中考数学中的最值问题解法23810.pdf

word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题：例 1.如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为【】A21 B5 C14555 D52 例 2.在锐角三角形 ABC 中，BC=24，ABC=45，BD 平分ABC，M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。例 3.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9 cm，点 A、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 cm。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 练习题：1.如图，长方体的底面边长分别为 2cm和 4cm，高为 5cm.若一只蚂蚁从 P 点开 始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC 上一点，且 PC=23BC 一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是【】A、6(4)B、5cm C、3 5 D、7cm 3.如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、GP，则BPG 的周长的最小值是 _ 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例 1.（2012 山东莱芜 4 分）在ABC 中，ABAC5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 例 2.如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK的最小值为【】word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 A 1 B3 C 2 D31 例 3.已知梯形 ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA(n 为常数)，以 PE、PB 为边作平行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 例 4.如图，点 A 的坐标为（-1，0），点 B 在直线yx上运动，当线段 AB 最短 时，点 B 的坐标为【】A.（0，0）B.（21，21）C.（22，22）D.（22，22）例 5.如图，在ABC 中，C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、BC 边上运动（点 E不与点 A、C 重合），且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE 是等腰直角三角形；word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 四边形 CEDF 不可能为正方形；四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化；点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【】A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 例 6.如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分；第三步：如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 8.如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB=22，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 例 9.如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC CD上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 例 10.在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC1若ABA1的面积为 4，求CBC1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 11.如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且1=B=C（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：（2）若B=45，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合），求 CE 的最大值；若ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）练习题：1.如图，OP 平分MON，PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为【】A、1 B、2 C、3 D、4 2 如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M 是 BC 的中点（1）求证：MDC 是等边三角形；（2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成AEF试探究AEF 的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值 3.如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【】word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 A13 B5 C3 D2 4.如图，在四边形 ABCD 中，A=90，AD=4，连接 BD，BDCD，ADB=C若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 5.如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（1）求 AC、BC 的长；（2）设点 P 的运动时间为 x（秒），PBQ 的面积为 y（cm2），当PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 是否相似，请说明理由；（4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由 三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例 1.如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 cm word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 2.如图，四边形 ABCD 中，BAD120，BD90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM 的度数为【】A130 B120 C110 D100 例 3.点 A、均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示若 P 是 x 轴上使得PAPB的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点，则OP OQ 例 4.