中考数学总复习资料(几何部分)23859.pdf

word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 中考数学总复习资料 几何部分 第一章：线段、角、相交线、平行线 知识点：一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。三、射线：1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。2射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。”四、线段：1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。五、线段的中点：1、定义如图 1 一 1 中，点 B 把线段 AC 分成两条相等的线段，点 B 叫做线段图 11AC 的中点。2、表示法：ABBC 点 B 为 AC 的中点 或 AB 21MAC 点 B 为 AC 的中点，或AC2AB，点 B 为 AC 的中点 反之也成立 点 B 为 AC 的中点，ABBC 或点 B 为 AC 的中点，AB=21AC 或点 B 为 AC 的中点，AC=2BC 六、角 1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点角是由两条射线组成的图形；这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。2角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图 12 （1）AOCBOC （2）AOB2AOC 2COB（3）AOCCOB=21AOB 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成 360 等份，每一份叫做一度的角。1 度=60 分；1 分=60 秒。八、角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角 （2）直角：平角的一半叫做直角 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 （3）钝角：大于直角而小于平角的角 （4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。（5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。（6）周角、平角、直角的关系是：l 周角=2 平角=4 直角=360 九、相关的角：1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。十、角的性质 1、对顶角相等。2、同角或等角的余角相等。3、同角或等角的补角相等。十一、相交线 1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。4、垂线的性质 （l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。十二、距离 1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。十三、平行线 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。4、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 （2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。5、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。例题：方法 1：利用特殊“点”和线段的长 例 1、已知：如图 13，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 CB 的中点，BD1.2cm。求：AD 的长。思路分析由 D 是 CB 中点，DB 已知可求出 CB，再由 C 点 是 AB 中点可求出 AB 长，用 AB 减减去 DB 可求 AD。解：略 规律总结利用线段的特殊点如“中点”“比例点”求线段的长的方法是较为简便的解法。方法 2：如何辨别角的个数与线段条数。例 2、如图 14 在线段 AE 上共有 5 个点 A、B、C、D、E 怎样才数出所有线段，思路分析本问题如不认真审题会误以为有 4 点恰有 4个空就是 4 条线段即 AB、BC、CD、ED；而如果从一个端点出发、再找出另一个端点确定线段，就会发现有 10 条线段：即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE 共 10 条。规律总结此类型题如果做到不重不漏，最好方法是先从一个端点出发，再找出另一个端点确定线段。例 3、如图 1 一 5 指出图形中直线 AB 上方角的个数（不含平角）思路分析此题有些同学不认真分析误认为就 4 个角，其实共有 9 个角。即：AOC、AOD、AOE、COD、COE、COB、DOE、DOB、EOB 共 9 个角。规律总结从一个顶点引出多条射线时为了确定角的个数，一般按边顺序分类统计，避免既不重复又不遗漏。方法 3：用代数法求角度 例 4、已知一个锐角的余角，是这个锐角的补角的61，求这个角。思路分析本题涉及到的角是锐角同它的余角及补角。根据互为余角，互为补角的概念，考虑它们在数量上有什么关系？设锐角为 x，则它的余角为 90 x。，它的补角为 180 x，这就可以列方程了。解：略 规律总结有关余角、补角的问题，一般都用代数方法先设未知数，再依题意列出方程，求出结果。方法 4：添加辅助线平移角 例 5、已知：如图 l6，ABED word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 求证：BBCDD360 思路分析我们知道只有周角是等于 360，而图中又出现了与BCD 相关的以 C为顶点的周角，若能把B、D 移到与BCD 相邻且以 C 为顶点的位置，即可把B、BCD 和D 三个角组成一分周角，则可推出结论。证时：略 规律总结此题虽是三种证法但思想是一样的，都是通过加辅助线，平移角达到目的，这种处理方法在几何中常常用到。几何部分 第二章：三角形 知识点：一、关于三角形的一些概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。1、三角形的角平分线。三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）2、三角形的中线 三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）3三角形的高 三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。如图 2l，AD、BE、CF 都是么 ABC 的角平分线，它们都在ABC 内 如图 22，AD、BE、CF 都是ABC 的中线，它们都在ABC 内 而图 23，说明高线不一定在 ABC 内，图 23（1）图 23（2）图 23 一（3）图 23（1），中三条高线都在 ABC 内，图 23（2），中高线 CD 在ABC 内，而高线 AC 与 BC 是三角形的边；图 23 一（3），中高线 BE 在ABC 内，而高线 AD、CF 在ABC 外。三、三角形三条边的关系 三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 等的则叫等边三角形。等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。三角形接边相等关系来分类：三角形等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形不等边三角形三角形 用集合表示，见图 24 推论三角形两边的差小于第三边。不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。例如三条线段长分别为 5，6，1 人因为 5612，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。三、三角形的内角和 定理三角形三个内角的和等于 180 由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。如已知ABC 的两个角为A90，B40，则C180904050 由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。推论 1：直角三角形的两个锐角互余。三角形按角分类：钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形 用集合表示，见图 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。推论 2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论 3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。例如图 26 中 1 3；1=34；538；5378；28；278；49；4910 等等。四、全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等形。两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。全等用符号“”表示 ABCA BC表示 A 和 A，B 和 B，C 和 C是对应点。全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。如图27，ABCA BC，则有A、B、C的对应点A、B、C；AB、BC、CA的对应边是AB、BC、CA。A，B，C的对应角是A、B、C。ABAB，BCBC，CACA；AA，BB，CC 五、全等三角形的判定 1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”）3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边域“AAS”）4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）六、角的平分线 定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定 理。