化工系统工程讲座_八_.pdf
?年化学工程第弓期化工系统工程讲座!八梁玉衡!北京化工学院第六讲化工过程系统静态最优化方法!#前已指出,过程系统的静态 最优化设计问题忽略了过程系统 特性对过程 系统的影响。所以静态最 优 化的数学模型可以认为是动态模型的一个特例。实际 上,把大多数化工过程系统看作静态系统并不会产生多木鱼俱差。对 于过程系统的最优 化设计,要求过百萦统在绝大多数情况下,在正 常 条件操作时尽可能平稳,特别是对于采 用以“级”构成的过程系统,如化 工生产过程的综合自动化的多级计算机管理、调度,生产车间的 参数的综 合控 制,用专用的小型或微型计算机进行最优控 制等等,这些分级系统,系统的响应速度一般比外界干扰速度快得多,所以在一般情况下,有可能而且应该将动 态模型变换为静态模型去处理。不考虑动态特性影响 的静态最优 化的数学模型可用过程系统的 目标函数!%和若干个等式 或不等式 约束 条件描述,写成数学方程式如下&求满足约束条件迄今,已经提出了多种静态最优化的计算方法,本章对一些基本的算法,分为三大类作简要介绍&!?目标函数无约束条件的最优化方法,!目标函数有等式约束条件的最优化方法(!)目标函数有不等式 约束条件的最优化方法。城多目标鱼数无约束亲件的最优化方法!%提+!,一?!%.+!,一使目标函数!%达到最大值或最小值,即!%办/0 1!/23!,一)的决策变量%,?。徽分法,在数学分析 中已经证明,无 约束条件的目标函数的最优值!最大值或最小值或位于该函数的驻点,或位 于该函数梯度的间断 点。所以用微分 法考察目标函数的一阶 导 数!或偏 导数为零或 者是不连续的点或者是该函数本身的间断点,即可求出无约束条件的目标函数的最优值。用微 分法求无 约束条件的目标函数的最优值与数学分析中用微分法求函数的极值没有本质的不同,所以具体算法就 从略了。梯度法梯度法是求函数最优值的一种 基本的迭代方法。由于在每一个迭代时 要计算目标函数的梯度以确定下一步有利迭代方 向,因此称为梯度法。一,4一设目标函数为多变量函数!%二!%,35,向量,607,8 9/,它的梯 度定 义为一个/维列记为&6、一加丁0%&:7邝66%。;为了计算使一匹达到最小值的点,首先给出一个初始点%+做为%的初 始近 似 值,从%。出发,沿着!%减小 的方向移动。由数学分析已经证 明,在巧的邻域申沿负梯 度选取适当的正数0(,下一次迭代的%按下式取值,6#%(,?.%(一0(一竺 二?!,一%。一。(式中0&+二定义为迭代计算的步 长。诵赓慈裔迭代让算步骤如下&!?选择初始点。,给定一个充分小的正数。!计算负梯度一甲!,&,2.+,!)如果甲!%:镇。,则满足计算精度要求,一停机。否则到第!=步。箭的方向,使函数!%值下降最快。!=由一维搜素求0(,使一了,、若将!%在%。按台劳级数展开,取一阶项,则得&%(一0(4!%(.,一飞3,“(一0甲!%&,“,!%一!%。!%一。;卫?己%9&一。!令%(十,件%(一0(!,一式中%一%。十“为?。邻近的一个向量,“是一个很小的正数,9是单位向量,现在要求一个单价向量#,使共、卞降尽可能快。由于甘一戈%卜。,、一。:号、卫(&9了二几%2式 巾 的为卫,%:%一%!,一,方向的单位向 量(2?,返回第!步,直 至甲!叭?镇为止。例,一?某 过程系统 的目标函数为下式&!%.%圣一,%(%置一?+%&一)=用梯度法求其最小值。解选择初始点%,。一?,%5。.?,取步 长0一+?,。一+?,则八二月乙份 才笋?,?!任移自自,?#荟匕%“&扬卫的 模!(),+为两个 单位向量 的内积。由式,一%可知,当./一时,!,0%/!,从。%得到绝对值最大的负数,所以在。1023。.中选择.为负梯度方向的单位向量,即取04一0。一。卫卜,。一5%60。一。)。一&7剥。一0。一,“?一8,&,?,卫&204&)一一 9一:,;、?,%一?#)一一,。4一8%?&,?礴,9%一,。,0一:%;,?,%一8”:5?0 ;/胜 ;打一)口一)(一卜八一卜 一气一曰)式中6。是某个正数。按求04的方法继续进行迭代计算。