如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE+PB 的最小值为 例 5.如图，MN 为O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 ACMN 于点 C，过 B 作 BDMN 于点 D，P 为DC 上的任意一点，若 MN20，AC8，BD6，则 PAPB 的最小值是 。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 6.阅读材料：例：说明代数式 22x1(x3)4 的几何意义，并求它的最小值 解：222222x1(x3)4(x0)1(x3)2，如图，建立平面直角坐标系，点 P（x，0）是 x 轴上一点，则22(x0)1可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离，22(x3)2可以看成点 P 与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是 PAPB 的最小值 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA，因此，求 PAPB 的最小值，只需求 PAPB 的最小值，而点 A、B 间的直线段距离最短，所以 PAPB 的最小值为线段 AB 的长度为此，构造直角三角形ACB，因为 AC=3，CB=3，所以 AB=32，即原式的最小值为 32。根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(x1)1(x2)9 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1）、点B 的距离之和（填写点 B 的坐标）（2）代数式 22x49x12x37的最小值为 例 7.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。如图（1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道 l 看成一条直线（图（2），问题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的：作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使PDE 得周长最小（1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法）（2）请直接写出PDE 周长的最小值：练习题：1.如图，已知点 A(1，1)、B(3，2)，且 P 为 x 轴上一动点，则ABP 的周长的 最小值为 2.如图，在平面直角坐标系中，有 A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点 C(a，1)，当 a 时，ACBC 的值最小 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 3.去冬今春，济宁市遭遇了 200 年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村 A 和李村 B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥 O 为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为 A（2，3），B（12，7）。(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥 O 多远的地方可使所用输水管道最短？(2)水泵站建在距离大桥 O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？4.如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值【】A、2 B、4 C、2 2 D、4 2 5.如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的 任意一点，当AEF 的周长最小时，则 DF 的长为【】A1 B2 C3 D4 6.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，点 E、F 分别是边 AB、BC 的 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小值是【】A3 B4 C5 D6 7.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，BAD=90，AB=6，对角线 AC 平分BAD，点 E 在 AB 上，且 AE=2（AEAD），点 P 是 AC 上的动点，则 PE+PB 的最小值是 四、应用二次函数求最值：典型例题：例 1.正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC CD 上两个动点，且始终保持 AMMN，当 BM=cm时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为 cm2 例 2.如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是 例 3.在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3,P 是 BC 上的任意一点（P 与 B、C 不重合），过点 P 作 APPE，垂足为P，PE 交 CD 于点 E.(1)连接 AE，当APE 与ADE 全等时，求 BP 的长；(2)若设 BP 为 x，CE 为 y，试确定 y 与 x 的函数关系式。当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？(3)若 PEBD，试求出此时 BP 的长.word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CEAB 于 E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求 CE 的长；（2）当 6090时，是否存在正整数 k，使得EFD=kAEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 连接 CF，当 CE2CF2取最大值时，求 tanDCF 的值 例 5.等边ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1）。（1）求证：AM=AN；（2）设 BP=x。若，BM=38，求 x 的值；记四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值；连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2），当 x 取何值时，BAD=150？并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 6.如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上 的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为x 2x4.当5x=2 时，求弦 PA、PB 的长度；当 x 为何值时，PD PC的值最大？最大值是多少？lPDCBOA 例 7.如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 例 8.如图，正三角形 ABC 的边长为3+3（1）如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上在正三角形 ABC 及其内部，以 A为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 D、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 9.