微分几何练习题库及参考答案(已修改)30604.pdf

微分几何复习题与参考答案 一、填空题 1极限232lim(31)ijkttt138ijk 2设f()(sin)ijttt，2g()(1)ijttte，求0lim()()tf tg t 0 3已知42r()d=1,2,3tt，64r()d=2,1,2tt，2,1,1a，1,1,0b，则4622()()ar t dt+ba r t dt=3,9,5.4已知()r ta（a为常向量），则()r t tac 5已知()r tta，（a为常向量），则()r t 212t ac 6.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和 密切平面_.7.曲率恒等于零的曲线是_ 直线_.8.挠率恒等于零的曲线是_ 平面曲线_.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10.曲线()rr t在 t=2 处有3，则曲线在 t=2处的曲率 k=3 .11.若在点00(,)u v处v0urr，则00(,)u v为曲面的_ 正常_点.12 已知()(2)(ln)f tt jt k，()(sin)(cos)g tt it j，0t，则40()df g dtdt4cos62 13曲线3()2,tr tt t e在任意点的切向量为22,3,tte 14曲线()cosh,sinh,r tat at at在0t 点的切向量为0,a a 15曲线()cos,sin,r tat at bt在0t 点的切向量为0,a b 16设曲线2:,ttC xeyezt，当1t 时的切线方程为2111zeeyeex 17设曲线tttezteytex,sin,cos，当0t 时的切线方程为11zyx.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _.19.u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20.在欧拉公式2212cossinnkkk中，是 方向(d)与 u曲线 的夹角.21.曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是20HK .22已知r(,),u vuv uv uv，其中2,sinutvt，则drdt2cos,2cos,2costtttvtut 23已知r(,)coscos,cossin,sinaaa，其中t，2t，则dr(,)dt sincos2cossin,sinsin2coscos,cosaataata 24 设(,)rr u v为曲面的参数表示，如果0uvrr，则称参数曲面是正则的；如果:()r Gr G 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面 25如果u 曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 26平面r(,),0u vu v的第一基本形式为22dduv，面积微元为d du v 27悬链面r(,)coshcos,coshsin,u vuvuv u第一基本量是22cosh0,coshEuFGu，28曲面zaxy上坐标曲线0 xx，0yy的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x ya xa y.29正螺面(,)cos,sin,r u vuv uv bv的第一基本形式是2222d()duubv 30双曲抛物面r(,)(),(),2u va uvb uvuv的第一基本形式是2222222222(4)d2(4)d d(4)dabvuabuvu vabuv 31正螺面(,)cos,sin,r u vuv uv bv的平均曲率为 0 32方向(d)d:duv是渐近方向的充要条件是22()020nkdLduMdudvNdv或 33.方向(d)d:duv和():uv共轭的充要条件是(,)0()0dr rLduuM duvdvuNdvvII或 34.是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN 35.(d)d:duv是主方向的充要条件是22dddd00dddddvdudvduE uF vL uM vEFGF uG vM uN vLMN或 36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d:d)uv是主方向，则nndnk drk，其中是沿方向(d)的法曲率 37旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面 38 测地曲率的几何意义是曲面 S 上的曲线在 P点的测地曲率的绝对值等于(C)在 P点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率 39,gnk kk之间的关系是222gnkkk 40如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为 cossin22cossinvuEGd=dsE GG Edu=dsEdv=dsG 42曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .二、单项选择题 1已知(),ttr te t e，则r(0)为（A）A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.2已知()()r tr t，为常数，则()r t为（C）A.ta；B.a；C.te a；D.e a.