2021届高三江西省抚州市临川第一中学高考5月模拟考试数学(理科)试题3427.pdf

2021 年临川一中高三模拟考试试题 理 科 数 学 一、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1复数（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2命题“xR，x20”的否定为（）AxR，x20 BxR，x20 CxR，x20 DxR，x20 3已知集合 A1，2，集合 B0，2，设集合 Cz|zxy，xA，yB，则下列结论中正确的是（）AAC BACC CBCB DABC 4已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A若，m，n，则直线 m 与 n 一定平行 B若 m，n，则直线 m 与 n 可能相交、平行或异面 C若 m，l，则直线 m 与 n 一定垂直 D若 m，n，则直线 m 与 n 一定平行 5已知向量，满足|1，（1，2），且|+|2，则 cos，（）A B C D 6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则“bcosAc0”是“ABC 为锐角三角形”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7设双曲线1（a0，b0）的离心率为，且直线 x（c 是双曲线的半焦距）与抛物线 y24x 的准线重合，则此双曲线的方程为（）A1 B1 C1 D1 8算数书是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 VL2h用该术可求得圆率 的近似值现用该术求得 的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为 27，则该圆锥体积的近似值为（）A B3 C3 D9 9已知3sin()sin()66，则cos2 A17 B17 C1113 D1113 10.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼乐射御书数”为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识竞赛活动,现有六位同学,每位同学准备了六艺”中的一类相关知识,且各不相同,每位同学随机从这六类知识中抽取不同的一项参加回答,则恰有三位同学抽到自己准备的知识的概率为 1.18A 2.15B 1.6C 1.4D 11已知函数222()131xxf xx.若存在(1,4)m使得不等式 2(4)(3)2fmaf mm成立,则实数 a 的取值范围是 A(,7)B(,7 C(,8)D(,8 12设 a，bR，函数 f（x）若函数 yf（x）axb恰有 3 个零点，则（）Aa1，b0 Ba1，b0 Ca1，b0 Da1，b0 二、填空题：（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13二项式（）6的展开式中，常数项为 14已知椭圆 C1：1 与双曲线 C2：1（m0，n0）有相同的焦点 F1，F2，且两曲线在第一象限的交点为 P，若 PF2F1F2，且 a2b，则双曲线 C2的离心率为 15设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x2，若对任意的 xt，t+2，不等式 f（x+t）2f（x）恒成立，则实数 t 的取值范围是 16 一个组合体上部分是一个半球，下部分是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合 若该组合体的体积为V，则当圆柱底面半径 r 时，该组合体的表面积最小 二、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。17已知数列an的前 n 项和为 Sn，a24，Snan+1+2（）证明：数列Sn2为等比数列，并求出 Sn；（）求数列的前 n 项和 Tn 18 如图，在三棱柱111ABCA B C中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，平面ABC平面11AA B B，11A AA B，160A AB，O为AB的中点，M为11AC的中点（1）求证：OM平面11BB C C；（2）求二面角11CBAC的正弦值 19 在平面直角坐标系xOy中，已知动点 M 到定点(2,0)F 的距离与到定直线l：32x 的距离之比为定值2 33（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程；（2）过点 F 作互相垂直的两条直线1l，2l，其中1l交动点 M 的轨迹 E 于 M，N 两点，2l交圆 D：22(4)9xy于 P，Q 两点，点 R 是 P，Q 的中点，求RMN面积的最小值 （第 18 题图）OMCC1B1BA1A20某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达 50 人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单抽签方式如下：将 50 名同学编号，通过计算机从这 50 个编号中随机抽取 30 个编号，然后再次通过计算机从这 50 个编号中随机抽取 30 个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园（1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为Y，求Y的数学期望；（2）设两次都被抽取到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到哪一个值的可能性最大？请说明理由 21已知实数 a0，设函数 f（x）alnx+，x0（）当 a时，求函数 f（x）的单调区间；（）对任意 x，+）均有 f（x），求 a 的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 选考题：选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），以 x轴的非负半轴为极轴，原点 O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线 和（R）分别与曲线 C 相交于 A、B 两点（A，B 两点异于坐标原点）（1）求曲线 C 的普通方程与 A、B 两点的极坐标；（2）求直线 AB 的极坐标方程及ABO 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+2|5（1）解不等式：f（x）|x1|；（2）当 m1 时，函数 g（x）f（x）+|xm|的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围 2021 年临川一中高三模拟考试试题 理科数学答案 DDCCBB DDBACC 13.60 14.15.