如图，在ABC 中，C=90，BC=5 米，AC=12 米M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动，速度为 1米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，AMN=ANM？（2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值 例 10.如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 AO（O 为坐标原点）方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为 t（0t103）秒解答如下问题：（1）当 t 为何值时，PQBO？（2）设AQP 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；若我们规定：点 P、Q 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量 PQ”的坐标当 S 取最大值时，求“向量 PQ”的坐标 。例 14.在 RtPOQ 中，OP=OQ=4,M 是 PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点 M 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ 的两直角边分别交于点 A、B，(1)求证：MA=MB word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载(2)连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。例 15.（2012 江苏南京 8 分）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在1O和扇形2O CD中，1O与2O C、2O D分别相切于 A、B，2CO D60，E、F 事直线12O O与1O、扇形2O CD的两个交点，EF=24cm，设1O的半径为 x cm，用含 x 的代数式表示扇形2O CD的半径；若1O和扇形2O CD两个区域的制作成本分别为 0.45 元2/cm和 0.06 元2/cm，当1O的半径为多少时，该玩具成本最小？O1O2ABFDEC 例 16.（2012 湖南娄底 10 分）如图，在ABC 中，AB=AC，B=30，BC=8，D 在边 BC 上，E 在线段 DC上，DE=4，DEF 是等边三角形，边 DF 交边 AB 于点 M，边 EF 交边 AC 于点 N（1）求证：BMDCNE；（2）当 BD 为何值时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切？（3）设 BD=x，五边形 ANEDM 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式（要求写出自变量 x 的取值范围）；当 x 为何值时，y 有最大值？并求 y 的最大值 练习题：word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 1.（2011 宁夏自治区 10 分）在等腰ABC 中，AB=AC=5，BC=6动点 M、N 分别在两腰 AB、AC 上（M 不与 A、B 重合，N 不与 A、C 重合），且 MNBC将AMN 沿 MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为 P（1）当 MN 为何值时，点 P 恰好落在 BC 上？（2）当 MN=x，MNP 与等腰ABC 重叠部分的面积为 y，试写出 y 与 x 的函数关系式当 x 为何值时，y的值最大，最大值是多少？2.（2011 福建龙岩 14 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，D=BCD=90，B=60，AB=6，AD=9，点 E是 CD 上的一个动点(E 不与 D 重合)，过点 E 作 EFAC，交 AD 于点 F(当 E 运动到 C 时，EF 与 AC 重合)把DEF 沿 EF 对折，点 D 的对应点是点 G，设 DE=x，GEF 与梯形 ABCD 重叠部分的面积为 y。(1)求 CD 的长及1 的度数；(2)若点 G 恰好在 BC 上，求此时 x 的值；(3)求 y 与 x 之间的函数关系式。并求 x 为何值时，y 的值最大?最大值是多少?3.（2011 浙江杭州 12 分）图形既关于点 O 中心对称，又关于直线 AC，BD 对称，AC=10，BD=6，已知点 E，M 是线段 AB 上的动点（不与端点重合），点 O 到 EF，MN 的距离分别为1h，2h，OEF 与OGH 组成的图形称为蝶形。（1）求蝶形面积 S 的最大值；（2）当以 EH 为直径的圆与以 MQ 为直径的圆重合时，求1h与2h满足的关系式，并求2h的取值范 围。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 4.（2011 江苏宿迁 12 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q 为边 CD 上一动点，设 DQt（0t2），线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点 M、N，过 Q 作 QEAB 于点 E，过 M 作MFBC 于点 F （1）当 t1 时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接 P、M、Q、N，设四边形 PMQN 的面积为 S，求 出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值 5.（2011 江苏淮安 12 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P 在 AB 上，AP2。点 E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止.在点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与ABC 在线段 AB 的同侧，设 E、F 运动的时间为t秒（t0），正 方形 EFGH 与ABC 重叠部分面积为 S.（1）当t1 时，正方形 EFGH 的边长是 ；当t3 时，正方形 EFGH 的边长是 ；（2）当 0t2 时，求 S 与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S 最大？最大面积是多少？6.（2011 内蒙古巴彦淖尔、赤峰 14 分）如图（图 1，图 2），四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在线段 BC 上，AEF=90，且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F，交 BC 的延长线于点 N，FNBC（1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1），AE 与 EF 相等吗？（2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2），设 BE=x，ECF 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式；当 x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 NFCDBAEP NFDCABEP 图 1 图 2 五、应用其它知识求最值：典型例题：例 1.