初高中数学衔接教材[已整理]14518.pdf

目录 第一章 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章 二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章 相似形、三角形、圆 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学）1.1 数与式的运算 1.1绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|0,0,0.aaaaa a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：ba 表示在数轴上，数a和数b之间的距离 例 1 解不等式：13xx 4 解法一：由01x，得1x；由30 x，得3x；若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得x0，又x1，x0；若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即 14，不存在满足条件的x；若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得x4 又x3，x4 综上所述，原不等式的解为 x0，或x4 解法二：如图 111，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为 1 的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为 2 的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式13xx 4 的几何意义即为|PA|PB|4 由|AB|2，可知 点P 在点C(坐标为 0)的左侧、或点P在点D(坐标为 4)的右侧 x0，或x4 练 习 1填空：（1）若5x，则x=_；若4x，则x=_.（2）如果5 ba，且1a，则b_；若21c，则c_.2选择题：下列叙述正确的是 （）（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab（C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()ab abab；（2）完全平方公式 222()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()ab aabbab；（2）立方差公式 2233()()ab aabbab；（3）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式 33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式 33223()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：原式=2222(1)(1)xxx =242(1)(1)xxx =61x 1 3 A B x 0 4 C D x P|x1|x3|图 111 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx =33(1)(1)xx =61x 例 2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值 解：2222()2()8abcabcabbcac 练 习 1填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；(3)2222(2)4(abcabc)2选择题：（1）若212xmxk是 一 个 完 全 平 方 式，则k等 于 （）（A）2m （B）214m （C）213m （D）2116m（2）不 论a，b为 何 实 数，22248abab的 值 （）（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式 一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如 232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3 a与a，36与36，2 33 2与2 33 2，等等 一般地，a x与x，a xb y与a xb y，a xb与a xb互为有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a bab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式 2二次根式2a的意义 2aa,0,0.aaa a 例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)a b a；（3）64(0)x y x 解：（1）122 3bb；（2）2(0)a baba b a；（3）633422(0)x yxyxy x 例 2 计算：3(33)解法一：3(33)333 3(33)(33)(33)3 3393 3(31)6 312 解法二：3(33)333 33(3 1)13131(31)(31)312 例 3 试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和2 26.解：（1）1211(1211)(1211)11211112111211，1110(1110)(1110)11110111101110，又12111110，12111110 （2）2 26(2 26)(2 26)22 26,12 262 26+又 422，64622，2642 26.例 4 化简：20042005(32)(32)解：20042005(32)(32)20042004(32)(32)(32)2004(32)(32)(32)20041(32)32 例 5 化简：（1）94 5；（2）2212(01)xxx 解：（1）原式54 5422(5)2 252 2(25)2552（2）原式=21()xx1xx，01x，11xx，所以，原式1xx 例 6 已知3232,3232xy，求22353xxyy的值 解：223232(32)(32)103232xy，323213232xy，22223533()113 1011289xxyyxyxy 练 习 1填空：（1）1313_ _；（2）若2(5)(3)(3)5x xxx，则x的取值 X 围是_ _ _；（3）4 246 543 962 150_ _；（4）若52x，则11111111xxxxxxxx _ _ 2选择题：等式22xxxx成立的条件是 （）（A）2x （B）0 x （C）2x （D）02x 3若22111aaba，求ab的值 4比较大小：2354（填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意义 形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式当M0 时，分式AB具有下列性质：AA MBBM；AAMBBM 上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式 像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式 例 1 若54(2)2xABx xxx，求常数,A B的值 解：(2)()2542(2)(2)(2)ABA xBxAB xAxxxx xx xx x，5,24,ABA 解得 2,3AB 例 2（1）试证：111(1)1n nnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111 22 39 10；（3）证明：对任意大于1 的正整数n，有11112 33 4(1)2n n（1）证明：11(1)11(1)(1)nnnnn nn n，111(1)1n nnn（其中n是正整数）成立（2）解：由（1）可知 1111 22 39 1011111(1)()()2239101110 910（3）证明：1112 33 4(1)n n111111()()()23341nn1121n，又n2，且n是正整数，1n1 一定为正数，1112 33 4(1)n n12 例 3 设cea，且e1，2c25ac2a20，求e的值 解：在 2c25ac2a20 两边同除以a2，得 2e25e20，(2e1)(e2)0，e12 1，舍去；或e2 e2 练 习 1填空题：对任意的正整数n，1(2)n n(112nn)；2选择题：若223xyxy，则xy （）（A）（B）54 （C）45 （D）65 3正数,x y满足222xyxy，求xyxy的值 4计算1111.1 22 33 499 100 习题 11 A 组 1解不等式：(1)13x；(2)327xx；(3)116xx 已知1xy，求333xyxy的值 3填空：（1）1819(23)(23)_；（2）若22(1)(1)2aa，则a的取值 X 围是_；（3）111111223344556_ B 组 1填空：（1）12a，13b，则2223352aabaabb_ _；（2）若2220 xxyy，则22223xxyyxy_；2已知：11,23xy，求yyxyxy的值 C 组 1选择题：（1）若2ababba ，则 （）（A）ab （B）ab （C）0ab （D）0ba（2）计算1aa等于 （）（A）a （B）a （C）a （D）a 2解方程22112()3()10 xxxx 3计算：11111 32 43 59 11 4试证：对任意的正整数n，有1111 2 32 3 4(1)(2)n nn 14 1.2 因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy 解：（1）如图 111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个x用 1 来表示（如图 112 所示）（2）由图 113，得 x24x12(x2)(x6)1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114（3）由图 114，得 22()xab xyaby()()xayxby（4）1xyxy xy(xy)1(x1)(y+1)（如图 115 所示）课堂练习 一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx_。（2）652xx_。（3）652xx_。（4）652xx_。（5）axax12_。（6）18112xx_。（7）2762xx_。（8）91242mm_。（9）2675xx_。（10）22612yxyx_。2、3 42xxxx 3、若422xxbaxx则 a，b。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672 xx（2）342 xx（3）862 xx（4）1072 xx （5）44152xx中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338baba得（）A、3 11aa B、baba3 11 C、baba3 11 D、baba3 11 3、2082baba分解因式得（）A、2 10babaB、4 5baba C、10 2babaD、5 4baba 4、若多项式axx32可分解为bxx5，则a、b的值是（）A、10a，2b B、10a，2b C、10a，2b D、10a，2b 5、若bxaxmxx 102其中a、b为整数，则m的值为（）A、3或9 B、3 C、9 D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、3211262pqqp 2、22365abbaa 1 1 x y 图 115 3、6422yy 4、8224 bb 2提取公因式法 例 2 分解因式：（1）baba552 （2）32933xxx 解：（1）baba552=)1)(5(aba（2）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx =2(3)(3)xx 或 32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x 22(1)2(1)(1)22 xxx 2(3)(3)xx 课堂练习：一、填空题：1、多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是_。2、yxxynyxm_。3、222yxxynyxm_。4、zyxxzynzyxm_。5、zyxzyxzyxm_。6、523623913xbaxab分解因式得_。7计算99992=二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、baababba24222（）2、bammbmam（）3、5231563223xxxxxx（）4、111xxxxnnn（）3：公式法 例 3 分解因式：（1）164a （2）2223yxyx 解：(1)164a=)2)(2)(4()4)(4()(4222222aaaaaa (2)2223yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx 课堂练习 一、222baba，22ba，33ba 的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、1.032 1.0321.03201.094222xxxx（）2、babababa43 4343892222 （）3、bababa45 4516252 （）4、yxyxyxyx 2222（）5、cbacbacba 22（）五、把下列各式分解 1、229nmnm 2、3132x 3、22244xx 4、1224 xx 4分组分解法 例 4 （1）xyxyx332 （2）222456xxyyxy （2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy =22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy =(2)()(45)6xy xyxy =(22)(3)xyxy 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx222222（2）91264422bababa 5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于x的方程20(0)axbx ca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx.例 5 把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy 解：（1）令221xx=0，则解得112x ，212x ，221xx=(12)(12)xx =(12)(12)xx （2）令2244xxyy=0，则解得1(22 2)xy ，1(22 2)xy ，2244xxyy=2(12)2(12)xyxy 练 习 1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为 （）（A）25xy （B）3xy （C）3xy （D）5xy 2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4）4(1)(2)xyy yx 习题 12 1分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy 2在实数 X 围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（4）222(2)7(2)12xxxx 3ABC三边a，b，c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状 4分解因式：x2x(a2a)5.（尝试题）已知 abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求1-cab1+1-abc1+1-bca1的值.2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）0322 xx(2)0122 xx(3)0322 xx 我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 2224()24bbacxaa 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2242bbaca；（2）当b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x22ba；（3）当b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根 由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示 综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1）当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x22ba；（3）当 