数学押题班资料47972.pdf
第四部分二次函数综合题 1、如图，二次函数cbxxy241的图像经过点 4,4,0,4BA，且与y轴交于点C.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAOBAO（其中O是原点）；（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使QHPH2？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）点0,4A与4,4 B在二次函数图像上，cbcb444440，解得221cb，二次函数解析式为221412xxy.（2）过B作xBD 轴于点D，由（1）得2,0C，则在AOCRt中，2142tanAOCOCAO，又在ABDRt中，2184tanADBDBAD，BADCAOtantan，B A OC A O.（3）由0,4A与4,4 B，可得直线AB的解析式为221xy，设44,221,xxxP，则22141,2xxxQ，22141,2122212xxQHxxPH.2214122122xxx.当4212122xxx，解得 4,121xx（舍去），25,1P.当4212122xxx，解得 4,321xx（舍去），27,3P.综上所述，存在满足条件的点，它们是25,1与27,3.图 2 G 2 4 6 8 10 1210 8 6 4 2 y O x 2、如图 1，在 RtABC 中，C90，BC8 厘米，点 D 在 AC 上，CD3 厘米点 P、Q 分别由 A、C 两点同时出发，点 P 沿 AC 方向向点 C 匀速移动，速度为每秒 k 厘米，行完 AC 全程用时 8秒；点 Q 沿 CB 方向向点 B 匀速移动，速度为每秒 1 厘米设运动的时间为 x 秒80 x，DCQ 的面积为 y1平方厘米，PCQ 的面积为 y2平方厘米（1）求 y1与 x 的函数关系，并在图 2 中画出 y1的图象；（2）如图 2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点 P 的速度及 AC 的长；（3）在图 2 中，点 G 是 x 轴正半轴上一点（0OG6），过 G 作 EF 垂直于 x 轴，分别交 y1、y2于点 E、F 说出线段 EF 的长在图 1 中所表示的实际意义；当 0 x时，求线段 EF 长的最大值 解：（1）CDCQSDCQ21，CD3，CQx，xy231 图象如图所示（2）CPCQSPCQ21，CP8kxk，CQx，kxkxxkxky42182122 抛物线顶点坐标是（4，12），12444212kk解得23k 则点 P 的速度每秒23厘米，AC12 厘米（3）观察图象，知线段的长 EFy2y1，表示PCQ 与DCQ 的面积差（或PDQ 面积）由得 xxy64322，EFy2y1，EFxxxxx29432364322，二次项系数小于，在60 x范围，当3x时，427EF最大 图 1 C Q B D A P 3、如图已知点 A(-2，4)和点 B(1，0)都在抛物线22ymxmxn上（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为点 C，试在x轴上找点 D，使得以点 B、C、D 为顶点的三角形 与ABC相似 解：（1）根据题意，得：02444nmmnmm 解得434nm （2）四边形 A ABB 为菱形，则 A A=BB=AB=5 438342xxy =3164342x 向右平移 5 个单位的抛物线解析式为 3164342,xy （3）设 D（x，0）根据题意，得：AB=5，5,10,53CBBCAC A=B BA )ABCBCD 时，ABC=BCD，BD=6x，由 得x65355 解得 x=3，D（3，0）ABCBDC 时，CBACDBAB 55365 x 解得313x )0,313(D B A O 1 1 1 1 x y A B y B A O 1 1 1 1 x C B D DBACCBAB 4、已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OBOC）是方程 x210 x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点 E 作 EFAC交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由 解：（1）解方程 x210 x160 得 x12，x28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBOC 点 B 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线 x2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0）（2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc 的图象上，c8，将 A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得 036a6b804a2b8 解得 a23b83 所求抛物线的表达式为 y23x283x8 （3）依题意，AEm，则 BE8m，OA6，OC8，AC10 EFAC BEFBAC，EFACBEAB 即EF108m8，EF405m4 过点 F 作 FGAB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB45FGEF45 FG45405m48m SSBCESBFE12（8m）812（8m）（8m）12（8m）（88m）12（8m）m12m24m 自变量 m 的取值范围是 0m8 （4）存在理由：S12m24m12（m4）28 且120，当 m4 时，S 有最大值，S最大值8 m4，点 E 的坐标为（2，0）BCE 为等腰三角形 5、如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0),B(4,0)，与 y 轴交于 C(0,8)（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上 是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其 对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点 试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？解：（1）设抛物线解析式为(2)(4)ya xx，把(0 8)C，代入得1a 228yxx 2(1)9x，顶点(19)D，（2）假设满足条件的点P存在，依题意设(2)Pt，由(0 8)(19)CD，求得直线CD的解析式为8yx，它与x轴的夹角为45，设OB的中垂线交CD于H，则(210)H，则10PHt，点P到CD的距离为221022dPHt 又22224POtt224102tt 整理得：220920tt，108 3t 存在满足条件的点P，P的坐标为(2108 3)，（3）由上求得(8 0)(412)EF，若抛物线向上平移，可设解析式为228(0)yxxm m 当8x 时，72ym 当4x 时，ym720m或12m072m 若抛物线向下移，可设解析式为228(0)yxxm m 由2288yxxmyx ，有20 xxm140m，104m 向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移14个单位长 A B C O x y D F H P E 6、设抛物线22yaxbx与 x 轴交于两个不同的点 A（1，0）、B（m，0），与 y 轴交于点 C，且ACB90。（1）求 m 的值；（2）求抛物线的解析式，并验证点 D（1，3）是否在抛物线上；（3）已知过点 A 的直线1yx交抛物线于另一点 E.问：在 x 轴上是否存在点 P，使以点 P、B、D 为顶点的三角形与AEB 相似？若存在，请求出所有符合要求的点 P 的坐标.若不存在，请说明理由。解：（1）令x0，得y2 C（0，2）ACB90，COAB，AOC COB，OAOB OC2，OB41222OAOC m4 （2）将A（1，0），B（4，0）代入22 bxaxy，解得2321ba 抛物线的解析式为223212xxy 当x=1 时，223212xxy=3，点D（1，3）在抛物线上。（3）由2232112xxyxy 得0111yx 7622yx，E（6，7）过E作EHx轴于H，则H（6，0），AH EH 7；EAH45 作DFx轴于F，则F（1，0）；BF DF3；DBF45 EAH=DBF=45 DBH=135，90EBA135 则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：若DBP1EAB，则AEBDABBP1,715272351AEBDABBP 71371541 OP，），（07131P 若2DBPBAE，则ABBDAEBP2,542523272ABBDAEBP 52245422OP ），（05222P 综合、，得点P的坐标为：），（）或，（0522071321PP
