中考数学压轴题解题技巧23248.pdf

关于中考数学压轴题的思考 2013、5、18 思考一：中考数学压轴题如何攻克 对中考数学卷，压轴题是考生最怕的，以为它一定很难，不敢碰它。其实，对历年中考的压轴题作一番分析，就会发现，其实也不是很难。这样，就能减轻做“压轴题”的心理压力，从中找到应对的办法。压轴题难度有约定：历年中考，压轴题一般都由 3 个小题组成。第（1）题容易上手，得分率在 0.8 以上；第（2）题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在 0.6 与 0.7 之间，第（3）题较难，能力要求较高，但得分率也大多在 0.3 与 0.4 之间。近十年来，最后小题的得分率在 0.3以下的情况，只是偶尔发生，但一旦发生，就会引起各方关注。控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识，“起点低，坡度缓，尾巴略翘”已成为各地区数学试卷设计的一大特色，以往茂名卷的压轴题大多不偏不怪，得分率稳定在 0.5 与 0.6 之间，即考生的平均得分在 7 分或 8 分。由此可见，压轴题也并不可怕。压轴题一般都是代数与几何的综合题，很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式，就是根据已知的几何条件列出代数方程而得解的，这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。动态几何问题中有一种新题型，如北京市去年的压轴题，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类动态几何问题中，锐角三角比作为几何计算的一种工具，它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之，压轴题有多种综合的方式，不要老是盯着某种方式，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。分析结构理清关系：解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要。如果（1）、（2）、（3）三个小题是平列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，（1）的结论与（2）的解题无关，（2）的结论与（3）的解题无关，整个大题由这三个小题“拼装”而成。如果（1）、（2）两个小题是“递进关系”，（1）的结论由大题的已知条件证得，除已知外，（1）的结论又是解（2）所必要的条件之一。思考二：中考数学压轴题解题技巧之【分类讨论题】word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现，是满分率比较低的一种题，这一类题的特点就是小题较多，且容易失分，常常会被同学们忽略，经常忘记分类讨论，而大题却经常是讨论不全，讨论全了结果还不一定对。而且，这类题往往陷阱比较多，一个不注意就会掉进出题陷阱中。因此我们在考试当中一定要养成以下几个好习惯。以下几点是需要大家注意分类讨论的 1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。2、讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。4、代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍。5、考查点的取值情况或范围。这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。7、由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后（比如从一条线段移动到另一条线段）时，所写的函数应该进行分段讨论。值得注意的是：在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的。最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。思考三：破解中考数学压轴题四个秘诀 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似。压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。切入点二：构造定理所需的图形或基本图形（即作辅助线）。在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论。在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。切入点四：在题目中寻找多解的信息（分类思考）。图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。思考四：压轴题的做题技巧 1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。例解压轴题解题：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点.word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E.过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?连接 EQ在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的 t 值.解：(1)点 A 的坐标为（4，8）将 A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b a=-12,b=4 抛物线的解析式为：y=-12x2+4x 3 分（2）在 RtAPE 和 RtABC 中，tanPAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48 PE=12AP=12tPB=8-t 点的坐标为（4+12t，8-t）.点 G 的纵坐标为：-12（4+12t）2+4(4+12t）=-18t2+8.5 分 EG=-18t2+8-(8-t)=-18t2+t.-180，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2.7 分 共有三个时刻.8 分 t1=163，t2=4013，t3=8 525 11 分 压轴题解题技巧练习 一、对称翻折平移旋转 1（2010 年南宁）如图 12，把抛物线2yx（虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 A B E C y 度，得到抛物线1l，抛物线2l与抛物线1l关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线1l、2l与x轴的交点，D、C分别是抛物线1l、2l的顶点，线段CD交y轴于点E.（1）分别写出抛物线1l与2l的解析式；（2）设P是抛物线1l上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.（3）在抛物线1l上是否存在点M，使得ABMAOEDSS四边形，如果存在，求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由.2（福建 2009 年宁德市）如图，已知抛物线 C1：522xay的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线记为 C3，C3的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3的解析式；（4 分）（3）如图（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1绕点 Q 旋转 180后得到抛物线 C4抛物线 C4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标（5 分）二、动态：动点、动线 3(2010 年辽宁省锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x22x80 的两个根(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的动点，过点P作 PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE 的面积最大时，求点P的坐标；ACDEBO2l1l12yxy x A O B P M 图C1 C2 C3 2（1）y x A O B P N 图C1 C4 Q E F 2（2）word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标；若不存在，请说明理由 4（2008 年山东省青岛市）已知：如图，在 RtACB 中，C90，AC4cm，BC3cm，点 P 由 B 出发沿BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQBC？（2）设AQP 的面积为 y（2cm），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接 PC，并把PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻 t，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 5（09 年吉林省）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，B60从初始时刻开始，点 P、Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 ACB 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 ABCD 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 运动的时间为 x 秒时，APQ 与ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 0 的三角形），解答下列问题：（1）点 P、Q 从出发到相遇所用时间是_秒；（2）点 P、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ 是等边三角形时 x 的值是_秒；（3）求 y 与 x 之间的函数关系式 6(2009 年浙江省嘉兴市)如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设xAB （1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积？