滤波实验报告11257.pdf
-.z.信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波 一、实验目的：1理解连续时间信号的采样与恢复过程；2掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握 Shannon 采样定理；3学会利用 MATLAB 软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。4学会 FIR 滤波器的简单设计方法 二、实验容：给定原始信号如下式所示：12()10.5sin 20.2sin 2f tf tf t，其中，12,ff是信号原始频率本实验中为自选常数，1f为低频，2f为高频。确定一个采样频率sf对()f t进展采样，再将采样得到的序列进展DFT，画出过程中各信号的图形。进展频域高、低频滤波，再反变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图形与理论图形进展比拟，发现不同点并加以解释。三、实验过程：先选定 f1=50hz、270fHz，则原始信号表示为：1、原信号时域截取：因为在计算机中只能计算离散的点列，假设要用 MATLAB 处理图形，只能先对信号进展截取和采样。本实验选定矩形截取窗口的宽度为原信号周期的 m 倍，m 为正整数。所以画出截取后的信号图像为 图 1 截断后的信号图像 原信号中低频为50Hz，高频为70Hz，取采样频率sf为3倍的2f，即-.z.3 70210fsHzHz。50和70的最大公约数为10，所以原信号的最小正周期为1/10s，这里取m为3即取窗口函数的宽度为 3/10s ，相应的采样点数=1400.342Nc，所以窗口函数为 其图像如图2所示，其傅立叶变换图像如图3所示，其公式如下：/2sin(0.5)0.5jFte，其中0.3s 图 2 窗函数 图 3 窗函数傅里叶变换 CTFT 时域截取的过程就是原函数 f t在时域乘以 t，而在频域 F与/2sin(0.5)0.5je做卷积运算后再乘以系数1/2，而在实际计算机仿真过程中，只要选好信号横坐标的围就完成了截取信号的过程，本实验中取信号横坐标为0,0.3)，截取后的CT信号的傅里叶变换图像如图4所示，其图像在频域坐标轴上向正负无穷延展。图4截取后的CT信号0,0.3)ss的CTFT jF 2、截断信号的时域采样 截断后的信号就可以在时域上进展采样，采样函数为()StnT，截断后的信号 jft乘以()SnnT，所以在频域相当于 1/2jF与()ssn 进展卷积，其得到的图像为周期的，其图像与离散采样信号的DTFT形式一样。以上为CT信号的分析，对于离散信号，为了适应计算机的处理方式，我们需要采用DFT和IDFT-.z.进展计算求解。采样后的离散信号图像为下列图所示 图5 采样后的信号 对上述有限的离散信号求DTFT，可以得到其在频域的表现形式，对离散角频率取0,6.28之间的629个样点，计算其DTFT，并画出图像如下 图6 有限采样信号的DTFT频谱 如果对上述频谱图进展采样，则相应的，离散采样信号将进展周期延拓，如果在频域进展采样，并保证在一个主周期中，有N个采样点，则离散采样信号将以N为离散周期进展延拓。如果令63NNc,则其相当于原始周期信号的采样。利用DFT，我们可以完成这个过程，DFT公式为 其类似于DTFS公式，特点是隐含周期性，就得到了离散的频谱，其频谱与连续周期信号的频谱在形式上极为相似，只要保证NNc，频谱赋值在数值上一样。其图像如下：图7 离散信号的DFT离散频谱 3、设计离散滤波器并进展滤波。目前，只进展了低通滤波。目标：滤除 70Hz 的高频成分，保存直流分量和 50Hz 的低频成分。方法：采用窗函数法设计 FIR 滤波器。采用海明窗。具体步骤：1、取通带截止频率为12psff，取阻带起始频率为22stsff，2pstc ,取阻带衰减不小于-50db。2、求理想滤波器的冲击响应。