【中小学资料】山东省潍坊市青州市2017届高三数学热身试题理(含解析)24394.pdf

中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 2017年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设全集 U=x|ex1，函数 f（x）=的定义域为 A，则UA 为（）A （0，1 B （0，1）C （1，+）D 恒成立，则 a 的取值范围是（）A （，1）（1，+）B（1，1）C （1，+）D （1，+）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中相应的横线上）11已知向量，若，则=12某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 18 件，那么此样本的容量 n=13某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是 14若的展开式中常数项为 43，则 15对于函数 y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：（1）f（x）在上是单调的；（2）当定义域是时，f（x）的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数 f（x）=（a 0）存在“和谐区间”，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数 f（x）=2 sin（x）cosx+2cos2x+a1 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料（）求 f（x）的最小正周期；（）若 f（x）在区间上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值 17某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分 150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6个科目中自主选择其中 3 个科目参加等级性考试，每门满分 100分，高考录取成绩卷面总分满分 750分为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体 S，从学生群体 S 中随机抽取了 50 名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 5 25 20（I）从所调查的 50 名学生中任选 2 名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（II）从所调查的 50 名学生中任选 2 名，记 X 表示这 2 名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（III）将频率视为概率，现从学生群体 S 中随机抽取 4 名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作 Y，求事件“y2”的概率 18在正三角形 ABC中，E、F、P 分别是AB、AC、BC 边上的点，满足 AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图 1）将AEF沿 EF 折起到A1EF 的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角，连结 A1B、A1P（如图 2）（1）求证：A1E 平面 BEP；（2）求二面角 B 一 A1P 一 F 的余弦值的大小 19已知数列an 是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8（I）求数列an 的通项公式；中小学最新教育资料 中小学最新教育资料（）设 Sn为数列an 的前 n项和，bn=，求数列bn 的前 n 项和Tn 20已知椭圆 C：=1（a b 0），O 是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M 是椭圆上一点，F1MF2的最大值为 （）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 OPOQ（i）求证：为定值；（ii）求OPQ面积的取值范围 21已知函数 f（x）=lnx+1，a R （1）若关于 x 的不等式 f（x）x 1 在上存在极值，求 a 的取值范围，并判断极值的正负 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 2017年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设全集 U=x|ex1，函数 f（x）=的定义域为 A，则UA 为（）A （0，1 B （0，1）C （1，+）D 故选：A 2 复数 z 的共轭复数为，若为纯虚数，则|z|=（）A 2 B C D 1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】设 z=a+bi，则=abi，化简，再根据纯虚数的定义即可得到 a2+b2=1【解答】解：设 z=a+bi，则=abi，z=a2+b2，=，为纯虚数，a2+b2=1，|z|=1，故选：D 3 已知函数 f（x）=，则 f（f（1）+f（log3）的值中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 是（）A 7 B 2 C 5 D 3【考点】3T：函数的值【分析】根据已知函数解析式，先求 f（0），然后求出 f（f（0），再求出 f（）即可求解【解答】解：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1）=f（0）=90+1=2 f（）=+1=+1=5=7 故选 A 4 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 16，28，则输出的 a=（）A 0 B 2 C 4 D 14【考点】EF：程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到结论 【解答】解：由 a=16，b=28，不满足 a b，则 b 变为 2816=12，由 b a，则 a 变为 1612=4，由 a b，则，b=124=8，由 a b，则，b=84=4，由 a=b=4，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 则输出的 a=4 故选：C 5 下列命题中真命题的是（）若 p q 是假命题，则 p，q 都是假命题；命题 p：4 r 7，命题 q：圆（x 3）2+（y+5）2=r2（r 0）上恰好有两个点到直线 4x3y=2的距离等于 l，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 p：x 1，q：1，则p 是 q 的充分不必要条件 设随机变量 X 服从正态分布 N（3，7），若 P（X C+1）=P（X C 1），则 C=7 A B C