其中a为常向量 3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）A切线与固定方向成固定角；B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直；D副法线与固定方向垂直 4.曲面在每一点处的主方向（A）A至少有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有.5球面上的大圆不可能是球面上的（D）A测地线；B曲率线；C法截线；D渐近线.6.已知r(,),x yx y xy，求(1,2)dr为（D）A.d,d,d2dxyxy；B.dd,dd,0 xyxy；C.d-d,d+d,0 xyxy；D.d,d,2ddxyxy.7圆柱螺线cos,sin,rtt t的切线与z轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角4；D.有固定夹角3.8设平面曲线:()C rr s，s 为自然参数，,是曲线的基本向量叙述错误的是（C）A.为单位向量；B.；C.k；D.k.9直线的曲率为（B）A.-1；B.0；C.1；D.2.10关于平面曲线的曲率:()C rr s不正确的是（D）A.()()k ss；B.()()k ss，为()s的旋转角；C.()k s ；D.()|()|k sr s.11对于曲线，“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（D）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12下列论述不正确的是（D）A.,均为单位向量；B.；C.；D.13对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.142sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与z轴关系为（D）A.垂直；B.平行；C.成3的角；D.成4的角.15椭球面2222221xyzabc的参数表示为（C）A.,coscos,cossin,sinx y z；B.,coscos,cossin,sinx y zab；C.,coscos,cossin,sinx y zabc；D.,coscos,sincos,sin2x y zabc.16曲面2233(,)2,r u vuv uv uv在点(3,5,7)M的切平面方程为（B）A.2135200 xyz；B.1834410 xyz；C.756180 xyz；D.1853160 xyz.17球面(,)cos cos,cos sin,sinr u vRuv Ruv Ru的第一基本形式为（D）A.2222(dsind)Ruu v；B.2222(dcoshd)Ruu v；C.2222(dsinhd)Ruu v；D.2222(dcosd)Ruu v.18正圆柱面(,)cos,sin,r u vRv Rv u的第一基本形式为（C）A.22dduv；B.22dduv；C 222dduRv；D.222dduRv.19 在第一基本形式为222(d,d)dsinhduvuu vI的曲面上，方程为12()uv vvv的曲线段的弧长为（B）A 21coshcoshvv；B 21sinhsinhvv；C 12coshcoshvv；D 12sinhsinhvv 20设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）A 0E；B 0F；C 0G；D 0M 21高斯曲率为零的的曲面称为（A）A极小曲面；B球面；C常高斯曲率曲面；D平面 22曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）A 0；B 1；C2；D 3 23当参数曲线构成正交网时，参数曲线 u-曲线的测地曲率为（B）A 1ln2EuE；B 1ln2EvG；C 1ln2GvE；D 1ln2EuG 24如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）A 直线；B 平面曲线；C 抛物线；D 圆柱螺线 三、判断题（正确打，错误打）1.向量函数()rr t具有固定长度，则()()r tr t.2.向量函数()rr t具有固定方向，则()()r tr t.3.向量函数()r t关于 t 的旋转速度等于其微商的模()r t.4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.6.圆柱面 cos,sin,rRRzz 线是渐近线.7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.9.等距变换一定是保角变换.10.保角变换一定是等距变换.11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 16.曲面上的直线一定是测地线 17.微分方程A(,)B(,)0u v duu v dv表示曲面上曲线族.18.二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v duB u v dudvC u v dv总表示曲面上两族曲线.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里F是第一基本量.20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.22.球面上的圆一定是测地线.23.球面上经线一定是测地线.24.测地曲率是曲面的内蕴量.