的联系与区别以及它们的转化关系，能运用转化思想解决计算与证明问题，合理地把空间问题转化到平面上。一、选择题1.设a,b,c是空间中的三条直线,下面四个命题: 若ab,bc,则ac;若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;若a和b相交,b和c相交,则a和c相交;若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面. 其中真命题的个数为 (D) A.3 B.2 C.1D.02.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1,点P在边AB上移动,点Q在CD边上移动,则点P和Q的最短距离为 (B) A. B. C.D.3.点P在正方形ABCD所在平面外,PD平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角为 ( C) A.30° B.45° C.60° D.90°4.已知直线a,b,c,则ab的充分条件是 (D) A.a且bB.ac且bc C.a,b与成等角 D.ac且bc5.PA,PB,PC是从点P引出的三条射线,每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面APB所成的角的余弦值是 ( C ) A. B. C. D.6.PA垂直于以AB为直径的圆面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列结论中不正确的是 (C ) A.PCBC B.BC平面PAC C.ACPBD.PABC7.四点A、B、C、D满足ABCD,ACBD,BCAD,则该四点的位置关系是(C) A.一定共面B.一定不共面 C.不一定共面D.不存在8.正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APBD1,则动点P的轨迹是 (A) A.线段B1C B.线段BC1 C.BB1中点与CC1中点连成的线段 D.BC中点与B1C1中点连成的线段9.空间四边形ABCD的棱长都相等,E在棱AB上,F在棱CD上,使得= =(0<<+),记f()=+,其中表示EF和AC所成的角, 表示EF和BD所成的角,则 (C) A. f()在(0,+)上单调增加 B. f()在(0,+)上单调减少 C. f()在(0,+)上为常数 D. f()在(0,1)上单调增加,在(1,+)上单调减少10.平面内有BOC=60°,OA是平面的斜线段,且OA=a,OA与BOC的两边所成的角都是45°,那么点A到平面的距离为(C) A.a B. a C. a D.a11.(2004年北京,理4)如图,在正方体中,P是侧面内一动点,若P到直线BC与直线的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(D) A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线12.(2004天津,文8)如图,定点A和B都在平面a内,定点Pa,PBa,C是a内异于A和B的动点,且PCAC.那么动点C在平面a内的轨迹是( B )A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点C.一个椭圆,但要去掉两个点 D.半圆,但要去掉两个点13.(2004湖北,理11)已知平面a与b所成的二面角为80°,P为a、b外一定点,过点P的一条直线与a、b所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有( D )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条14.(2004上海,文理13) 在下列关于直线l、m与平面a、b的命题中,真命题是( B )A.若lb且,则l B.若l且,则l.C.若l且,则l. D.若=m且lm,则l.15.(2004重庆,理8) 设P是的二面角内一点,PA平面,PB平面,A、B为垂足,PA4,PB2则AB的长为 (C )A B C D16.(2004重庆,文8) 不同直线和不同平面,给出下列命题： 其中假命题有( D )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个17.(2003北京,理4文4)已知a,b是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是 ( B ) A.若mn,m,则n B.若m,=n,则mnC.若m,m,则 D.若m,则18.(2003上海春,13)关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( D )A.若,则 B.若,则C.若,且,则 D.若,则19. (2001上海,15)已知a、b为两条不同的直线,为两个不同的平面,且a,b,则下列命题中的假命题是 ( D )NCMBAFEDA.若ab,则 B.若,则abC.若a、b相交,则、相交 D.若、相交,则a、b相交20.(2001京皖春,11)右图是正方体的平面展开图在这个正方体中,平行CN与BE是异 面直线CN与BM成角DM与BN垂直,以上四个命题中,正确命题的序号是( C )A. B. C. D.ABCDEF二、填空题21.a, b, c是两两互相垂直的异面直线, d是b与c的公垂线, 则d与a的位置关系是 .22.空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线BD,AC的中点,若BC=AD=2EF,则EF与AD所成的角为 .23.相交成60°的两条直线与平面所成的角均为45°,则它们在内的射影所成的角为 _.24.BAC=90°,AB=B,AC=C,则BAC在平面内的射影BA'C (A'ÏBC)的取值范围是 .25.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:ABEF;AB与CM成60°角;EF与MN是异面直线;MNCD.其中正确结论的序号是 .26.在平面内有一个正ABC,以BC边为轴把ABC旋转角,(0,),得到A'BC,当cos= 时,A'BC在平面内的射影是直角三角形.27.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度为 .28.已知边长为的等边三角形ABC，SC平面ABC，SC=2，M为BC中点，N为AB中点，则CN和SM所成的角为_.