D【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】，若 p q 是假命题，则 p，q 至少有一个假命题；，求得圆心到直线的距离为 5，又圆（x 3）2+（y+5）2=r2（r 0）上恰好有两个点到直线4x3y=2的距离等于 l，半径 r 的取值范围是 4 r 6，即可判定；，若1，x 1 或 x 0；若 x 1，故p 是 q 的充分不必要条件，随机变量 X 服从正态分布 N（3，7），则其正态分布曲线关于直线 x=3对称，当 P（X C+1）=P（X C 1）时，C+1+C1=6，则 C=3【解答】解：对于，若 p q 是假命题，则 p，q 至少有一个假命题，故错；对于，命题 q：圆心到直线的距离为 5，又圆（x 3）2+（y+5）2=r2（r 0）上恰好有两个点到直线 4x3y=2的距离等于 l，故半径 r 的取值范围是 4 r 6 则 p 是 q 的必要不充分条件，故正确 对于，若1，x 1 或 x 0；p：x 1，故p 是 q 的充分不必要条件，故正确 对于，随机变量 X 服从正态分布 N（3，7），则其正态分布曲线关于直线 x=3对称，当 P（XC+1）=P（X C 1）时，C+1+C1=6，则 C=3故错 故选：D 6 已知 P 是ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（）中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 A B C D 【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义；CF：几何概型【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点 P 是ABC边 BC 上的中线 AO 的中点再根据几何概型公式，将PBC的面积与ABC的面积相除可得本题的答案【解答】解：以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC，则，得=2 由此可得，P 是ABC边 BC 上的中线 AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 SPBC=SABC 将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为 P=故选 C 7 设 x，y 满足约束条件，若目标函数 z=abx+y（a 0，b 0）的最大值为 11，则 a+b的最小值为（）A 2 B 4 C 6 D 8【考点】7C：简单线性规划【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数 z=abx+y（a 0，b 0）的最大值为 11，求出 a，b 的关系式，再利用基本不中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 等式求出 a+b的最小值【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图 4 个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值 35，即 11=2ab+3，ab=4，a+b2=4，在 a=b=2 时是等号成立，a+b的最小值为 4 故选：B 8 如图，在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，ACB=45，ADB=30，BCD=120，CD=40，则 AB=（）A10 B20 C30 D40【考点】LW：直线与平面垂直的判定【分析】设 BC=x，则 AB=x，AD=2x，BD=，由此利用余弦定理能求出 AB【解答】解：设 BC=x，在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，ACB=45，ADB=30，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 BAC=ACB=45，BAD=60，ABC=ABD=90，AB=x，AD=2x，BD=，BCD=120，CD=40，cos120=，解得 x=40 或 x=20（舍）AB=40 故选：D 9已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P，PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的取值范围是（）A（，+）B（，+）C（，+）D（0，+）【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m n），由条件可得 m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得 a1=5+c，a2=5c，（c5），运用三角形的三边关系求得 c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m n），由于PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10，即有 m=10，n=2c，由椭圆的定义可得 m+n=2a1，由双曲线的定义可得 m n=2a2，即有 a1=5+c，a2=5c，（c5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c 10，可得 c，即有c5 由离心率公式可得 e1e2=，由于 14，则有 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 则 e1e2 的取值范围为（，+）故选：A 10设函数，若不等式 g（x2）g（ax）对一切 x 恒成立，则 a 的取值范围是（）A （，1）（1，+）B（1，1）C （1，+）D （1，+）【考点】3R：函数恒成立问题【分析】根据函数 g（x）的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，得到关于 a，x 的不等式组，解出即可【解答】解：，g（x）是偶函数，在递减，由 g（x2）g（ax）对一切 x 恒成立，得 x2|ax|在（0，1恒成立，即|a|x|max在（0，1恒成立，解得：a 1 或 a 1，故选：A 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中相应的横线上）11已知向量，若，则=10 【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由已知利用向量共线的坐标运算求得 m，再由向量垂直的坐标运算求得【解答】解：，由，得m 4=0，即 m=4 ，则=27+1（4）=10 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 故答案为：10 12某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 18 件，那么此样本的容量 n=81 【考点】B3：分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：A、B、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 2：3：4，由题意得，解得 