四、计算题 1求旋轮线)cos1(),sin(tayttax的20 t一段的弧长 解 旋轮线()(sin),(1 cos)r ta tt at的切向量为()cos,sinr taat at，则在20 t一段的弧长为：2200()d21 cos d8sr ttat ta 2求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的切向量、主法向量、副法向量 解 由题意知 ()sincos,cossin,ttr ttttttt ete，()2cossin,2sincos,2ttr tttttttete，在原点，有(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)rr，又()(),rr r rr r rrrrr ，rrrr，所以有22666333(0,),(,),(,)22366333.3圆柱螺线为()cos,sin,r tat at bt，求基本向量,；求曲率 k和挠率.解 ()sin,cos,r tat at b，()cos,sin,0r tatat，又由公式()(),rr r rr r rrrrrrrrr 222211sin,cos,cos,sin,0,sin,cos,at at bttbtbt aabab 由一般参数的曲率公式3()rrk tr及挠率公式2(,)()r rrtrr 有22akab，22bab.4求正螺面(,)cos,sin,r u vuv uv bv的切平面和法线方程 解 cos,sin,0urvv，sin,cos,vruv uv b，切平面方程为 cossincossin00sincosxuvyuvzbvvvuvuvb，sincos0,bv xbu yuzbuv 法线方程为cossinsincosxuvyuvzbvbvbvu 5求球面(,)coscos,cossin,sinraaa 上任一点处的切平面与法线方程 解 sincos,sinsin,cosraaa，cossin,coscos,0raa，312sincossinsincoscossincoscos0eeerraaaaa 2coscoscos,cossin,sina 球面上任意点的切平面方程为 2coscos,cossin,sincoscoscos,cossin,sin0,xayazaa 即coscoscossinsin0 xyza，法线方程为 2(coscos,cossin,sin)cos(coscos,cossin,sin),xayazaa 即coscoscossinsincoscoscossinsinxayaza 6求圆柱螺线cos,sin,xat yat zt在点(,0,0)a处的密切平面.解 ()sin,cos,1,r tat at()cos,sin,0,r tatat 所以曲线在原点的密切平面的方程为 00sincos10cossin0 xayzatat=atat，即sin)(cos)sin0t xt yazat(.7求旋转抛物面22()za xy的第一基本形式 解 参数表示为22(,),()r x yx y a xy，1,0,2xrax，0,1,2yray，2214xxErra x，24xyFr ra xy，221 4yyGr ra y，2222222(d,d)(14)d8d d(14)dxya xxa xy x ya yyI 8求正螺面(,)cos,sin,r u vuv uv bv的第一基本形式 解 cos,sin,0urvv，sin,cos,vruv uv b，1uuErr，0uvFrr，22vvGrrub，2222(d,d)d()duvuubvI 9计算正螺面(,)cos,sin,r u vuv uv bv的第一、第二基本量 解 cos,sin,0urvv，sin,cos,vruv uv b，0,0,0uur，sin,cos,0uvrvv，cos,sin,0vvruvuv，cossin0sin,cos,sincosuvijkrrvvbvbv uuvuvb，22sin,cos,uvuvbvbv urrnrrbu，1uuErr，0uvFrr，22vvGrrub，0uuLrn，22uvbMrnbu，0vvNrn 10计算抛物面22zxy的高斯曲率和平均曲率 解 设抛物面的参数表示为22(,),r x yx y xy，则 1,0,2xrx，0,1,2yry，0,0,2xxr，0,0,0 xyyxrr，0 0 2yyr，1022,2,1012xyijkrrxxyy，222,2,1|441xyxyrrxynrrxy，214xxErrx，4xyFrrxy，21 4yyGr ry，222441xxLrnxy，0 xyMrn，222441yyNrnxy，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LNMxyKEGFxyxyxy，2232222124422(441)GLFMENxyHEGFxy 11.计算正螺面(,)cos,sin,r u vuv uv av的高斯曲率.解 直接计算知 1E，0F，22Gua，0L，22aMua，0N，222222()LNMaKEGFua 12.求曲面2zxy的渐近线.解 2zxy，则2zpyx，2zqxyy，220zrx，22zsyx y，222ztxy 所以，L=0，422214yMyx y，422214xNyx y 渐近线微分方程为24224224201414yxdxdydyyx yyx y，化简得(2)0dyydxxdy，020dyydxxdy或 渐近线为 y=C1，x2y=C2 13.求螺旋面cos,sin,ruv uv bv上的曲率线.解 uvrcos,sin v,0,r u sin v,u cos v,bv 2222uuvvEr1,Frr0,Grub,uv22uvbsin v,bcosv,ubsin v,bcosv,urrnrrbsin v,bcosv,ubu uuuvvvr=0,0,0,r=sin v,cos v,0,rucos v,usin v,0，22bL0,M,N0ub 曲率线的微分方程为:222222dvdudvdu10ub=0b00ub 或dubudv221 积分得两族曲率线方程:222212vln(uub)cvln(ubu)c.