若已得到。、,针算!,0%在0的梯度丝70;“一“4 一谈翻一&+?)。?4?一。耳一:邻魏:%(、?一%(一。(!粤、口79、+4?=)。+?,4+一,二 、。,。&0、飞二。二体、一、刁、目?女,卜匕月.飞十二一”74已己又门 盘廿多勺欲二钾5#一、7?如呆将目标函数!哟在%。作 台劳级 数展开并取二阶导数项作近似逼近,则可获得比梯度法更精确的结果若设目标函数!川有连续一阶和二阶导数!或偏导数,由台劳级数展开取二阶导数项则得&向(,共扼方向是 由梯度个修正项来确定,己口(一器(口上?一 卫日(,、,!,一?+!%幸!%2;。生;(%式中(二甲!%(65!%,住2一9一一一,?万?一9一67%一%一%2,多令甲!%一+,得此近似函数极小 点的必要条件&甲!%.?%.+时收敛很慢,而共辆梯度法具有梯度法 的优点,并且在叭接近%今时 收敛较快。由于搜索方向是 根据前一方向的共辘友向确定,因此 称为共扼梯度法。共辆方向定义&设为313的实对称正定矩阵,如果有两个3维向量和,满足;.+则称向量和对于矩阵共扼。日(一,(&丁(百一,(一,!,一?(.一(日,?!由一维搜索求0,?&使!%0?.?9930+!%卜0!,令?(&二%(0&,2 于 2?,返回第!步,直至计算精确度满足要求为止。由上述讨论可得,若令日2一&二,则共辗梯度法即变成梯度法。例,一用共辘梯度法求例卜?的目标帅数的最小值一、一一?解场一2一,?一#勺卜。一4(,。一寸:。一4(?些所一9:0。4(,0。+由0。构造新的目标函数!0。二!=0。一“一?!4 0。一=求!0。今/23,则得0.+。+!0。.)?=?上户匀一一通任6自叮一?献%.99 宁”+。)。+?一)。=+?4以包塑鱼竺全卜算的收敛速度而各丝鱼鱼翼鬓熟引入变尺度的概念,采 用尺度矩阵(逼近!(一。此即 和卑到粥酷。变尺度法实质也是一种共辘梯度法,其不同只 是在变尺度法中,将共扼梯度方向尽洲下述方向代替一,一(?(!,一?)式中,是一个/1/对称正定矩阵,称为尺度矩阵。根据尺度矩阵构成方法不同,(有各种变尺度算法。下面介绍两种计算尺度矩阵 的方法&!?一一法一一甲!)=“!+?4!=“!4+。+=)。一+。?2 十,二2里、!(;2)一6,=:。+“4璧?耳(_2!_2;(!_、;2_2!一一法(十?一&十!,一?=。工一言盅:,曰3,?3今曰?/,曰八)?胜 卫?吸?,!由6,构造新 的目标函数,并对6求目标函数的最小 值,则得十鲤坦兰吐二生丘迅,8。?。%,一?:%?一?式中日,?3,%,%,一?%;,月浦士内民口#曰?42(#)9?=9 0一;一计算结果表明,共辘梯度法 的 收敛速度比梯度法快。=变尺度法变尺度法是求解最优化问题最有效的方法之一在前面的讨论中,厂画蜜;塑塑里方向作为最速下降方向,从局部意义来看,然而从整体来看它不仅处,迭代收敛速度很慢。采咱画丝履丝加快砰弋计算的些塑退,但是尝里 亘鱼塑娜滚杂1、十,一,一?5%二叭3一0一46,一?9%由上式可以看出,变尺度法收敛速度要比共扼梯度快,因为共辘梯度法只利用了梯度变化的信息,而变尺度法除了利用梯度变化的 信息外,还利用了控制变量变 化的信息。变尺度法的计算步 骤如下4,?%给定初始 道0。,一,!,0。%,同时给定一个充分小的正数。,%计算!,0%,1守!,0%。,8%校验?4,。若?簇。,则计算结束,停机。若4。;+。则计算继续到第,=%二一5一步。!=取(二一桩0!由一维搜索求0(,使、,%(0&(,一默“%,0(,!,令“(&二%(0、(。!4校验,、&(!。若?(,9!。,则停机。若?(,:,则计算继续到第!步。!令二0(,_(二(十,一,!?计算解选择初始值。一9至和“一+?。如前例算法可求得&9 左叮!?甲!,劝%选择则得7、。一。一互一甲,),&。一?5盆&由此求得,见前例%4?3,%,工二止二二 二一止二上二上立二二一/一二!二二止二石乙,%/,?%令13,返回第,=%,直 至?、十4,。为止。例一8用变尺度法求例一?的 最小值。仪。:504一7貂甲!,0%,0%7。,一8 :=由式,一?