m=81，故答案为：81 13某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是 7+【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图还原原几何体，可得该几何体为三棱锥，底面 ABC为等腰三角形，底边 AB=2，高 CD=2，侧棱 PA底面 ABC，PA=2然后求解三角形得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面 ABC为等腰三角形，底边 AB=2，高 CD=2，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 侧棱 PA底面 ABC，PA=2 在等腰三角形 ABC中，由 CD=2，AD=1，得 AC=BC=，PB=2，PC=3 在PBC中，可得 cosPBC=sinPBC=则三棱锥的表面积为S=7+故答案为：7+14若的展开式中常数项为 43，则 21 【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质【分析】利用（1）n的展开式的项与 x+3的一次项相乘，展开式的常数项与 x+3的常数项相乘，即可得到的展开式中常数项为 43，即可求出 n 的值，再根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（1）n的展开式的通项为 Cnr（2）rx，由题意可得：3Cn0（2）0+Cn2（2）2=43，解得 n=5，则2xdx=x2|=254=21，故答案为：21 15对于函数 y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：（1）f（x）在上是单调的；（2）当定义域是时，f（x）的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数 f（x）=（a 0）存在“和谐区间”，则实数 a 的取值范围是 0 a 1 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料【考点】3E：函数单调性的判断与证明；34：函数的值域【分析】由条件知函数 f（x）在（0，+）和（，0）上分别单调递增，根据和谐区间的定义解方程组，即可【解答】解：由题意可得函数在区间是单调递增的，（，0）或（0，+），则 f（m）=m，f（n）=n，故 m、n 是方程 f（x）=x 的两个同号的不等实数根，即，即方程 ax2（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，mn=，故只需=（a+1）24a20，解得a 1，a 0，0 a 1 故答案为：0 a 1 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数 f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1 （）求 f（x）的最小正周期；（）若 f（x）在区间上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值【考点】HW：三角函数的最值；H1：三角函数的周期性及其求法【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得：函数 f（x）=2+a 可得 f（x）的最小正周期 T （II）由 x，可得2x+，可得进而得出答案【解答】解：（I）函数 f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1=sin2x+cos2x+a=2+a 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 f（x）的最小正周期 T=（II）x，2x+，f（x）a 1+a+2=2，解得 a=17某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分 150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6个科目中自主选择其中 3 个科目参加等级性考试，每门满分 100分，高考录取成绩卷面总分满分 750分为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体 S，从学生群体 S 中随机抽取了 50 名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 5 25 20（I）从所调查的 50 名学生中任选 2 名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（II）从所调查的 50 名学生中任选 2 名，记 X 表示这 2 名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（III）将频率视为概率，现从学生群体 S 中随机抽取 4 名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作 Y，求事件“y2”的概率【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CF：几何概型【分析】（）计算“所选取的 2 名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件 A，利用对立事件的概率公式计算选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率值；（）由题意知 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出 X 的分布列，计算数学期望值；（）计算所调查的 50 名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生人数，求出相应的频率，根据 n 次独立重复实验恰有 k 次发生的概率，求出对应的概率值【解答】解：（）记“所选取的 2 名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件 A，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 则，所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为；（）由题意可知 X 的可能取值分别为 0，1，2；则.