0 时，方程没有实数根 例 1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2ax(a1)0；（4）x22xa0 解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根 2142aax，2242aax（3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)，所以 当 0，即 4(1a)0，即a1 时，方程有两个不相等的实数根 111xa，211xa；当 0，即a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21；当 0，即a1 时，方程没有实数根 说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 2142bbacxa，2242bbacxa，则有 2212442222bbacbbacbbxxaaaa ；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccx xaaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2ba，x1x2ca这一关系也被称为韦达定理 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2(x1x2)xx1x20 例 2 已知方程2560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及k的值 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值 解法一：2 是方程的一个根，522k260，k7 所以，方程就为 5x27x60，解得x12，x235 所以，方程的另一个根为35，k的值为7 解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x165，x135 由 （35）25k，得 k7 所以，方程的另一个根为35，k的值为7 例 3 已知关于x的方程x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求m的值 分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170，解得 m1，或m17 当m1 时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17 时，方程为x230 x2930，302412930，不合题意，舍去 综上，m17 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的 X 围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根 例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数 分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数 也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分别是x，y，则 xy4，xy12 由，得 y4x，代入，得 x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 112,6,xy 或226,2.xy 因此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120 的两个根 解这个方程，得x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷 例 5 若x1和x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 （1）求|x1x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13x23 解：x1和x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根，1252xx，1232x x （1）|x1x2|2x12+x222 x1x2(x1x2)24 x1x2253()4()22 2546494，|x1x2|72 （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x （3）x13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)(x1x2)23x1x2 (52)(52)23(32)2158 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则 2142bbacxa，2242bbacxa，|x1x2|2224424222bbacbbacbacaaa 24|bacaa 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则|x1x2|a（其中 b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 例 6 若关于x的一元二次方程x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，XX 数a的取值 X 围 解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40，且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 a174 a的取值 X 围是a4 练 习 1选择题：（1）方程222 330 xkxk的根的情况是 （）（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2(2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值X围是 （）（A）m14 （B）m14 （C）m14，且m0 （D）m14，且m0 2填空:（1）若方程x23x10 的两根分别是x1和x2，则1211xx（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是（3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知2816|1|0aab，当k取何值时，方程kx2axb0 有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10 的两根为x1和x2，求(x13)(x23)的值 习题 2.1 A 组 1选择题:（1）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为73；方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是 （）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0 的一个根是 0，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1 2填空:（1）方程kx24x10 的两根之和为2，则k（2）方程 2x2x40 的两根为，则 22（3）已知关于x的方程x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是（4）方程 2x22x10 的两根为x1和x2，则|x1x2|3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1)x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10 各根的相反数 B 组 1选择题:若关于x的方程x2(k21)xk10 的两根互为相反数，则k的值为()（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）0 2填空:（1）若m，n是方程x22005x10 的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于（2）如果a，b是方程x2x10 的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果 2(x1x2)x1x2，XX 数k的取值 X 围 