初中数学动点问题归纳10840.pdf
-.z.*A O Q P B y 图3 A B C O E F A B C O D 图1 A B O E F C 图2 动点问题 题型方法归纳 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、2009 年市直线364yx 与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停顿点Q沿线段OA 运动，速度为每秒 1 个单 位长度，点P沿路线OBA运动 1直接写出AB、两点的坐标；2设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间 的函数关系式；3当485S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 解：1、A8，0 B0，6 2、当 0t3 时，S=t2 当 3t8 时，S=38(8-t)t 提示：第2问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第3问是分类讨论：三定点 O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按线段身份不同分类-OP 为边、OQ 为边，OP 为边、OQ 为对角线，OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、2009 年市 如图，AB 是O 的直径，弦 BC=2cm，ABC=60 1求O 的直径；2假设 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与O 相切；3假设动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为)20)(tst，连结 EF，当t为何值时，BEF 为直角三角形 注意：第3问按直角位置分类讨论 3、2009 綦江 如图，抛物线(1)23 3(0)ya xa经过点(2)A ，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD 过顶点D平-.z.O M B H A C*y 图 1 O M B H A C*y 图2 *y M C D P Q O A B P Q A B C D 行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC 1求该抛物线的解析式；2 假设动点P从点O出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s 问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形.直角梯形.等腰梯形.3假设OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停顿运动时另一个点也随之停顿运动设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小.并求出最小值及此时PQ的长 注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 当OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。二、特殊四边形边上动点 4、2009 年省如下图，菱形ABCD的边长为 6 厘米，60B从初始时刻开场，点P、Q同时从A点出发，点P以 1 厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以 2 厘米/秒的速度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停顿运动，设P、Q运动的时间为x秒时，APQ与ABC重叠局部的面积为y平方厘米 这里规定：点和线段是面积为O的三角形，解答以下问题：1点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；2点P、Q从开场运动到停顿的过程中，当APQ是等边三角形时x的值是秒；3求y与x之间的函数关系式 提示：第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类；提醒-高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、2009 年 如图 1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为 3，4，点C在*轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H 1求直线AC的解析式；2连接BM，如图 2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S0S ，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式要求写出自变量t的取值围；3在2的条件下，当 t为何值时，MPB与BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值 注意：第2问按点 P到拐点 B 所用时间分段分类；第3问发现MBC=90，BCO 与ABM 互余，画出点 P运动过程中，MPB=ABM的两种情况，求出 t 值。利用OBAC,再 求OP 与 AC 夹角正切值.-.z.6、(2009 年)如图，在平面直角坐标系中，点 A(3，0)，B(33，2)，C0，2)动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作 EF 上 AB，交 BC 于点 F，连结 DA、DF设运动时间为 t 秒(1)求ABC 的度数；(2)当 t 为何值时，ABDF；(3)设四边形 AEFD 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式；假设一抛物线 y=*2+m*经过动点 E，当 S23时，求 m 的取值围(写出答案即可)注意：发现特殊性，DEOA 7、07 黄冈：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，且 AOC=60，点 B 的坐标是(0,8 3)，点 P 从点 C 开场以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动，同时，点 Q从点 O 开场以每秒 a1a3个单位长度的速度沿射线 OA方向移动，设(08)tt 秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D.1求AOB 的度数及线段 OA 的长；2求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；3当43,33aOD时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式；4 当a为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB相似.当a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB不相似.请给出你的结论，并加以证明.8、08 黄冈：如图，在直角梯形COAB中，OCAB，以O为原点建立平面直角坐标系，ABC，三点的坐标分别为(8 0)(810)(0 4)ABC，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒 1求直线BC的解析式；2假设动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的27.3 动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值围；4当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形.请求出此时动点P的坐标；假设不能，请说明理由 9、(09 年黄冈市)如图,在平面直角坐标系*oy中,抛物线21410189yxx与*轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点B.过点B作*轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从 O,C两点同时出发,点P以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点B移动,点P停顿运动时,点Q也同时停顿运动,线段OC,PQ相交于点D,过点B A C D P O Q*y A B D C O P*y A B D C O*y 此题备用-.z.y O*C N B P M A D作DEOA,交CA于点E,射线QE交*轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形请写出计算过程;(3)当 0t92时,PQF 的面积是否总为定值假设是,求出此定值,假设不是,请说明理由;(4)当t为何值时,PQF为等腰三角形请写出解答过程 提示：第3问用相似比的代换，得 PF=OA定值。第4问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、直线上动点 8、2009 年如图，二次函数2yaxbxc0a 的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结ACBCAC、，、两点的坐标分别为(3 0)A ，、(03)C，且当4x 和2x 时二次函数的函数值y相等 1数abc，的值；2假设点MN、同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停顿运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B 点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；3在2的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，为项点的三角形与ABC相似.如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 提示：第2问发现 特殊角CAB=30,CBA=60 特殊图形四边形 BNPM 为菱形；第(3)问注意到ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与ABC 相似的BNQ，再判断是否在对称轴上。9、2009 眉山如图，直线112yx与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线212yxbxc与直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0)。