例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。七、基本作图 限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网 最基本、最常用的尺规作图通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）从而得到对应角相等。3、经过一点作已知直线的垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。4、作线段的垂直平分线：线段的垂直平分线也叫中垂线。做法的实质仍是全等三角形（SSS）。也可以用这个方法作线段的中点。八、作图题举例 重要解决求作三角形的问题 1、已知两边一夹角，求作三角形 2、已知底边上的高，求作等腰三角形 九、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n 十、等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O，那么它所对的直角边等于斜边的一半。十一、线段的垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。十二、轴对称和轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 称轴。两个图形关于直线对称也叫轴对称。定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：cba22 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：222cba 那么这个三角形是直角三角形 例题：例1、已知：AB、CD相交于点O，ACDB，OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF.求证：CE=DF 分析：要证CE=DF，可证ACEBDF，但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出AOCBOD，得出AC=BD，从而证出ACEBDF.证明：略 例2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。求证：BF=DE 分析：观察图形，BF和DE分别在CFB和AED（或ABF和CDE）中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。这时可由已知条件先证明ABCCDA,由此得1=2，从而证出CFBAED。证明：略 例3、已知：CAE是三角形ABC的外角,1=2，ADBC。求证：AB=AC 证明：略 例 4、已知：如图 3 89，OE 平分 AOB，EC OA 于 C，ED OB于 D求证：（1）OCOD；（2）OE 垂直平分 CD 分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到OECOED，再利用角平分线的性质定理得到 OCOD这样处理，可避免证明两个三角形全等证明：略 几何部分 第三章：四边形 知识点：一、多边形 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。9、n 边形的对角线共有)3(21nn条。说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。10、多边形内角和定理：n 边形内角和等于（n2）180。11、多边形内角和定理的推论：n 边形的外角和等于 360。说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起 来，掌握计算方法。二、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形性质定理 1：平行四边形的对角相等。3、平行四边形性质定理 2：平行四边形的对边相等。4、平行四边形性质定理 2 推论：夹在平行线间的平行线段相等。5、平行四边形性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分。6、平行四边形判定定理 1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。7、平行四边形判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。8、平行四边形判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。9、平行四边形判定定理 4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。三、矩形 矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）2、矩形性质定理 1：矩形的四个角都是直角。3矩形性质定理 2：矩形的对角线相等。4、矩形判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形。说明：因为四边形的内角和等于 360 度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 5、矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形。说明：要判定四边形是矩形的方法是：法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理 1）法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理 2）四、菱形 菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、菱形的性质 1：菱形的四条边相等。3、菱形的性质 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。4、菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形。5、菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。说明：要判定四边形是菱形的方法是：法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理 2）法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理 1）（五）正方形 正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3、正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。5、正方形判定定理 2：两条对角线相等的菱形是正方形。注意：要判定四边形是正方形的方法有 方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理 1）方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理 2）六、梯形 1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底）3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。7、等腰梯形性质定理 1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。8、等腰梯形性质定理 2：等腰梯形的两条对角线相等。9、等腰梯形的判定定理 l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。10、等腰梯形的判定定理 2：对角线相等的梯形是等腰梯形。研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 一点。七、中位线 1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。八、多边形的面积 说明：多边形的面积常用的求法有：（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图 3l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。例题：例 1、如图 41-2，求B+C+D 的度数和。例2、一个多边形的每一个外角都等于45，那么这个多边形的内角和是多少度。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 分析：用多边形外角和公式就可以求解。例 3、已知：如图 43-1，在ABCD 中，AEBC 于 E，AFDC 于 F，EAF=60，BE=2cm，DF=3cm。求ABCD 内角的度数与边长。例 4、如图 45-4，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，EF 过 O 分别交 BC、AD于点 E、F，且 AEBC，求证：四边形 AECF 是矩形。例 5、如图 48-3，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，M、N 分别为 CD、AB 的中点，且MNAB。求证：梯形 ABCD 是等腰梯形。图 48-3 例 6、已知：如图 49-2，梯形 ABCD 中，ABBC，DE=EC。求证：AE=EB。几何部分 第四章：相似形 知识点：一、比例线段 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 a：bm：n（或nmba）2、比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dcba word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 4、比例外项：在比例dcba（或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外项。