4一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）|x1x2|和122xx；（2）x13x23 5关于x的方程x24xm0 的两根为x1，x2满足|x1x2|2，XX 数m的值 C 组 1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （）（A）3 （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程 2x24x10 的两个根，则1221xxxx的值为 （）（A）6 （B）4 （C）3 （D）32（3）如果关于x的方程x22(1m)xm20 有两实数根，则 的取值X围为 （）（A）12 （B）12 （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是 ABC的三边长，那么方程cx2(ab)x4c0 的根的情况是()（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2填空：若方程x28xm0 的两根为x1，x2，且 3x12x218，则m 3 已知x1，x2是关于x的一元二次方程 4kx24kxk10 的两个实数根 （1）是否存在实数k，使(2x1x2)(x12 x2)32成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221xxxx2 的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，12xx，试求的值 4已知关于x的方程22(2)04mxmx（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x2 5若关于x的方程x2xa0 的一个大于 1、零一根小于 1，XX 数a的取值 X 围 22 二次函数 2.2.1 二次函数yax2bxc的图象和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）2xy (2)2xy(3)322xxy 问题 1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，y12x2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系 先画出函数yx2，y2x2的图象 先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了 再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图 21 所示），从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y12x2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小 问题 2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象（如图 22 所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象 这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点 类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21 的图象，研究它们图象之间的相互关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2bxa)ca(x2bxa224ba)c24ba 224()24bbaca xaa，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0 时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x2ba；当x2ba时，y随着x的增大而减小；当x2ba时，y随着x的增大而增大；当x2ba时，函数取最小值y244acba （2）当a0 时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x2ba；当x2ba时，y随着x的增大而增大；当x2ba时，y随着x的增大而减小；当x2ba时，函数取最大值y244acba 上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题 图 2.2-2 x y O 1 y2x2 y2(x1)2 y2(x1)21 yx2 y2x2 图 2.2-1 x O y x y O x2ba A24(,)bacb x y O bA24(,)24bacbaa 例 1 求二次函数y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象 解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1 时，函数y取最大值y4；当x1 时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B2 33(,0)3和C2 33(,0)3，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确 函数yax2bxc图象作图要领：（1）确定开口方向：由二次项系数 a 决定（2）确定对称轴：对称轴方程为abx2（3）确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可由方程x2bxc=0求出若=0 则与 x 轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0 则与 x 轴有无交点。x O y x1 A(1,4)D(0,1)B C 图 2.25（4）确定图象与y轴的交点情况,令x=0 得出y=c，所以交点坐标为（0，c）（5）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图 （1）62xxy(2)122xxy(3)12xy 例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x/元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值 解：由于y是x的一次函数，于是，设ykx（B）将x130，y70；x150，y50 代入方程，有 70130,50150,kbkb 解得 k1，b200yx200 设每天的利润为z（元），则 z(x+200)(x120)x2320 x24000(x160)21600，当x160 时，z取最大值 1600 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元 例 3 把二次函数yx2bxc的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值 解法一：yx2bxc(x+2b)224bc，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到22(4)224bbyxc 的图像，也就是函数yx2的图像，所以，240,220,4bbc 解得b8，c14 解法二：把二次函数yx2bxc的图像向上平移 2 个单位，再向左平移4 个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移 2个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数yx2bxc的图像 由于把二次函数yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数y(x4)22 的图像，即为yx28x14 的图像，函数yx28x14 与函数yx2bxc表示同一个函数，b8，c14 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题 例 4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 分析：本例中函数自变量的 X 围是一个变化的 X 围，需要对a的取值进行讨论 解：（1）当a2 时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时x2；（2）当2a0 时，由图 226可知，当x2 时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当 0a2 时，由图 226可知，当x2 时，函数取最大值y4；当x0 时，函数取最小值y0；（4）当a2 时，