，；从而 X 的分布列为：X 0 1 2 p 数学期望为；（）所调查的 50 名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有 25 名，相应的频率为，由题意知，Y；所以事件“Y2”的概率为 18在正三角形 ABC中，E、F、P 分别是AB、AC、BC 边上的点，满足 AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图 1）将AEF沿 EF 折起到A1EF 的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角，连结 A1B、A1P（如图 2）中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 （1）求证：A1E 平面 BEP；（2）求二面角 B 一 A1P 一 F 的余弦值的大小【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定；MR：用空间向量求平面间的夹角【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明 A1E 平面 BEP；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 B 一 A1P 一 F 的余弦值的大小【解答】解：不妨设正三角形 ABC 的边长为 3（1）在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF AE：EB=CF：FA=1：2，AF=AD=2 而A=60，ADF 是正三角形 又 AE=DE=1，EFAD 在图 2 中，A1E EF，BEEF，A1EB 为二面角 A1EFB 的平面角 由题设条件知此二面角为直二面角，A1E BE又 BEEF=E，A1E 平面 BEF，即 A1E 平面 BEP（2）由（1）知，即 A1E 平面 BEP，BEEF 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 以 E 为原点，以 EB、EF、EA1分别为 x、y、z 轴建立如图 3 所示的坐标系如图，因为二面角BA1PF为钝角，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 19已知数列an 是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8（I）求数列an 的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn 的前 n 项和 Tn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（I）设递增的等比数列an 的公比为 q 1，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4解得 a1=1，a4=8，可得 q3=8，解得 q，即可得出（II）Sn=2n1 可得 bn=+（1）nn=+（1）nn 通过分类讨论即可得出【解答】解：（I）设递增的等比数列an 的公比为 q 1，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4 解得 a1=1，a4=8，q3=8，解得 q=2 an=2n 1（II）Sn=2n1 bn=+（1）nn=+（1）nn n=2k（kN*），数列bn的前n项和Tn=+中小学最新教育资料 中小学最新教育资料（）+1+23+（n 1）+n=1+n=2k1（k N*），数列bn 的前 n 项和 Tn=1+n =1 20已知椭圆 C：=1（a b 0），O 是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M 是椭圆上一点，F1MF2的最大值为 （）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 OPOQ（i）求证：为定值；（ii）求OPQ面积的取值范围【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（）利用已知条件求出 a=2，b=1，得椭圆方程（）i）当 OP，OQ 斜率都存在且不为 0 时，设 lOP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2）联立直线与椭圆方程，求出 PQ 坐标，然后求解为定值当 OP，OQ 斜率一个为 0，一个不存在时，验证即可ii）当 OP，OQ 斜率都存在且不为 0 时，表示OPQ面积，利用基本不等式求解面积的范围即可【解答】解：（）由题意椭圆 C：=1（a b 0），O 是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M 是椭圆上一点，F1MF2的最大值为，可得 c=，2b=a，a2=b2+c2，得 a=2，b=1，得椭圆方程为：（）i）当 OP，OQ 斜率都存在且不为 0 时，设 lOP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2）中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 由消y得，同理得，故 当OP，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，得 综上得，得证 （未讨论斜率这扣 1 分）ii）当OP，OQ 斜率都存在且不为0时，=又 所以.当 OP，OQ 斜率一个为 0，一个不存在时，SOPQ=1 综上得（未讨论斜率这扣 1 分）中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 21已知函数 f（x）=lnx+1，a R （1）若关于 x 的不等式 f（x）x 1 在上存在极值，求 a 的取值范围，并判断极值的正负【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由题意可知 a xlnxx2在，若 g（x）在上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）x 1，即 lnx+1 x 1，即 a xlnxx2在；（2）g（x）=+，x，求导 g（x）=+=，设 h（x）=2xxlnx2a，h（x）=2（1+lnx）=1lnx，由 h（x）=0，解得：x=e，当 1 x e 时，h（x）0，当 e x e2，h（x）0，且 h（1）=22a，h（e）=e2a，h（e2）=2a，显然 h（1）h（e2），若 g（x）在上存在极值，则或，当，即 1 a 时，则必定存在 x1，x2，使得 h（x1）=h（x2）=0，且 1 x1x1e2，当 x 变化时，h（x），g（x），g（x）的变化如表，x （1，x1）x1 （x1，x2）x2（x1，e2）h（x）0+0 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 g（x）0+0 g（x）极小值 极小值 当 1 a 时，g（x）在上的极值为 g（x1），g（x2），且 g（x1）g（x2），由 g（x1）=+=，设 （x）=xlnxx+a，其中 1 a，1 x e，则 （x）=lnx0，（x）在（1，e）上单调递增，（x）=（1）=a1 0，当且仅当 x=1时，取等号；1 x1e，g（x1）0，当 1 a，g（x）在上的极值 g（x2）g（x1）0，当，即 0 a 1 时，则必定存在 x3（1，e2），使得 h（x3）=0，易知 g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2 上单调递减，此时，g（x）在上的极大值时 g（x3），即 g（x3）g（e2）=0，当 0 a 1 时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当 0 a 时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，