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用绝对值的几何意义解题 大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示 a 的点到原点的距离；|a b|的 几何意义是：数轴上表示数 a、b 的两点的距离对于某些问题用绝对值的几何 意义来解，直观简捷，事半功倍.、求代数式的最值 例 1 已知 a 是有理数，|a 2007|+|a 2008|的最小值是 _.解：由绝对值的几何意义知，|a 2007|+|a 2008|表示数轴上的一点到 表示数 2007 和 2008 两点的距离的和，要使和最小，则这点必在 20072008 之 间（包括这两个端点）取值（如图 1 所示），故|a 2007|+|a 2008|的最小 值为1.2007 2003 例 2|x 2|x 5|的最大值是 _ 最小值是 _.解：把数轴上表示 x 的点记为 P.由绝对值的几何意义知，|x 2|x 5|表示数轴上的一点到表示数 2 和 5 两点的距离的差，当 P 点在 2 的左边时，其差 恒为一3;当 P 点在 5 的右边时，其差恒为 3;当 P 点在 25 之间（包括这两个 端点）时，其差在一 33 之间（包括这两个端点）（如图 2 所示），因此，|x 2|x 5|的最大值和最小值分别为 3 和一 3.二、解绝对值方程 例 3 方程|x 1|+|x+2|=4 的解为 _.解：把数轴上表示 x 的点记为 P，由绝对值的几何意义知，当一 2 x 1 时,|x 1|+|x+2|恒有最小值 3,所以要使|x 1|+|x+2|=4 成立，则点 P 必在一 2 1 的左边或 1 的右边，且到表示数2 或 1 的点的距离均为 1 个单位（如图 3 所示），故方程|x 1|+|x+2|=4 的解为：5 1 3 x=-2 I,x=1+=1 三、求字母的取值范 例 4 若|x+1|+|2 x|=3,则 x 的取值范围是 _.解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x 2|的最小值为 3,此时 x 在一 12 之间（包括两端点）取值（如图 4 所示），故 x 的取值范围是 Kxa 恒成立，则 a 的取值范围 是.解：由绝对值的几何意义知，|x+2|+|x 4|的最小值为 6,而对于任意数 x,|x+2|+|x 4|a 恒成立，所以 a 的最值范围是 av6.四、解不等式 例 6 不等式|x+2|+|x 3|5 的解集是 _.解：由绝对值的几何意义知，|x+2|+|x 3|的最小值为 5,此时 x 在一 23 之间（包括两端点）取值，若|x+2|+|x 3|5 成立，贝 U x 必在一 2 的左边或 3 的右边取值（如图 5 所示），故原不等式的解集为xv 2 或 x3.五、判断方程根的个数 例 7 方程|x+1|+|x+99|+|x+2|=1996 共有（）个解.A.4;B.3;C.2;D.1 解：当 x 在991 之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意 义知，|x+1|+|x+99|=98,|x+2|v 98.此时,|x+1|+|x+99|+|x+2|v 1996,故|x+1|+|x+99|+|x+2|=1996 时，x 必在991 之外取值，故方程有 2 个 解，选（C）六、综合应用 例 8（第 15 届江苏省竞赛题，初一）已知|x+2|+|1 x|=9|y 5|1+y|,求 x+y 最大值与最小值 解：原方程变形得|x+2|+|x 1|+|y 5|+|y+1|=9,-|x+2|+|x 1|3,|y 5|+|y+1|6,而|x+2|+|x 1|+|y 5|+|y+1|=9,-|x+2|+|x 1|=3,|y 5|+|y+1|二 6,2 x 1,K y 5,故 x+y 的最大值与最小值分别为 6 和 3