八年级数学下册1.4角平分线的性质角平分线典型案例精析素材湘教版(2021-2022学年)9018.pdf
角平分线典型案例精析 题 已知：如图DB 于 D,EAC 于,且、E 相交于 O 点。求证:()当12 时，OOC;（2)当OC 时,1=2 直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形 【精析】要证B=OC，只须证 RCEO 与 RBO 全等,由对顶角相等与1=的条件，即可得证，反之成立。此例是证明互逆命题。【证明】(1）1=2,OEA,ODAB O=O(角平分线上的点到角两边距离相等）OB=OC.在OEC 与DB 中 OECODB(）。(）OEA,ODAB，OECDB（AAS).OEC=OD，OE=D.在EC 与ODB 中 。【点评】利用角平分性质定理或判定定理时,一定要注意垂直的条件.题 2 已知：如图1=2，BCA于，AD 于,连结 CD 交于 E 求证：AB 垂直平分 C.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形 【精析】要证的结论“垂直平分”，实际是（1）ABCD，（2)C=E,把角相等和垂直 两个条件写出后,再使用角平分线性质定理,得 BC=BD，利用BE 与DBE 全等得证 【证明】1,BCA,AD BCBD(角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等)1=+4=90,=4(等角的余角相等）。在BE 与DBE 中 CBEDBE(SAS)。EE,CEB=DB，,E,三点在同一直线上,EFABDC312 AD 于 E,AB 垂直平分D。【点评】用了角平分线性质定理,可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程.题 已知:如图 AD 为AB的角平分线,DE于 E，A于，EF 交 AD 于，求证：MF=E.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形 【精析】要证 M=M,只要证所在的三角形全等，由D 是角 平分线条件,可得 DE=DF,3=4,则这两个结论恰巧 为全等创造了极好的条件。【证明】AD 为AC 的角平分线，在 RtAF与tAD 中 DEAC,FB,+32+490.E=D,3=4.1=2。在FDM 与EDM 中 FDM。F=ME 【点评】在已知条件中,有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线,构造全等三角形。题 4 已知:如图，在ABC 中，AD 平分BA,BED交A 延长线于 E,是 B的中点。求证:AFBE 直击考查要点：角的平分线的性质与平行线的性质 ABCME1 2435 【精析】要证 AFBE,由于已知是 B中点,于是只要证E=B，由已知 AD 平分BAC，ED交 C 延长线于 E，即可得到 AE=AB.【证明】因为 AD 平分B 所以=2，因为 BA,所以31，E=,所以E，所以=AB 因为是E 中点,所以 AF 是ABE 的中线,所以 AFE。题 5 已知:如图，在C 中,AC=3C,12,BEAE.求证：AC=2BE.直击考查要点:角的平分线的性质与等腰三角形 【精析】因已知“1，EE”即已知中有“角平分线配垂直”的条件，于是想到图形中隐含着一个等腰三角形.为此延长垂线段E 交C 于.立即得到=AM,BEEM，BMB等结论,要证 A-B2E 的问题转化为只要证 BMM.【证明】延长 B交C 于 M，因为 BE,所以EBAE=90,在B中,因为3EB=180，所以3=90,同理,-2，因为1,所以3,所以B=AM。因为 BEA,所以M=BE,所以 ACAB=AC-ACM 因为4 是CM 的外角,所以4=5C，因为A3,所以AC3+54+5,所以 3C=55，所以C,所以 CMBM.所以 AC-BBM=2BE.【点评】分类讨论思想及方程思想在等腰三角形中应用非常广泛。题 已知：如图ABC 中A2、CD 平分ACB。求证：BC=C+D 直击考查要点:角的平分线的性质与全等三角形 【精析】等量关系通常在三角形中寻找,因此经常需要构造三角形。对于线段和或差的问题通常通过截长或补短转化为线段间的等量关系.【证明】方法:（截长法）在C 上截取 CE=连结 DE.CD 平分ACB，=2,在ACD 和ECD 中，.，ADDE，,。BE=DE,AD=B，B=E+EC,BCAC+AD，方法 2:延长A 到 E,使E=D 连结 DE，由条件推出CECB,D(SAS),=CB,E=B,32，=2E，4=AEAD，EC=AC+，B=AAD.【点评】对于线段之间倍半关系，常采用“截长补短等辅助线的添加方法，或构造“倍”，或构造“半”，从而转化为线段间的等量关系。题 7 如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等,并且与两路交叉处的距离为0 米，在图上标出学校的位置,并说明理由(比例尺 1:100)。直击考查要点：角的平分线的性质 【精析】解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题,然后用数学知识解决。【解】把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交角的平分线，在角的平分线上,从顶点量出表示实际 400 米长的线段便可确定学校的位置.表示实际0米长的线段为:。04 米=4c。题 8 已知C 是四边形 ABC的一条对角线,并且 AC 平分A,若B 与D 互补,求证:CD=CB 直击考查要点:角的平分线的性质及全等三角形 【精析】在四边形中证明两条线段相等有困难，应考虑转化为三角形来完成,注意到四边形的对角线把四边形对割成两个三角形,可以构造全等三角形,由于B,有 ABAD，在 AB 上载取 AE=A，可证 【证明】(1)若DB，则有 AB，在 AB 上截取 AED，连结E A平分DA，=2,A=AE，AC=AC,AAE。=C,D=EC。CEA 与B 互补,D 与互补,C，CEB，CCB.（2）若D=,又1=2,C=C，ADCB.CD=C。(3)若DB 则有DAB 在D 上截取 AEA，连结 CE，同理可证 DC=CB.