(3)、选择窗函数 本实验取海明窗2()0.540.46cos()1Nnw nRnN(4)、确定 N 值。海明窗带宽：6.6/N，2()/stps，所以求得 N 为 35 5、确定 FIR 滤波器的()h n()()()dh nhn w n 6、求()jH e经过计算，得到的滤波器的单位冲击响应和滤波器的频谱图如下列图所示 图 8 滤波器单位冲击响应 图 9 数字滤波器的频谱图 下面进展滤波，把离散信号的 DFT 离散频谱函数和数字滤波器的频谱函数对应相乘，进展了频域滤波。滤波后的离散频谱如下列图所示 图 10 滤波后的离散频谱图-.z.利用 IDFT 进展反变换得到滤波后的离散信号，其图像如下 图 11 IDFT 后的离散信号 4、离散信号变为连续信号插值（1）利用理想插值函数进展插值，其插值函数图像如下 图 12 理想插值函数 插值效果如下列图所示 图 13 原始信号复原图 但是，上述插值在物理世界中，无法实现，因为它非因果，且为无穷信号。与此同时，通过观察发现，在复原图像的边缘误差较大，原因是因为所取的离散信号点为有限个，所以存在误差，当在边界进展插值时，边界另一边没有信号值，所以误差较大，当采样点为无穷个时，理论上可以准确复原原图像，但这在现实生活中，无法实现。（2）一阶线性插值，其插值函数图像如下 图 14 一阶线性插值函数 插值效果如下列图所示 图 15 原始信号复原图 一阶线性插值插值误差较大，但根本反映出了图像的形态，其在物理上可以实现。通过观察，上述复原图在边缘出也存在较大误差，原因同上，同时因为插值函数具有延时效果，所以复原信号在实间上有延迟，最直观就是比理想复原图向后移动了一小段距离。5、参数调整 通过上面的实验，我对信号采样与复原过程有了一定的了解，下面通过参数调整来加深-.z.理解。1窗函数为整数倍周期，否则无法复原为原图像 调整截断信号所用窗函数的宽度，使其不等于周期的整数倍。之前取 m=3，这里取m=1.5。得到的结果如下，这是因为，利用 DFT 在计算周期延拓离散信号的频谱的时候，在时域延拓后的图像与原图像已经不一样了。2、对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样频率要严格大于两倍最大频率 上述实验中采样频率取值为 3 倍的信号最大频率分量，下面取2 70140sfHzHz，实验结果如下 通过观察发现，频谱中没有 70Hz 对应的成分，这是因为以 2 倍的频率来采样sin()At这样的谐波，得到的离散点无法反映该信号的全部特征，在这里对该信号的采样，全部在/,0,1,2,3.tkk 时刻，当0时，所有的采样值都为零，就如上图所示，当取其他值时，将会在频域发生混叠。这里取0.2，改变题干，令12()10.5sin 20.2sin(20.2)f tf tf t，得到的结果，如下 所以，对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样频率要严格大于两倍最大频率。(3)采样数对于不同实验的实验结果的影响。1通过实验发现，提高窗函数宽度，即在采样频率不变的情况下提高采样点数，对信号复原效果提高不大。2 通过实验发现，在窗函数宽度不变的情况下，提高采样频率能显著提高信号复原效果，但在信号边缘的误差无法得到显著改善。4 欠 采 样 时，高 频 分 量 会 关 于 采 样 频 率 反 折 而 变 为 低 频 分 量。例 如 取0.77049sfHzHz时，50Hz 和 70Hz 的分量都关与采样频率进展了反折。结果如下-.z.四、实验总结和体会 一此次计算机模拟仿真实验，主要是做了以下一些工作：1、模拟了连续信号采样和复原的过程。2、变换了不同的参数，并加以解释，加深了对问题的理解。3、采用了窗函数法设计了 FIR 数字滤波器进展了低通滤波处理，画出了滤波效果图。4、对 Matlab 的理解和运用有了进一步的提高。5、只有真正的动手实践，才有可能真正的理解学到的知识，否则只是浅薄的背诵。二实验过程主要存在的一些问题：1、只进展了低通滤波器设计，没有进展高通和带通设计。
