概率论与数理统计公式总结【已整理-可直接打印】34881.pdf
F(x)f(x)第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当 A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式P(A|B)P(AB)P(B)概率的乘法公式P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式：从原因计算结果nP(A)P(Bk)P(A|Bk)k 1Bayes 公式：从结果找原因P(Bk|A)P(Bi)P(A|Bi)nP(B)kP(A|Bk)k 1第二章二项分布（Bernoulli分布）XB(n,p),P(X k)Ckknp(1 p)n k，(k 0,1,.,n)泊松分布XP()P(X k)kk!e，(k 0,1,.)概率密度函数f(x)dx 1、怎样计算概率P(a X b)P(a X b)baf(x)dx均匀分布XU(a,b)f(x)1b a(a x b)指数分布XExp()f(x)1 x/e(x 0)分布函数#F(x)P(X x)P(X k)对离散型随机变量k x对连续型随机变量xF(x)P(X x)f(t)dt分布函数与密度函数的重要关系：F(x)P(X x)xf(t)dt0 F(x,y)1;二元随机变量及其边缘分布F(x,y)P X x,Y y分布规律的描述方法联合密度函数f(x,y)联合分布函数F(x,y)f(x,y)0f(x,y)dxdy 1联合密度与边缘密度fX(x)f(x,y)dyfY(y)f(x,y)dx、离散型随机变量的独立性P X i,Y j P X i P Y j连续型随机变量的独立性f(x,y)fX(x)fY(y)第三章$数学期望E(X)k Pkkx离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义E(X)x；f(x)dx方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数E(a)=a，其中a 为常数E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b 为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y 为任意随机变量#随机变量g(X)的数学期望E(g(X)g(xk)pkk常用公式Cov(X,Y)XYE(X)xD(X)D(Y)ipijE(X)xf(x,y)dxdyi j;E(XY)xiyjpiji jE(X Y)E(X)E(Y)E(XY)xyf(x,y)dxdy当X 与Y 独立时,E(XY)E(X)E(Y)方差定义式D(X)x E(X)2 f(x)dx￥常用计算式D(X)E(X2)E(X)2常用公式D(X Y)D(X)D(Y)2 E(X E(X)(Y E(Y)当 X、Y 相互独立时：D(X Y)D(X)D(Y)D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b 为常数当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数EX E(X)Y E(Y)E(XY)E(X)E(Y)Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)！协方差的性质Cov(X,X)E(X2)E(X)2D(X)Cov(aX,bY)abCov(X,Y)！Cov(X Y,Z)Cov(X,Z)Cov(Y,Z)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章）XN(,2)正态分布f(x)1(x)2222eE(X),D(X)2标准正态分布的概率计算(a)1 (a)标准正态分布的概率计算公式P(Z a)P(Z a)(a)P(Z a)P(Z a)1 (a)P(a Z b)(b)(a)P(a Z a)(a)(a)2 (a)1一般正态分布的概率计算XN(,2)ZXN(0,1)】一般正态分布的概率计算公式P(X a)P(X a)(a)P(X a)P(X a)1 (a)P(a X b)(b a)()-第五章卡方分布n若XN(0,1)，则X22i(n)i 1若YN(,2n),则1222Yi(n)￥i 1t 分布若XN(0,1),Y2(n),则XY/n t(n)若U2(nU/n11),V2(n2),则V/nF(n1,n2)2F 分布正态总体条件下样本均值的分布：2XN(,Xn)/nN(0,1)样本方差的分布：(n 1)S222(n 1)Xs/n t(n 1)两个正态总体的方差之比S2/S2122/2F(n1 1,n2 1)12第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数Lnf(xi;)Lnp(xi;)i 1i 1均值的区间估计 大样本结果2x z/nx 样本均值标准差(通常未知，可用样本标准差s 代替)n 样本容量(大样本要求n 50)z/2正态分布的分位点p zp(1p)/2np 样本比例n 样本容量(大样本要求 n 50)z/2正态分布的分位点小样本、正态总体、标 准差已知x z/2n小样本、正态总体、标准差未知 x ts/2(n 1)】n t/2(n 1)自由度为 n 1 的t 分布的分位点(n 1)S21)S2S2样本方差2,(n/212/22/2卡方分布的分位点正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知2x2121 x2 z/2n1n2两个正态总体方差比的置信区间S2S2S2/S21/212F/2(n1 1,n2 1),Fn/2(1 1,n2 1)第七章假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设H0 和备择假设 H1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验%单正态总体均值的检验大样本情形 Z 检验正态总体小样本、方差已知Z 检验正态总体小样本、方差未知 t检验单正态总体方差的检验正态总体、均值未知 卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式(1)H0:0H1:0双边检验(2)H0:0H1:0左边检验(3)H0:0H1:0右边检验单正态总体均值的 Z 检验%ZX0/n（大样本情形未知时用S 代替）拒绝域的代数表示双边检验Z Z/2左边检验Z Z右边检验ZZ比例特殊的均值的 Z 检验Zp p0p0 总体比例p0(1p0)/np 样本比例单正态总体均值的t检验t X0S/n单正态总体方差的卡方检验2(n 1)S220拒绝域双边检验22或2/221/2左边检验221/2右边检验22/2