（2011 山东滨州 3 分）如图在ABC 中，B90，A30，AC4cm，将ABC 绕顶点 C 顺时针方向旋转至ABC 的位置，且 A、C、B三点在同一条直线上，则点 A 所经过的最短路线的长为【】A、4 3cm B、8cm8cm C、163cm D、83cm 例 2.（2012 广西来宾 3 分）如图，已知线段 OA 交O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是O 上的一个动点，那么OAP 的最大值是【】A30 B45 C60 D90 例 3.（2011 贵州贵阳 3 分）如图，ABC 中，C=90，AC=3，B=30，点 P 是 BC 边上的动点，则AP 长不可能是【】A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7 例 4.（2012 河北省 12 分）如图 1 和 2，在ABC 中，AB=13，BC=14，cosABC=513 探究：如图 1，AHBC 于点 H，则 AH=，AC=，ABC 的面积 SABC=；word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 拓展：如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A，C 重合），分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABD=0）（1）用含 x，m，n 的代数式表示 SABD及 SCBD；（2）求（m+n）与 x 的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围 发现：请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值 例 5.（2011 河北省 10 分）如图 1 至图 4 中，两平行线 AB、CD 间的距离均为 6，点 M 为 AB 上一定点 思考 如图 1，圆心为 0 的半圆形纸片在 AB，CD 之间（包括 AB，CD），其直径 MN 在 AB 上，MN=8，点 P 为半圆上一点，设MOP=当=度时，点 P 到 CD 的距离最小，最小值为 探究一 在图 1 的基础上，以点 M 为旋转中心，在 AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图 2，得到最大旋转角BMO=度，此时点 N 到 CD 的距离是 探究二 将如图 1 中的扇形纸片 NOP 按下面对 的要求剪掉，使扇形纸片 MOP 绕点 M 在 AB，CD 之间顺时针旋转（1）如图 3，当=60时，求在旋转过程中，点 P 到 CD 的最小距离，并请指出旋转角BMO 的最大值；（2）如图 4，在扇形纸片 MOP 旋转过程中，要保证点 P 能落在直线 CD 上，请确定 的取值范围 （参考数椐：sin49=34，cos41=34，tan37=34）word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 6.（2011 四川成都 4 分）在三角形纸片 ABC 中，已知ABC=90，AB=6，BC=8过点 A 作直线 l 平行于 BC，折叠三角形纸片 ABC，使直角顶点 B 落在直线 l 上的 T 处，折痕为 MN当点 T 在直线 l 上移动时，折痕的端点 M、N 也随之移动若限定端点 M、N 分别在 AB、BC 边上移动，则线段 AT 长度的最大值与最小值之和为 （计算结果不取近似值）例 7.（2011 陕西省 12 分）如图，在矩形 ABCD 中，将矩形折叠，使 B 落在边 AD（含端点）上，落点记为 E，这时折痕与边 BC 或者边 CD（含端点）交于 F，然后展开铺平，则以 B、E、F 为顶点的三角形BEF称为矩形 ABCD 的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形 ABCD 的任意一个“折痕BEF”是一个 三角形（2）如图、在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，当它的“折痕BEF”的顶点 E 位于 AD 的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点 F 的坐标；（3）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点 E 的坐标？若不存在，为什么？图 图 图 图 例 8.（2011 浙江金华、丽水 3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为【】A、600m B、500m C、400m D、300m 例 9.（2011 湖北宜昌 10 分）如图 1，RtABC 两直角边的边长为 AC=1，BC=2（1）如图 2，O 与 RtABC 的边 AB 相切于点 X，与边 CB 相切于点 Y请你在图 2 中作出并标明O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个 RtABC 上和其内部的动点，以 P 为圆心的P 与 RtABC 的两条边相切设P 的面积为 S，你认为能否确定 S 的最大值？若能，请你求出 S 的最大值；若不能，请你说明不能确定 S 的最大值的理由 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 例 10.（2011 山东潍坊 3 分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是.同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30 45 45 60 A甲 B乙 C丙 D丁 例 11.（2011 安徽省 12 分）在ABC 中，ACB90，ABC30，将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为(0180)，得到A1B1C (1)如图 1，当 ABCB1时，设 A1B1与 BC 相交于点 D证明：A1CD 是等边三角形；(2)如图 2，连接 AA1、BB1，设ACA1和BCB1的面积分别为 S1、S2求证：S1S213；(3)如图 3，设 AC 的中点为 E，A1B1的中点为 P，ACa，连接 EP当 时，EP 的长 度最大，最大值为 例 12.（黑龙江大庆 3 分）已知O 的半径为 1，圆心 O 到直线 l 的距离为 2，过 l 上的点 A 作O 的切线，切点为 B，则线段 AB 的长度的最小值为【】word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 A1 B 2 C 3 D2 例 13.（四川资阳 9 分）在一次机器人测试中，要求机器人从 A 出发到达 B 处如图 1，已知点 A 在 O 的正西方 600cm 处，B 在 O 的正北方 300cm 处，且机器人在射线 AO 及其右侧(AO 下方)区域的速度为 20cm/秒，在射线 AO 的左侧(AO 上方)区域的速度为 10cm/秒(1)分别求机器人沿 AOB 路线和沿 AB 路线到达 B 处所用的时间(精确到秒)；(3 分)(2)若OCB=45，求机器人沿 ACB 路线到达 B 处所用的时间(精确到秒)；(3 分)(3)如图2,作OAD=30，再作BEAD于E,交OA于P 试说明：从A出发到达B处，机器人沿APB路线行进所用时间最短(3 分)(参考数据：21.414，31.732，52.236，62.449)例 14.（2011 江西南昌 7 分）如图，已知O 的半径为 2，弦 BC 的长为 23，点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一点（B，C 两点除外）（1）求BAC 的度数；（2）求ABC 面积的最大值（参考数据：3sin602，3cos302，3tan303.）