三、解答题29.如图正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是异面直线AC和A1D的公垂线段,求证:EFBD1.解析：连接AB1和B1C,易知B1CA1D, 因EF是异面直线AC和A1D的公垂线,可得EFAC,EFB1C,则EF平面AB1C,由三垂线定理可证BD1AC,BD1B1C, BD1平面AB1C,则EFBD1.30.如图,已知ABCD是矩形,PA平面ABCD, AB=3,AD=4,PA=4,Q是PA的中点.求:点Q到BD的距离;点P到平面BQD的距离.解析:作AEBD,垂足为E,连结QE,由三垂线定理可证BDQE,QE为所求之距离,求得QE=. 由可证BD平面QAE,作AHQE,垂足为H,可证AH平面QBD,AH是A到平面QBD的距离,在RtQAE中,AH=,Q是PA中点, P,A到平面BQD的距离相等,则P到平面BQD的距离为.31.已知边长为10的等边ABC的顶点A在平面内,顶点B,C在平面的上方,BD为AC边上中线,点B,C到平面的距离BB1=2,CC1=4. 求证: BB1平面AC1C; 求证: BD平面ACC1.解析:本题考查线面平行、垂直关系的判定定理,注意已知线段长度关系是解题的关键. BB1,CC1, BB1CC1, CC1Ì平面ACC1, BB1平面ACC1. 取AC1中点E,连结DE,B1E,则DECC1,且DE=CC1,DEBB1,且DE=BB1,BDB1E,且BD=BE1,CC1B1E,从而BDCC1,又BDAC,ACCC1=C,BD平面ACC1. 一、选择题1. D 在空间不成立,异面、相交、共面无传递性.2. B 当P,Q分别为AB,CD中点时,PQ最短.3. C 过A作BD的平行线交CB延长线于E,连PE,DE,通过解PAE可求得.4. D5. C 过C作CO平面APB,运用cosCPB=cosCPOcosBPO得解.6. C 若ACPB,则AC一定垂直PB在平面ABC上的射影AB,即ABAC,显然不正确.ABCDD1C1A1B1P7. C 本题是探索性问题,考察选取特例的能力,探求未知结论的能力和空间想象能力,体现了高考以能力立意的命题思想空间中正三棱锥ABCD的对棱互相垂直;平面上ABC的垂心为D也满足条件,由此得解C.8. A 本题在运动中灵活考查异面直线的垂直问题,立意新颖,由对称性和三垂线定理作出截面AB1C后,易证BD1平面APB1,故当P在B1C上运动,总有BD1AP,故选A.9. C 作EGAC交BC于G,由比例关系易得GFBD,则=GEF,=EFG,利用正四面体对棱垂直这一基本事实,得EGFG,故选C.ABECOD10. C 点A在面BOC上的射影在BOC的平分线,cosAOD=cosAOE·cosDOE,这些常见结论,需要我们平时不断积累,在解题中适时运用,能大大提高解题速度.11. D.本小题主要考查空间点线距离等基本知识,以及综合运用数学知识解决问题的能力.在侧面BC1内点P到直线C1D1的距离就是P到点C1的距离.因此,满足题意的点P的轨迹是侧面内到点C1的距离与到直线BC的距离相等的点集合,由解析几何知识可知:点P的轨迹是以C1点为焦点,以BC为准线的抛物线(在侧面内的部分).12.B.本小题主要考查空间线面的垂直关系,三垂线定理及其逆定理的运用.PBa,PCAC,ACBC,故C点的轨迹是以AB为直径的圆,但要除去A、B两点.13.D.abPlQDCAB本小题主要考查二面角、线面角的概念,考查空间想象能力与推理论证能力。如图,过P作a、b的垂线PC、PD,其确定的平面与棱l交于Q,若二面角为800,AB与平面a、b成300,则CPQ1000,AB与PD、PC成600,因此问题转化为过P点与直线PD、PC所成角为600的直线有几条。<600,<600,这样的直线有4条.14.B.考查直线与平面的位置关系A显然错误,C、D中l可能在平面内；B一条直线垂直于平行平面中的一个也垂直于另一个,是正确的15.C.设PA、PB确定的平面PAB与直线l交于点O,连结AO,BO,PO,PAa,PBb,平面a与平面b交于直线l,PAl,PBl,l平面PAB,POB即为二面角的平面角为60°,从而APB120°,在APB中,PA4,PB2,AB2PA2PB22PA·PBcosAPB28,AB16.D命题正确,面面平行的性质；命题不正确,也可能nÌ；命题不正确,如果m、n有一条是、的交线,则m、n共面；命题不正确,m与的关系不确定17.B.本小题主要考查空间线面的平行与垂直关系等立体几何基础知识.由判定定理容易判断A、C、D正确.选项B的错误在于平面b不一定过直线m.18.D.考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质A选项中,a、b可能平行、可能相交,也可能异面,B选项中,b可能在M内,可能与M平行,也可能与M相交,C选项中,需增加a与b相交的条件才成立D选项证明如下：,过a作平面与N交于c,则ca,cM,故MN19.D.ab,a,b,又b,a,a 或aÌ,又b,ab若,则ab若、相交,则a、b可能相交也可能异面,显然D不对20.C.展开图翻折还原成如图所示的正方体由图可知不正确,正确二、填空题21. 平行. 解析:从C上取一点M, 过M引b'b,b'与c确定平面, 易证:d, a,da.22. 60°. 解析:取AB中点G,连接GE,GF,GEF为所求,GF=BC,GE=AD,GF = GE = EF, GEF=60°.23. 90°. 解析: 如图,PP',设PP'=a,则PA = a, PB=a, AP'=BD'=a, APB=60°, AP'B=90°.24. (,). 解析:cosBA'C= |A'B|<|AB|, |A'C|<|AC|, cosBA'C<0,BA'C>BAC=90°, 25. 解析:在画图与识图中培养空间感与想象力,以正方形ACFN为底面将正方体纸盒还原,再分别讨论不难得出答案.26. 解析:射影面积公式cos=是求二面角大小的一种重要方法,在解选择题或填空题时有化繁为简的效果,本题cos=.27. 解析:本题考查了思维的严密性与发散性,首先要有一定的空间想象力,并且能明确所求点集在正方体表面所画曲线的形状,这条曲线在面ADD1A1上的一段是以A为圆心,为半径,圆心角为的一段圆弧,在面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心, 为半径,圆心角为的一段圆弧,由正方体的对称性知,这条曲线的长度为3(·+·)=.28. 450.过N作PN垂直于平面ABC，且PN=2，角PSM为所求角，用余弦定理求得。5