和 14.求马鞍面22,ru v uv在原点处沿任意方向的法曲率.解 1,0,2,0,1,2 uvrurv，22214,4,14 uuvEruFr ruv Gv 2222(14)8(14)uduuvdudvvdv uv22uv2u,2v,1rrnrr4u4v1，uu222Ln r,4u4v1uvMn r0,vv222Nn r4u4v1 22222222144144dudvuvuv，2222n22222dudv)14u4vk=(14u)du8uvdudv(14v)dv（.15.求抛物面22()za xy在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即22,(),rx y a xy 1,0,2,0,1,2,xyraxray E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,0,0,2,0,0,0,0,0,2 xxxyyyrarra，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2ak0002ak，所以两主曲率分别为 12kk2a.16.求曲面22,ru v uv在点(1,1)的主方向.解 ur=,u1,02,vr,v=01,2 2214,4,14EuFuv Gv (1,)5(1,)4(1,)5;EFG1=,1=,1=222222,0,4444LMNu+v+1u+v+1 2(1,1)(1,1),(1,1)0,3LNM 代入主方向方程，得()()0dudv dudv,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dvuv.17.求曲面23(,),r u vu v uv上的椭圆点，双曲点和抛物点 解 由23,ru v uv 得ur=,u1,02,2,vr,v=01,3 uuuvvvr=,r=,r=,v0,02,0,00,0,06,242426,0,491491vLMNu+v+u+v+2241241vLNM.u+9v+v0时，是椭圆点；v0时，是双曲点；v=0时，是抛物点.18.求曲面32(,),r u vvuuv上的抛物点的轨迹方程 解 由32(,),r u vvuuv 得ur=u,0,2 1,2,vrv,=30,1 uuuvvvr=,r=,r=v,0,20,0,00,6,0 0,222612,0,vuvLMNEG-FEG-F 令322720uvLNM=.EG-F 得 u=0 或 v=0 所以抛物点的轨迹方程为 r=v,v30或0r=,u,u2.19.求圆柱螺线()cos,sin,r tatat bt自然参数表示.解 由()cos,sin,r tatat bt得sin,cos,rat at b -，22()+,r tab 弧长22220()+=+,ts tab dtab t22,+stab 曲线的自然参数表示为222222()cos,sin,.+sssr saabababab 20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s=(),则主法线曲面为：r=a svs,()+()则,a=a=,b=-k a b=k,2,22b=k+所以腰曲线是222a bkr=a ss=a sskb()-()()+()+21求位于正螺面cos,sin,xuv yuv zav上的圆柱螺线00cos,sin,xuv yuv zav（0u=常数）的测地曲率 解 因为正螺面的第一基本形式为2222d()duuav，螺旋线是正螺面的 v-曲线0uu，由2得d0ds由正交网的坐标曲线的测地曲率得02202ugGukuaG E 五、证明题 1.设曲线：(s),rr证明：2()k-;r,r,r=k.证明 由伏雷内公式，得=k=-,，两式作点积，得=-k=-k,k=-.r=r=k,，2()r=k+k=k+k-k+=-k+k+k 22()()()r,r,r=,k,-k+k+k=,k,k=k.2.设曲线：(s),rr 证明：3()()r,r,r=kk-k.证明 由伏雷内公式，得 r=k，2()r=k+k=k+k-k+=-k+k+k 323()(2)r=-kk+-k+k-k+k+k 232()()(3()(2)r,r,r=k-k+k+k-kk+-k+k-k+k+k 3232()(3()(2)=k+k-kk+-k+k-k+k+k 33432=-k k+k k+k3()=kk-k 3.曲线()rr s是一般螺线，证明1:rRds也是一般螺线（R是曲线的曲率半径）证明 1rRds，两边关于 s 微商，得 11dsRRds1RRRR，1，由于是一般螺线，所以也是一般螺线.4.证明曲线()sin(),s(),(r tat dta cot dtbta,b是常数）是一般螺线 证明 ()sin(),cos(),r tatatb()()cos(),()sin(),0,r tattatt 2()()cos(),sin(),0()sin()cos()0rtatttattt，,22(),rratab32()()r rra bt,，322(),rraktabr222(),r rrbtabrr,kab .5曲面S 上一条曲线(C),P是曲线(C)上的正常点，ngk,k,k分别是曲线(C)在点 P的曲率、法曲率与测地曲率，证明222ngk=k+k 证明 测地曲率()gkkkn(,)knkn sink.(是主法向量与法向量n的夹角)法曲率cosnkknk，222ngk=k+k.6.