=%,计算式中右边第二项、第三项的数值,并分别 用_。、。表示。!性=才性,臼帐?于.!_2#:5=35 5 577?了5%?8 989:8该2?曰 口 州 口 一飞=2。=35。?55?5。=5?台52。=拓5 =母?9?9 由此可求得44一777十&4&8 9:87?,吸 刀4,几一户怪 0一&孟贯卜。?8:一 将04代入目标函数!,0%,并对6,求!,岭的最小值,则得4山一 =”!,0%1?一”由此可得4 =,可见用变 尺度法,、经两次选代已经达到预先规定的计算精度要求。:。模式法所谓模式法是指按 照事先规定的一些模式,在一定的图形的顶点上,按一定的规则进行搜索的方法。模式法有很多种,限于篇幅,这里只介绍单纯形法。卜一 叹少单纯形是指一些以最少的顶点数构成 的几何图形,如在平面上的三角形、在空间一5子一心!工奋侣)中的四面体等。若是在平面上 的正三角形,在空间中的正四面体则称为正 规单纯形。单纯形方法 的丛本思路是&首先在一个单纯顶点上作搜索,比较搜素的结果扩抛弃最坏的搜索点,取其对称点作为新 的搜索点,由新 的搜索点 与经 过比较留下来的搜素点构成新 的单纯形,反复进 行土述迭代,每次保留较优结 果,使其逐步挤近最优点。以两个变量 的函数为例,单纯形法的迭代步骤如下&!?如图,一?所示,假定迭代搜索 从灯凡 图,一?正规单纯形初始点。!。的座标为0,、05开始,由。!0,05出发作一个边 长为0的正三角形,则顶点&、一&的座标分别为&,!0&,0&咔&!找&,0&式中&.+?,0.6,?0!证明从略!诚明从略由顶点&、&、几构成一个新的正三角形。作为一般的对称公式如下&新点一留下顶点的和一去掉的顶点飞飞(几、!,一?如果在新的正三角形中,最坏点为,、,则按上述方法,找出新的搜索点,的座标值如下&,&。一&二户!0&5歹五&5或,、.。,一,(=!0,却,055 如果在新 的正三角形中,最坏点为如则为避免断的搜索点返回原点护。,所以应去掉次坏点,以次坏点的对称点作为新 的搜索点。重复上述步骤匆总可保留一个最优点。!)继续 采用 重复、停止、缩短步长的迭代步骤,直至找到最优点为止。如果一个顶点经过三次单纯形迭代仍未淘汰,则说明这个顶点是一个好点或者是一个谬然好钾次的点,钾是因结黝断错误而留下的点。所以需重新迭代,若迭代结果变坏,贝仕夸最盾的单纯形中把它去掉,若迭代结果仍然是好点,则停止计算(若结 果不满足计算麟爵求,则以雌卓为起始点,将原三角形边长0缩小!如取扣,按 上述方法进行迭代计算,直至找到满意的结果为止。户对子有3个变 量的函数的情形,从初始点氏!0 9、今”,补开始,构造一个,维的正 规单纯形,共有!3十?个顶点,其座标值分 别为&、&丁。!0土,0&,!分别计算函数数值,比双其计算结呆&去掉最环点,用其对称点作为新的搜索点,如。为最坏点,则取。作为下一步的搜索点,)的计算式如下乡玖&十公一。一?&一一!。,0&十&!08,&!0&,0&十,0(,0。0&,0&,0。3一,!0、一卜,0。一,0。!0(,一,0(一(升,0。一4一、式巾了言不犷.?召不洋、3寸十皿,9一?.一认3侧对不同乓的从数值如下表所列&计算!3十?个点 的函数值并比较其计算值,新的搜索点的对称公式如下&新点一51!留下3个顶点之和一去妞掉的顶点!,一+为了加速迭代收敛速度,可以采用下述单纯形加速法&当确定初始单纯形后,利用反射、扩张、压缩等方法去喃造新的单纯形。!?0一反射由上述对称公式,若去掉顶点为,新的搜索点为气则为:留卫点之 和,实际上值是留下。个顶点所构成的!3一?维单纯形的重心,则对称公式可写成&.5一或一一 一!一?式!,一?的几何意义是从新的搜素点到重心的距离等于从重心到去掉的须点钓距离。形象地说,如把其 它留下的顶点作为一面镜子,则带为在镜子上的等逛离反射,如 图,一所示。实际上反射也河以是不等距 的,即命到的距离等于到的距离的并班,一单纯!0 等距离。一反射!不等距离卜反射某一个倍数,如?)倍 或倍,一般用0表示,0心,0定义为反射系数,则对称公式可写成一.0!一或二!9。一0!,一即与0有关,记为忿,这一步骤称为仪?