教学资源五（函数的解析式与值域的求法）.doc
专题三 函数的解析式与值域的求法函数的解析式的求法一 换元法例1（1）已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.（2）若,求.（3）已知, 求的解析式.（4）若,求.二待定系数法例2（1）设是一元二次函数, ,且,求与.（2）设二次函数满足,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为,求的表达式.三解方程组法例3（1）设函数是定义(,0)(0,+ )在上的函数,且满足关系式,求的解析式.（2）若,求.四利用给定的特性求解析式.例4（1）设是偶函数,当x0时, ,求当x0时，的表达式.（2）对xR, 满足,且当x1,0时, 求当x9,10时的表达式.五特殊值代入与归纳递推法例5（1）若,且，求值.（2）设是定义在上的函数,且,，求的解析式.（3）设,记,求.函数值域的求法一. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. （1）求函数的值域。解：显然函数的值域是：（2）求函数的值域。解：。故函数的值域是： 二. 配方法 例2. （1）求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8 三. 判别式法 例3. （1）求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，而故函数的值域为（2）求函数的值域。 解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 四. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4. （1）求函数y=值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：（2）求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为 （3）. 求函数的值域。（也可用数型结合）解：由原函数式可得：，可化为：y3)x(sin1y2=b+即1yy3)x(sin2+=b+即解得：故函数的值域为五. 函数单调性法 例5. （1）求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：（2）求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为六. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例6. （1）求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为 （2）求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为 （3）求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 （4）求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为： 七. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 （1）求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：（2）求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为（3）求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。 八. 多种方法综合运用 例8. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法巩固练习1已知f(x)是一次函数，且ff(x)=4x-1,求f(x)的解析式。或2若,求f(x). 3.若 求f(1).8 4.已知函数（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. 则f(x)= _ 5.已知函数满足= _ . 6.已知函数与的图象关于点（-2，3）对称，求的解析式. 7.求函数y=x(0x5)的值域。（答案：值域为：0，1，2，3，4，5）8.求函数的值域。（答案：值域为：）9.求函数的值域。yy1,yR。10.求函数的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为,由对数函数的定义知解得，0x<1。函数的值域（0，1）。11.求函数的值域.(答案:值域为yy3)12.求函数的值域。解：将上式化为 （）当y2时,由，解得：当y=2时,方程（)无解。函数的值域为：。13.求的值域，答案:14.求函数 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为它的图象如图所示。显然函数值y3,所以，函数值域3，。15.求函数的值域。（答案：）16设是定义在上的函数,若,且对任意的x,y都有：, 求. ()17.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2+x)=f(x)x2+x。（）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0. 求函数f(x)的解析式. 7
