概率论与数理统计学1至7章课后答案15448.pdf
第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是00,标准差是00 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在0到00之间的概率.解:设每毫升血液中含白细胞数为,依题意得，7300)(XE,700)(XVar 由切比雪夫不等式,得)2100|7300(|)94005200(XPXP 982100700112222.5.2 设随机变量X服从参数为的泊松分布,使用切比雪夫不等式证明 102 PX.解:因为)(PX，所以)(XE。)(2XVar 故由切比雪夫不等式，得)|(|)20(XPXP111222 不等式得证.53 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量，期望是0千克,方差是0.1千克2.求100袋这种大米的总重量在99至1010千克之间的概率.解:设第袋大米的重量为,(i=1，2，,100）,则 100 袋大米的总重量为1001iiXX。因为 10)(iXE，1.0)(iXVar,所以 100010100)(XE,101.0100)(XVar 由中心极限定理知，101000X近似服从)1,0(N 故 )10|1000(|)1010990(XPXP 1)10(2)10|101000(|XP 998.01999.021)16.3(2.4 一加法器同时收到 20 个噪声电压,(1,2,20)iVi ，设它们是相互独立的随机变量，并且都服从区间0,10上的均匀分布。记201kkVV，求(105)P V 的近似值。解:()5,()100 12(1,2,20)kkE VD Vk,由定理 1,得 (105)P V 20 510520 5()(1012)20(1012)20VP )387.020)1210(100(VP )387.020)1210(100(1VP )387.0(1 348.0 即有 (105)P V 0.348 5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为.，为了使整个系统起作用,至少要有85个部件正常工作.求整个系统起作用的概率 解:设正常工作的部件数为 X，因为部件正常工作的概率为9.01.01p，所以 )9.0,100(BX，有909.0100)(XE，91.090)(XVar 由中心极限定理知,390X近似服从)1,0(N 故所求的概率为)35390(1)85(1)85(XPXPXP 9525.0)67.1()35()35(1 5.6 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金.这批债券共发放了0 张,每张债券 到期之日需付本息1000元.若持券人(一人一张)于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以9.9%的把握满足持券人的兑换？解：设领取本息的人数为 X,则)4.0,500(BX。有 2004.0500)(XE，1206.0200)(XVar 由中心极限定理知，120200X近似服从)1,0(N 又设要准备现金 x 元，则满足兑换的概率为)1202001000/()1000()1000(xxXPxXP 依题意，要满足 )1.3(999.0)1202001000/(x，即要 1.31202001000/x 解之得 80.2339581000)2001201.3(x 故应准备 234000 元的现金。第五章大数定律和中心极限定理定义、定理、公式小结及补充:切比雪夫不等式 设随机变量X有期望)(XE和方差2)(XD,则对于任给0，有22|XP.（1)大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量12,nXXX相互独立，均具有有限方差,且被同一常数所界:()iVar X(1,2,i）,则对于任意的正数，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP 特 殊 情 形:若12,nXXX具 有 相 同 的 数 学 期 望(),iE X1,2,i,则上式成为.11lim1niinXnP 伯努利大数定律 设是 n次独立试验中事件 A发生的次数,p 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数，有.1limpnPn 伯努利大数定律说明,当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即.0limpnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律 设12,nXXX是 相 互 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序列,(),iE X1,2,i,则对于任意的正数有.11lim1niinXnP（2）中心极限定理),(2nNX 列维林德伯格定理 设随机变量12,nXXX相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差:),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn1 的分布函数Fn（x)对任意的实数x，有 xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX为具有参数 n,p(0p1)的二项分布，则对于任意实数 x，有 xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22（)二项定理 若当),(,不变时knpNMN，则 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。（)泊松定理 若当0,npn时，则 ekppCkknkkn!)1().(n 其中=,1,2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。