求该抛物线的解析式；动点 P 在*轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点 M 的坐标。提示：第2问按直角位置分类讨论后画出图形-P 为直角顶点 AE 为斜边时，以 AE 为直径画圆与*轴交点即为所求点 P，A 为直角顶点时，过点 A 作 AE 垂线交*轴于点 P，E 为直角顶点时，作法同；第3问，三角形两边之差小于第三边，则等于第三边时差值最大。10、2009 年如图，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0，10，8，4，点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以一样速度在*轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停-.z.A D P C B Q 图 1 D A P C B Q 图 2 图 3 C A D P B Q 顿运动，设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x长度单位关于运动时间t秒的函数图象如图所示，请写出点Q开场运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在1中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，假设能，写出所有符合条件的t的值；假设不能，请说明理由 注意：第4问按点 P 分别在 AB、BC、CD 边上分类讨论；求 t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一。11、2009 年市如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC 三个顶点的坐标分别为 6,0A，6,0B，0,4 3C，延长 AC 到点 D,使 CD=12AC,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E.1求 D 点的坐标；2作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，假设过 B 点的直线ykxb将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；3设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A点，假设 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明 提示：第问，平分周长时，直线过菱形的中心；第问，转化为点到的距离加到中直线的距离和最小；发现中直线与轴夹角为.见“最短路线问题专题。12、(2009 年市)ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足ABADPCPQ如图 1 所示 AD=2，且点Q与点B重合时如图 2 所示，1 当求线段PC的长；2在图 8 中，联结AP当32AD，且点Q在线段AB上时，设点B Q、之间的距离为x，APQPBCSyS，其中APQS表示APQ 的面积，PBCS表示PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；3当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时如图 3 所示，求QPC的大小 注意：第2问，求动态问题中的变量取值围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值围。当 PCBD 时，点 Q、B 重合，*获得最小值；当P 与 D 重合时，*获得最大值。第3问，灵活运用 SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两-.z.A C B P Q E D 个三角形相似；或者用同一法；或者证BQPBCP，得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。13、08如图，在RtABC中，ABAC，P 是边AB含端点上的动点过 P 作BC的垂线PR，R 为垂足，PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，假设以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F 恰好分别在边BC，AC上 1ABC与SBR是否相似，说明理由；2请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；3设边AB1，当P 在边AB含端点上运动时，请你探索正方形 PTEF的面积y 的最小值和最大值 提示：第3问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当 p 运动到使 T 与 R 重合时，PA=TS为最大；当 P 与 A 重合时，PA 最小。此问与上题中求取值围类似。14、(2009 年)如图，在 RtABC中，C=90，AC=3，AB=5点P从点C出发沿CA以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒 1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停顿运动，点P也随之停顿设点P、Q运动的时间是t秒t0 1当t=2 时，AP=，点Q到AC的距离是；2在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；不必写出t的取值围 3在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形.假设能，求t的值假设不能，请说明理由；4当DE经过点C 时，请直接写出t的值 提示：按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出 t 值；有二种成立的情形，；按点 P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值；有二种情形，t 时，时 二次函数2yaxbxc0a 的图象经过点(10)A，(2 0)B，15、2009 年(02)C，直线xm2m 与x轴交于点D 1求二次函数的解析式；2在直线xm2m 上有一点E点E在第四象限，使得EDB、为顶点的三角形与以AOC、为顶点的三角形相似，求E点坐标用含m的代数式表示；3在2成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形.假设存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；假设不存在，请说明理由 提示：第2问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第3问，四边形 ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且 AB=EF，对第2问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点 16、2009 年市如图，抛物线32bxaxya0与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形.假设存在，(第 13 题)TPSREABCF(第 13 题)TPSREABCF-.z.O y*B E A D C F 请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由 (3)如图，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标 注意：第2问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标-C 为顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，P 为顶点时，线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第3问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值涉及二次函数最值；方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标涉及简单二元二次方程组，再求面积 17、2009 年市 正方形ABCD在如下图的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于EBC，交x轴负半轴于F，1OE，抛物线24yaxbx过ADF、三点 1求抛物线的解析式；2Q是抛物线上DF、间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，假设32FQNAFQMSS四边形，则判断四边形AFQM的形状；3在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得APPH且APPH，假设存在，请给予严格证明，假设不存在，请说明理由 注意：第2问，发现并利用好 NMFA 且 NMFA;第3问，将此问题别离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出适宜的图形，再证明 三年共同点：探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题相似、等腰三角形、面积函数关系式；求直线、抛物线解析式；-.z.“坐 标 几 何 题 动 点 问 题 分 析 中考题2 0 0 3 0 7 0 8 0 9 动点个数 两个 一个 两个 问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动 考察难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形 考 点 菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析式 四边形面积的表示 动三角形面积函数矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定值 探究等腰三角形存在性 特 点 菱形是含6 0 的特殊菱形；A O B是底角为3 0 的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用a、t围，运用不等式求出a、t的值。观察图形构造特征适当割补表示面积 动点按到拐点时间分段分类 画出矩形必备条件的图形探究其存在性 直角梯形是特殊的一底角是4 5 点动带动线动 线动中的特殊性两个交点D、E是定点；动线段P F长度是定值，P F=O A 通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究 按边相等分类讨论