5、比例内项：在比例dcba（或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。6、第四比例项：在比例dcba（或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abba（或 a:b=b:c 时，我们把 b 叫做 a 和 d 的比例中项。8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。9、比例的基本性质：如果 a：bc：d 那么 adbc 逆命题也成立，即如果 adbc，那么 a：bc：d 10、比例的基本性质推论：如果 a：b=b：d 那么 b2=ad，逆定理是如果 b2=ad 那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。11、合比性质：如果dcba，那么ddcbba 12 等 比 性 质：如 果nmdcba，（0mdb），那 么bandbmca 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为 k，这种方法思路单一，方法简单不易出错。13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段 AB 上截取这条线段的215 倍得到点 C，则点 C 就是 AB 的黄金分割点。二、平行线分线段成比例 1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。格式：如果直线 L1L2L3，AB BC，那么：A1B1B1C1，如图 4l 说明：由此定理可知推论 1 和推论 2 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。格式：如果梯形 ABCD，ADBC，AEEB，EFAD，那么 DF=FC word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。格式，如果ABC 中，D 是 AB 的中点，DEBC，那么 AEEC，如图 43 2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。3平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。说明 1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图 44 说明 2：图 44 的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。三、相似三角形 1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。2、相似比：相似三角形对应边的比 k，叫做相似比（或叫做相似系数）。3、相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。4、三角形相似的判定定理：word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 （1）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。（2）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（3）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质 1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。（2）相似三角形性质 2：相似三角形周长的比等于相似比。说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。6、介绍有特点的两个三角形 （1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图 46 （3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图 47 若ACDABC，则 AC2ADAB 例题：例 1、已知：cbbacbba:.45,32求的值.分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：(1)设比值为 k;(2)比例的基本性质；word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.解：由4532cbba及，得 a:b=2:3,b:c=5:4,即 a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k,则(a+b):(bc)=25:3.例 2 已知：如图 5126(a)，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线交于 O 点，过 O 作 EFBC，分别交 AB，DC 于 E，F.求证：(1)OE=OF;(2)EFBCAD211;(3)若 MN 为梯形中位线，求证 AFMC.分析：(1)利用比例证明两线段相等的方法.若dcda,a=c(或 b=d 或 a=b)，则 b=d(或 a=c 或 c=d)；若abda,则 a=b(只适用于线段，对实数不成立)；若dcda,dcda,a=a,b=b,c=c,则 d=d.(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.(3)证明EFBCAD211时，可将其转化为“cba111”类型后：化为1bcac直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为 1；直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长 BA，CD 交于 S，AFMC word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 AFMC 成立.(5)用运动的观点将问题进行推广.若直线 EF 平行移动后不过点 O，分别交 AB，BD，AC，CD 于 E，O1，O2，F，如图 5126(b),O1F 与 O2F 是否相等?为什么?(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等 例 3 已知：如图 5127，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，DEAC 于 E，F 为 DE中点，BE 交 AD 于 N，AF 交 BE 于 M.求证：AFBE.分析：(1)分解基本图形探求解题思路.(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)的方法，利用ADEDCE 得到CFDEDCAD 结合中点定义得到CEDFBCAD,结合3=C,得到BECAFD，因此1=2.进一步可 得到 AFBE.(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：比例的定义；平行线分线段成比例定理；三角形相似的预备定理；直接利用相似三角形的性质；利用中间比等量代换；利用面 积关系.例 4 已知：如图 5128，RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，DFBC 于 F.求证：(1)CD3=AEBFAB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：掌握基本图形“RtABC，C=90，CDAB 于 D”中的常用结论.勾股定理：AC2+BC2=AB2.面积公式：ACBC=ABCD.三个比例中项：AC2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 BDADBCAC22 证明：第(1)题：CD2=ADBD,CD4=AD2 BD2=(AE AC)(BF BC)=(AE BF)(AC BC)=(AE BF)(AB CD).第(2)题：ADBDABADBABDACBC22,利用BDFDAE，证得AECEEADFADBD,命题得证.第(3)题：ADBDABADABBDACBC22,ACAEBCBFADBDACBC2244,AEBFACBC33 第五章：解直角三角形 知识点：一、锐角三角函数：在直角三角形 ABC 中，C 是直角，如图 51 1、正弦：把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作caA sin 2、余弦：把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cbA cos 3、正切：把锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作baA tan 4、余切：把锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作abA cot 说明：由定义可以看出 tanAcotAl（或写成AAcot1tan）5、锐角三角函数：锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数 说明：锐角三角函数都不能取负值。0 sinA l；0cosA；l 6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。即 sinAcos（90一 A）cosB；cosAsin（90一 A）sinB 7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即 tanAcot（90一 A）cotB；cotAtan（90A）tanB 说明：式中的 90一 A=B。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 8、三角函数值的变化规律 （1）当角度在 0 90间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）当角度在 090间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。9、同角三角函数关系公式 （1）1cossin22BA；（2）AAcot1tan；（3）tanAAAcossin 10一些