证明曲线cos,sin,0ttretet的切向量与曲线的位置向量成定角 证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为cos,sin,0ttretet，该点切线的切向量为：(cossin),(sincos),0ttrett ett，则有：22cos22tttr rer re e，故夹角为4.由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角 7证明：若r和r对一切t线性相关，则曲线是直线 证明 若r和r对一切t线性相关，则存在不同时为0 的(),()f tg t使()()()()0f t r tg t r t，则 ,()()0,tr tr t 又3()rrk tr，故t有()0k t.于是该曲线是直线 8 证明圆柱螺线btztaytax,sin,cos的主法线和z 轴垂直相交 证明 由题意有 ()sin,cos,()cos,sin,0r tat at br tatat ，由()()r r rr r rrrr 知cos,sin,0tt.另一方面z轴的方向向量为0,0,1a，而0a，故a，即主法线与z轴垂直 9证明曲线tazttaytaxcos,cossin,sin2的所有法平面皆通过坐标原点 证明 由题意可得()sin 2,cos2,sinr tat atat，则任意点的法平面为 0)cos(sin)cossin(2cos)sin(2sin00000020taztattaytataxta将点（0,0,0）代入上述方程有 左边)cos0(sin)cossin0(2cos)sin0(2sin00000020tatattatatata 0右边，故结论成立 10证明曲线222132225,1xt+t,yttzt 为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明 2221 32225,1rt+t,ttt，3 42 10,2r+t,tt，4 10,2r,，0 0,0r,(,)0r r r,0，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面 (0)32,0r,，(0)4 10,2r,密切平面方程为12132004102xyz，化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z270.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()rr s，定点的向径为0R，则 0()()r sRs 两边求微商，得()()()()ssss k(1()()0ss k 由于,线性无关，100k k0 曲线是直线.12.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为()rr t，则曲面在任一点的密切平面方程为(),(),()0r t r t r t 因任一点的密切平面过定点，所以 (),(),()0or t r t r t,即 (),(),()0r t r t r t 所以()rr t平行于固定平面，所以()rr t是平面曲线.13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.e，两边求导，得 0e，由伏雷内公式得 0ke，)0k，则曲线是直线；)0e 又有可知 e 因e是常向量，所以是常向量，于是|0,所以0，所以曲线为平面曲线.14.设在两条挠曲线,的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 ,21dsds 由伏雷内公式得211dsds 12=进而12 15.证明挠曲线（0）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()rr s，则挠率0，其主法线曲面的方程是：()()r sts 取(),()ar sbs，则(),()kasbs 所以,(,)(),(),k)(),(),k)(),(),)0a b bssssss 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()rr s，则挠率0，其副法线曲面的方程是：()()r sts 取(),()ar sbs，则(),()asbs 所以,(,)(),(),)0a b bss，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线rr(s),则曲线的主法线曲面为r r s+vs=()(),srvkvkv=+（-）=(1-)()vr=s,2,svsvrrvkvn=rrvkv2（1-）-（1-）（）沿曲线（v0）n=，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2ncos0,kk 所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18.证明二次锥面cos,sin,raubucu沿每一条直母线只有一个切平面.证明 cos,sin,cos,sin,0()raubucuu abcu为直纹面 (0,(),()0 ）,所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率 K=0 证明.19.给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角0，则cos0 两边求微商，得 0 由于曲线是曲率线，所以，进而0，由伏雷内公式得0 0时，是一平面曲线 n0，即n，nkcos=0k，又因为是曲率线，所以0ndnk dr 即n是常向量，所以是平面曲线.20求证正螺面上的坐标曲线（即u 曲线族v曲线族）互相垂直 证明 设正螺面的参数表示是(,)cos,sin,r u vuv uv bv，则 cos,sin,0urvv，sin,cos,vruv uv b，cos,sin,0sin,cos,0uvr rvvuv uv b，故正螺面上的坐标曲线互相垂直 21.