反射,由尝加上留下的单纯形顶点构成新的单纯形。!一扩 张根据&上不同的搜索的结果,若&在不基也择新的单纯形中既不是最优点,则以此新的单纯形为基 础,选是最坏点,中最坏点,用6一反射选择新的顶点。若4在新的单纯形中是一个最 优点,则不用6一反射,而是采用延拓 4线,在线 上选取一点,新的点、由下式计算4,一丫,4一%式中丫+?,定义为 扩张系数,则上式写成4丫143,?舀衫,弓一 8%一58一这一步骤称为卜扩张。如图,一)所示宕一维搜索法是最基本的一种直接最优化方法。一些高维的最优化问题可以简化为一系列的一维问题,在一些最优化方法如梯度法、共扼梯度法、变尺度法中也都要通过一维搜索方法求迭代计算的步长。、二维嘛方法有很多种,方法。!?试验法本节只介绍其中常用 的两种田一)单绷 形的卜扩 张,的计算结果优于。,则继续用一扩 张(若丫的计算结 果劣于&,但比其 它单纯形顶点好,则 由,与其它留下来的点构造一个新的单纯形,继续用0一反射,若,的计算结果不但比。劣,还比其它单纯形顶点,差,则退回包含顶点。的单纯形,继续用0一反射。!)日一压缩若尸。在新的单纯形中是最差 的顶点,贝公继续 用一压缩步骤。即沿线退回去 选择一点,如图,一)所示,。由下式计算&。一.日!一 或。.日9,!?一日!,一=式中日定义为压缩系数,6日?。用。和原来留下来的单纯形顶点构成新的单纯形。如果。仍然是最差顶点,则从原单纯形中最好的顶 点出发,在 它与其它顶点距离告处作一个新的顶点,构成一个缩小的新的单纯形,继续 用上述三个步骤。若。不是 最镂的顶点,则使用前述的0一反射和卜扩张步获,构造新的单纯形。!=反复进行上述步骤,直 到找到满意的结果为止。系数、日、丫的数值可根据经验选择,一般可用下 述数值&0.2,二。,一,、)、=。其中丫一 时结 果较好,。、的数&值不宜太小。,。一维搜索试验法的迭代步骤如下&?选择适当的正数?,封断!#?%&(!%!)一+是否满足。,若式!)一+不成立,则将步长缩小日倍,一般取日任仁./,.),代入式!)一+。0若式!石一+仍不成立,则将步长继续缩小1倍,直至满足式!)一+为止。2将。&十?%3代替&,并将步长扩大。倍,一般取34/,继续进行迭代,并判断式!)一+是否满足。5 若式!)一筋成立,将步长扩大6倍作为下一步迭代的步长,若式!)一+不成立则缩小日倍作为下一步迭代的步一长,这样 反复迭代直到满足 下式7 二!&?%&一!&8!)一)为止。如果每次迭代按恒定常数 日一.)/9来缩短搜索区间,此即通常所指 的黄金分:;法。如果预先给出搜索总数,不按常数 来缩短搜索区问,而是以.)/9为渐进数的数列.=,.。、=,=,=二=肯确定搜 索区间的缩短率,其中一得&砂生一!竺盖二竺)沙!咐一0荃丛!叫一心功!仪&一0。(!0)一0、&!0、一0&!,一?在每一步迭代中,若有0&二+的 目标函数值!%(&,同时记0。0、式!,一?可写成,0,.5,一,!0,!0&了用三次多项式来逼近目标函数比二次多项 式求得更精确的最小值点。0.色)一=&。无一=&十&!,一)+参考文献在每一步迭代中令0二0,判断!%&十0(!%2!,一)?是否成立若式!,一)?成立,则进行下 次继续进行迭争迭代,否则将步长缩小为代,直到式!,一)?成立为止。如果已知 两点0、0&的 目标函数!。(、!05及其 导数9!0&、尹!0&值,可构造一个三次多项式逼近目标函数!的,三次多项式 的最小值点如下式&,!0,一50甲0丫万?,一?,一?.弋六产,一?气几二,!0&一09 艺竹!。一仪,!,一)式中&?09二“892082308/082090/23;32%,?+4+0 2,“6 82/20 823;_0 3)2川/七99认,“冉,920一299/二?4=93,“82/%/238 382。十99#二?,=#2,“%3,?,4,?南京大学数学系,“最优化方法”,科学出版社?4?【了?中国科学院数学研究所,“龙选法”科学出版社?习4【兰州化机所,“数学规划在过程最优化设计中应用的讨论”,内部资料?+竹,一昼旦业,上丝喧二十1!。&1,!。(0岛一0 冬一4一
