数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学45546.pdf
数列专题 一、等差数列的有关概念：1、等差数列的定义：定义法 。2、等差数列的通项：或 如(1)等差数列na中，1030a，2050a，则通项na （2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_ 3、等差数列的前n和：Sn =如（1）数列 na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS ，则1a，n 4、等差中项：若,a A b成等差数列，则 A 叫做a与b的 ，且A=。5、等差数列的性质：（1）若公差0d，则为 (递增或递减)等差数列，若公差0d，则为 递增或递减)等差数列，若公差0d，则为常数列。（2）当mnpq时,则有 ，特别地，当2mnp时，则有 .如（1）等差数列na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n_ (3)若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p是非零常数)、*(,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS，也成 如等差数列的前n项和为 25，前 2n项和为 100，则它的前 3n和为 。（4）在等差数列na中，当项数为偶数2n时，S偶-S奇=；项数为奇数21n时，S偶-S奇=如（1）在等差数列中，S1122，则6a_；（2）项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数 二、等比数列的有关概念：1、等比数列定义：如（1）一个等比数列na共有21n项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则1na为_；（2）数列na中，nS=41na+1(2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列nb是等比数列。2、等比数列的通项：或 。如等比数列na中，166naa，21128na a，前n项和nS126，求n和q.3、等比数列的前n和：当1q 时，1nSna；当1q 时，Sn=。如（1）等比数列中，q2，S99=77，求9963aaa 4、等比中项：若,a A b成等比数列，那么 A 叫做a与b的等比中项。即 A=5.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有_ ，特别地，当2mnp时，则有_ .如（1）在等比数列na中，3847124,512aaa a，公比 q 是整数，则10a=_（2）各项均为正数的等比数列na中，若569aa，则3132310logloglogaaa （3）在等比数列na中，nS为其前 n 项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为_ 三、数列通项公式的求法 1、累加法 例 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。2、累乘法 例 已知数列na满足0)1(,112211nnnnaanaana，求数列na的通项公式。3、取倒数法 例：已知数列na中，其中,11a，且当 n2 时，1211nnnaaa，求通项公式na。4、构造法 例 ：已知数列 na中，32,111nnaaa，求数列 na的通项公式.四、数列求和的基本方法和技巧 例：在数列na中，11111,(1)2nnnnaaan（I）设nnabn，求数列 nb的通项公式（II）求数列na的前n项和nS 例求和：132)12(7531 nnxnxxxS 例 求数列的前 n 项和：231,71,41,1112 naaan，例 在数列an中，11211 nnnnan，又12nnnaab，求数列bn的前n 项的和.例 数列an：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求 S2002.例 1：在等比数列 na中，253,81aa。（1）求na；（2）设3lognnba，求数列 nb的前n项和nS。例 2：已知等差数列na,nS为其前 n 项的和,5a=6,6S=18,nN*。(I)求数列na通项公式(II)若nb=3na,求数列nb的前 n 项的和nS。例 3：已知 na是等差数列，满足13a，412a，数列 nb满足14b，420b，且nnba是等比数列（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）求数列 nb的前n项和。例 4：已知点 Pn(an,bn)都在直线l:y2x2 上,P1为直线l与 x 轴的交点,数列an成等差数列,公差为 1(nN*),分别求数列an,bn的通项公式。例 5：数列na满足111,(1)(1),nnananan nnN（1）证明：数列nan是等差数列；（2）设3nnnba，求数列 nb的前n项和nS。例 6：已知等差数列na，公差0d，前 n 项和为nS，63S,且满足82132aaaa，成等比数列（1）求na的通项公式；（2）设21nnnaab，求数列 nb的前n项和nT的值。例 7：已知数列 na的前n项和122nnnaS。（1）证明：数列nna2是等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）若不等式nann)5(322对任意*Nn恒成立，求实数的取值范围。例 8：已知113x，21nnnxxxa。（nN，a为常数）（1）若14a，求证：数列1lg()2nx是等比数列；（2）在（1）条件下，求证：51(),()62nnxnN。练习：1、若等差数列 na的前n项和为nS，且487s，7214s，则21s 。2、若等差数列 na的前n项和为nS，且343s，14612nnnaaa，390ns，则数列 na共有 项。3、设nS为等差数列 na的前n项和，若9535aa，则59ss 。4、等比数列 na的各项均为正数，且154a a，则2122232425logloglogloglogaaaaa 。5、根据下列条件，求数列 na的通项公式（1）已知数列 na的前n项和nnSn322，求na。（2）已知数列 na中11a，12nnaa，求na。（3）已知数列 na中11a，1213nnnaa，求na。（4）已知数列 na中11a，1nnnaa，求na。（5）已知数列 na中11a，nnnaa221，求na。6、数列an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2，（1）设 bn=an+1-an，证明bn是等差数列；（2）求数列an的通项公式。7、已知数列 na的前n项和NnnnSn，232，（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：对任意1n，都有 Nm，使得mnaaa，1成等比数列。