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式2212cossinnkkk*n1inkk222cos（）+k s（）22 1incosk222s+k 所以*nn12kkkk常数.22.如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.证明 因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有,n 从而(),n又因为曲线是平面曲线，所以0,进一步n.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面()()zf xf y上曲线族 x=常数，y=常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为(,),()(),r x yx y f xf yx=常数,y=常数是两族坐标曲线.1,0,xrf,0,1,yrg.0,0,0,0,0,0,0,xxxyyyrfrrg 因为20 xyxyrrMrEGF,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数,y=常数构成共轭网.24证明马鞍面zxy上所有点都是双曲点 证明 参数表示为(,),r x yx y xy，则 1,0,xry，0,1,yrx，0,0,0 xxr，0,0,1xyr，0,0,0yyr，,1xyrryx，22,1|1xyxyrryxnrrxy，0 xxLrn，2211xyMrnxy，0yyNrn，22222110 0011LNMxyxy ，故马鞍面zxy上所有点都是双曲点 25如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d,d)(d,d)uvuvIII与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的 证明 设球面的参数表示为(,)cos cos,cos sin,sinr u vRvu Rvu Rv，则 cos sin,cos cos,0urRvu Rvu，sin cos,sin sin,cosvrRvuRvu Rv，cos cos,cos sin,0uurRvuRvu，sin sin,sin cos,0uvvurrRvuRvu，cos cos,cos sin,sinvvrRvuRvuRv，22cosuuErrRv，0uvFrr，2vvGrrR，22(,)cosuvuur r rLRvEGF，2(,)0uvuvr r rMEGF，2(,)uvvvr r rNREGF，1(,)(,)L M NE F GR，故球面是全脐的 26证明平面是全脐的 证明 设平面的参数表示为(,),0r x yx y，则 1,0,0 xr，0,1,0yr，0,0,0 xxr，0,0,0 xyr，0,0,0yyr，1xxErr，0 xyFrr，1yyGrr，0 xxLrn，0 xyMrn，0yyNrn(,)0(,)L M NE F G，故平面是全脐的 27证明曲面3xyz的所有点为抛物点 证明 曲面的参数表示为1/3(,),()r x yx y xy，则 2/3131,0,()xrxy，2/3130,1,()yrxy，5/3230,0,()xxrxy，5/3290,0,()xyrxy，5/3290,0,()yyrxy，2/32/31133(),(),1xyrrxyxy，|xyxyrrnrr，5/3290,0,()xxLrnxyn，5/3290,0,()xyMrnxyn，5/3290,0,()yyNrnxyn 20LNM，曲面3xyz的所有点为抛物点 28求证正螺面(,)cos,sin,r u vuv uv av是极小曲面 证明 cos,sin,0urvv，sin,cos,vruv uv a，0,0,0uur，sin,cos,0uvrvv，cos,sin,0vvruvuv，cossin0sin,cos,sincosuvijkrrvvavav uuvuva，22sin,cos,|uvuvavav urrnrrau，1uuErr，0uvFrr，22vvGrrau，0uuLrn，22uvaMrnau，0vvNrn，222222221 02 0()()01210,221()0aauENFMGLauHEGFau 故正螺面是极小曲面 29.圆柱面 cos,sin,rau au v上的纬线是测地线 证明 由 cos,sin,rau au v sin,cos,0ur-auau，0,0,1vr，2,0,1.EaFGcossin22vugEGdkdsE GG E，纬线是 u-线，此时0 或，0.gk 所以，纬线是测地线 30证明极小曲面上的点都是双曲点或平点 证明 1202kkH，12kk，21220Kkkk 当0K 时，120kk，极小曲面的点都是平点；当0K 时，极小曲面的点都是双曲点 31.证明(1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明(1)因为曲线是测地线，所以0gk，曲线又是渐近线，所以，0nk，而222ngkkk，所以 k=0，故所给曲线是直线.(2)证法 1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有n，所以dn，又曲线是曲率线，所以dndr，所以(k)，所以0，故所给曲线是平面曲线.证法 2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,nn 而，所以,n 从而()(0)0nnkn ，又，所以0，故所给曲线是平面曲线.