函数的单调性例题11478.pdf
-.z.1.3.1 函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例 1.作出以下函数的图象，并写出函数的单调区间（1）12 xy;2322xxy;（3）2)2(1xxy;4969622xxxxy 相应作业 1：课本 P32 第 3 题.题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 取值，即_；作差变形,作差_,变形手段有_、_、_、_等；定号，即_;下结论，即_。例 2.用定义法证明以下函数的单调性（1）证明：1)(3xxf在,上是减函数.定义法证明单调性的等价形式：设baxx,21、，21xx,则)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在ba,上是增函数；)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在ba,上是减函数.(2)证明：xxxf1)(2在其定义域是减函数；（3）证明：21)(xxf在0,上是增函数；法一：作差 法二：作商（4）函数)(xfy 在,0上为增函数，且)0(0)(xxf，试判断)(1)(xfxF在,0上的单调性，并给出证明过程；方法技巧归纳判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册 P272P31上 5、1-.z.2、图象法；3、定义法；4、运算性质法：当0a时，函数)(xaf与)(xf有一样的单调性；当0a时，函数)(xaf与)(xf有相反的单调性；当函数)(xf恒不等于零时，)(xf与)(1xf单调性相反；假设0)(xf，则)(xf与)(xf具有一样的单调性；假设)(xf、)(xg的单调性一样，则)()(xgxf的单调性与之不变；即：增+增=增 减+减=减 假设)(xf、)(xg的单调性相反，则)()(xgxf的单调性与)(xf同.即：增-减=增 减-增=增 注意：1 可熟记一些根本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为根本函数的组合形式，再利用上述结论判断；2)()(xgxf与)()(xgxf的单调性不能确定.相应作业 2：1讨论函数1)(2xaxxf在1,1上的单调性0a；2务必记住“对勾函数)0()(kxkxxf的单调区间见练习册 P29 探究之窗.探究 1 知识拓展复合函数单调性难点 一、复习回忆：复合函数的定义：如果函数)(tfy 的定义域为 A，函数)(xgt 的定义域为 D，值域为 C，则当AC 时，称函数)(xgfy 为f与g在 D 上的复合函数，其中t叫做中间变量，)(xgt 叫层函数，)(xfy 叫外层函数。二、引理 1 函数 y=fg(*).假设 t=g(*)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，则，原复合函数 y=fg(*)在区间(a,b)上是增函数.引理 2 函数 y=fg(*).假设 t=g(*)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(t)在区间(c,d)上是减函数，则，复合函数 y=fg(*)在区间(a,b)上是增函数.引理 1 的证明：重要结论 1：复合法则-.z.假设)(xgt )(tfy 则)(xgfy 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 规律可简记为“_四个字 重要结论 2：假设一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:假设减函数有偶数个，则复合函数为增函数；假设减函数有奇数个，则复合函数为减函数.规律可简记为“_四个字 题型三、求复合函数的单调区间 例 3.求以下函数的单调区间.（1）267xxy23212xxy 小结：1、注意：1求单调区间必先求定义域；（2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“并起来，应用“，隔开.2、判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成根本初等函数：)(tfy 与)(xgt；确定两个函数的单调性；由复合法则“同増异减得出复合函数单调性.相应作业 3：求以下函数的单调区间.（1）228xxy 23212xxy 3xxy412 单调性的应用-.z.题型四、比拟函数值的大小 例 4.函数)(xfy 在,0上是减函数，试比拟)43(f与)1(2 aaf的大小.题型五、单调性，求参数围 例 5.函数2)(2)(2xaxxxf（1）假设)(xf的减区间是4,，数a的值；（2）假设)(xf在4,上单调递减，数a的取值围.例 6.假设函数0,)2(0,1)12()(2xxbxxbxbxf在 R 上为增函数，数b的取值围.题型六、利用单调性，求解抽象不等式 例 7.函数)(xfy 是1,1上的减函数，且)1()1(2afaf，数a的取值围.例 8.)(xf是定义在,0上的增函数，且)()()(yfxfyxf，且1)2(f，解不等式2)31()(xfxf.相应作业 4：)(xf是定义在,0上的增函数，且)()()(yfxfxyf，且1)2(f，解不等式3)2()(xfxf.题型七、抽象函数单调性的判断定义法 解决此类问题有两种方法：“凑，凑定义或凑条件，从而使用定义或条件得出结论；赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进展屡次尝试.例 9.函数)(xf对任意实数x、y都有)()()(yfxfyxf，且当0 x时0)(xf，求证：)(xf在 R 上单调递增.例 10.定义在,0上的函数)(xf对任意x、y,0，恒有)()()(yfxfxyf，且当10 x时0)(xf，判断)(xf在,0上单调性.相应作业 5：定义在,0上的函数)(xf对任意x、y,0，满足)()()(nfmfmnf，且当1x时0)(xf.-.z.（1）求)1(f的值；（2）求证：)()()(nfmfnmf；3求证：)(xf在,0上是增函数；4假设1)2(f，解不等式2)2()2(xfxf；函数的最大小值 1、函数的最大小值定义 2、利用单调性求最值常用结论（1）假设函数)(xfy 在闭区间ba,上单调递增，则)(minafy，)(maxbfy；（2）假设函数)(xfy 在闭区间ba,上单调递减，则)(minbfy，)(maxafy；（3）假设函数)(xfy 在开区间ba,上单调递增，则函数无最值，但值域为)(),(bfaf；（4）假设函数)(xfy 在闭区间ba,上单调递增，在闭区间cb,上单调递减，则函数)(xfy，cax,在bx 处有最大值，即)(maxbfy；（5）假设函数)(xfy 在闭区间ba,上单调递减，在闭区间cb,上单调递增，则函数)(xfy，cax,在bx 处有最小值，即)(minbfy.题型八、单调性法求函数最值值域 例 11、1函数121)(xxf在 5,1上的最大值为_,最小值为_;（2）函数112xxy在 4,2上的最大值为_,最小值为_;（3）函数xxy212的值域为_;（4）函数1xxy的值域为_;（5）函数212xxy的值域为_;6函数xxy1的值域为_;二次函数的区间最值的求法-.z.二次函数在给定区间nm,上求最值，常见类型：（1）定轴定区间：对称轴与区间nm,均是确定的；（2）动轴定区间：（3）定轴动区间：（4）动轴动区间：1、定轴定区间 可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。例 12.当22x时，求函数322xxy的最值.相应作业 6：求函数542xxy在 5,1上的最值.2、动轴定区间 例 13.函数22)(2axxxf，求)(xf在5,5上的最值.动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、部三种情况进展讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业 7：求函数12)(2axxxf在 2,0上的最值.3、定轴动区间 例 14.函数22)(2xxxf，当1,ttx时，求)(xf的最小值)(tg.相应作业 8：函数34)(2xxxf，当2,mmx时，求)(xf的最大值)(mg.4、动轴动区间 解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动，进展讨论.例 15.求函数axxy2在ax,1上的最大值.相应作业 9：求函数222axxy在1,ax上的最值.