三、圆 7（2010 青海）如图 10，已知点 A（3，0），以 A 为圆心作A 与 Y 轴切于原点，与 x 轴的另一个交点为 B，过 B 作A 的切线 l.（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D 作A 的切线 DE，E 为切点，求此切线长；P图A Q C P B 图A Q C P B C A B N M（第 24 题）D B A Q C P word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 C x x y y A O B E D A C B C D G 图 1 图 2（3）点 F 是切线 DE 上的一个动点，当BFD 与 EAD相似时，求出 BF 的长 8(2009 年中考天水)如图 1，在平面直角坐标系xOy，二次函数yax2bxc(a0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OBOC，tanACO 1 3 (1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图 2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，AGP的面积最大？求此时点P的坐标和AGP的最大面积 9（09 年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知 A(4，0)，B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C，过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D（1）求点 C 的坐标和过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E，F 两点，问：是否存在以线段 EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由 xOy中，10（2009 年潍坊市）如图，在平面直角坐标系半径为 1 的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于ABCD、四点 抛物线2yaxbxc与y轴交于点D，与直线yx交于点MN、，且MANC、分别与圆O相切于点A和点C O x y N C D E F B M A y x O C D B A 1 4 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由 四、比例比值取值范围 11（2010 年怀化）图 9 是二次函数kmxy2)(的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).（1）求出图象与x轴的交点 A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使MABPABSS45,若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(bbxy与此图象有两个公共点时，b的取值范围.12(湖南省长沙市 2010 年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，8 2OA cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比 图 9 图 1 B A P x C Q O y 第 26 题图 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 13（成都市 2010 年）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yaxbxc与x轴交于AB、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(30)，若将经过AC、两点的直线ykxb沿y轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x （1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如 果P是 线 段AC上 一 点，设ABP、BPC的 面 积 分 别 为ABPS、BPCS，且:2:3ABPBPCSS，求点P的坐标；（3）设Q的半径为 l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，Q与两坐轴同时相切？五、探究型 14（内江市 2010）如图，抛物线2230ymxmxm m与x轴交于AB、两点，与y轴交于C点.（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），AB、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM与ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.15（重庆市潼南县 2010 年）如图,已知抛物线cbxxy221与y轴相交于 C，与x轴相交于 A、B，点A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；ABCEDx yo题图26word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由.16（2008 年福建龙岩）如图，抛物线254yaxax经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由 17（09 年广 西 钦 州）26（本题满分 10 分）如图，已知抛物线 y34x2bxc 与坐标轴交于 A、B、C 三点，A 点的坐标为（1，0），过点 C 的直线 y34tx3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PHOB 于点 H若 PB5t，且 0t1（1）填空：点 C 的坐标是_，b_，c_；（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）；（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由 18（09 年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA2，OC3过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点G如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为56，那么 EF2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点C、G 构成的PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 ABxyOQHPCA C B y x 0 1 1 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 19（09 年湖南省长沙市）如图，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴交于 A(3，0)、B 两点，与 y 轴相交于点 C(0，3)当 x4 和 x2 时，二次函数 yax 2bxc(a0)的函数值 y 相等，连结 AC、BC（1）求实数 a，b，c 的值；（2）若点 M、N 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 t 秒时，连结 MN，将BMN 沿 MN 翻折，B 点恰好落在 AC 边上的 P 处，求 t 的值及点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得以 B，N，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 20（08 江苏徐州）如图 1，一副直角三角板满足 ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边 DE与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q【探究一】在旋转过程中，（1）如图 2，当CE1EA时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明.（2）如图 3，当CE2EA时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由.（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEAm时，EP 与 EQ 满足的数量关系式 为_,其中m的取值范围是_(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC30cm，连续 PQ，设EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2）随着 S 取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化？不出相应 S 值的取值范围.FC(E)BA(D)QPDEFCBAQPDEFCBAA D B C E O x y y O x C N B P M A word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 六、最值类 22(2010 年恩施)如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与 y 轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四 边形POP/C，那么是否存在点P，使四边形POP/C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在 请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.