，+）16.353V 17.【解答】（）证明：由题意，当 n1 时，S1a2+24+24，根据已知条件，Snan+1+2（Sn+1Sn）+2，整理，得 Sn+13Sn4，两边同时减去 2，可得 Sn+123Sn423（Sn2），S12422，数列Sn2是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，Sn223n1，Sn23n1+2，nN*（）解：由（）知，当 n1 时，a1S14，当 n2 时，anSnSn123n1+223n2243n2，故 an，当 n1 时，T1，当 n2 时，Tn+（）1+（）n2+，当 n1 时，T1，Tn，nN*18（1）证明：取11BC中点E，连接BE，11AMC M，1112MEAB，ME11AB，三棱柱111ABCABC，O为AB的中点，1112OBAB，OB11AB，yxzOMCC1B1BA1A,OBME OBME，四边形OMEB为平行四边形，OMBE3 分 OM 平面11BBCC，BE 平面11BBCC，OM平面11BBCC5 分（2）CACB，AOOB，COAB，平面ABC 平面11AABB，平面ABC平面11AAB BAB，CO平面CAB，CO平面11AABB，7 分 11A AAB，160A AB，1AAB为等边三角形，AOOB，1OAAB，1,OA OA OC两两垂直，以1,OA OA OC为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，(1,0,0)A，1(0,3,0)A，(1,0,0)B，(0,0,3)C，1(1,3,3)C (1,0,3)BC，1(1,3,0)BA 设平面1ABC的一个法向量为1111(,)nx y z，11111113030nBCxznBAxy，取13x，得111,1yz 平面1ABC的一个法向量为1(3,1,1)n，9 分 1(1,3,0)BA，1(0,3,3)BC 设平面11ABC的一个法向量2222(,)nxyz，2122212230330nBAxynBCyz，取21y，得223,1xz 平面11ABC的一个法向量为2(3,1,1)n ，11 分 1212123 1 13cos,53 1 1 3 1 1nnn nn n ，124sin,5n n，即二面角11CBAC的正弦值为4512 分 19解：（1）设 M（x，y），由题意得：22(2)2 3332xyx，2 分 即22243(2)()32xyx，化简得 E：2213xy4 分（2）若1l的斜率不存在，则2 33MN，(4,0)R，所以RMN 面积为12 362 323S 5 分 若1l的斜率存在，且不为 0，设为1k，则11:(2)lyk x，代入22:13xEy中并化简得：2222111(13)121230kxk xk，设11(,)M x y，22(,)N x y，则221121212 3(1)113kMNxxkk，7 分 211:(2)lyxk，即120 xk y，所以2122116363611kFRkk，且21631k，得213k，9 分 所以RMN 面积为22112112 3(1)1231kkSk，10 分 令2131(8,)kt ，则2(4)(1)6 35492 3 12 3ttSttt，所以S的最小值为2 3，即RMN 面积的取值范围为2 312 分 20解：（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是303505，1 分 第二次被抽到的概率也是35，且两次相互独立，所以3(2,)5YB，3 分 所以36()255E Y 4 分（2）设两次都被抽到的人数的个数为随机变量X，则1030X（XN），6 分 则303050502030305050()nnnnCCCP XnCC，分 令303050502050!(50)!20!()(50)!(30)!20!(30)!(10)!nnnnnf nCCCn nnnn 250!(30)!(10)!nn n，所以22(1)50!(30)!(10)!()(29)!(1)!(9)!50!f nnn nf nnnn 2(30)(1)(9)nnn，若2(30)(1)(9)909520nnnn，则17n，11 分 所以当17n时，(1)()f nf n；当18n时，(1)()f nf n，所以当18n时，()f n最大，即(18)P X 最大，所以参加打扫图书馆的人数最有可能是 18 人.12 分 21 解：（1）当 a时，f（x），x0，f（x），函数 f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（2）由 f（1），得 0a，当 0a时，f（x），等价于2lnx0，令 t，则 t2，设 g（t）t22t2lnx，t2，则 g（t）（t）22lnx，（i）当 x，+）时，2，则 g（x）g（2）82lnx，记 p（x）42lnx，x，则 p（x），列表讨论：x （，1）1 （1，+）p（x）0+P（x）p（）单调递减 极小值 p（1）单调递增 p（x）p（1）0，g（t）g（22p（x）0（ii）当 x）时，g（t）g（），令 q（x）2lnx+（x+1），x，则 q（x）+10，故 q（x）在，上单调递增，q（x）q（），由（i）得 q（）p（）p（1）0，q（x）0，g（t）g（）0，由（i）（ii）知对任意 x，+），t2，+），g（t）0，即对任意 x，+），均有 f（x），综上所述，所求的 a 的取值范围是（0，22 解：（1）曲线 C 和参数方程为，消去参数 得曲线 C 的普通方程为 x2+y22y0，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 将直线 和 代入圆的极坐标方程得 1，21，A、B 两点的极坐标分别为 A（），B（1，）（2）由 xcos，ysin，得 A（，），B（，），根据两点式方程得直线 AB 的方程为 yx+1，AB 的极坐标方程为 直线 AB 恰好经过圆的圆心，故ABO 为直角三角形，且|OA|，|OB|1，SABO 23 解：（1）由题意知，原不等式等价于 或或,解得 x8 或 或 x2，综上所述，不等式 f（x）|x1|的解集为（，82，+）（2）当 m1 时，则 g（x）|2x+2|5+|x+1|3|x+1|5，此时 g（x）的图象与 x 轴围成一个三角形，满足题意；当 m1 时，则函数 g（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，要使函数 g（x）的图象与 x 轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数 m 的取值范围为