2008年高考数学试卷(天津.文)含详解2977.pdf
梦想不会辜负一个努力的人 all试题 1 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟第 I 卷至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！第 I 卷 注意事项：1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式：如果事件AB，互斥，那么 球的表面积公式24SR ()()()P ABP AP B 球的体积公式343VR 如果事件AB，相互独立，那么 其中R表示球的半径 ()()()P A BP A P B 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合08UxxN，12 45S，35 7T，则UST（）A12 4，B12 3 4 5 7，C 12，D12 4 5 68，2设变量xy，满足约束条件0121.xyxyxy，则目标函数5zxy的最大值为（）A2 B3 C4 D5 3函数1(04)yxx 的反函数是（）A2(1)(13)yxx B2(1)(04)yxx C21(13)yxx D21(04)yxx 4若等差数列 na的前 5 项和525S，且23a，则7a（）A12 B13 C14 D15 5设ab，是两条直线，是两个平面，则ab的一个充分条件是（）梦想不会辜负一个努力的人 all试题 2 Aab，Bab，Cab，Dab，6把函数sin()yx xR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）Asin 23yxxR，Bsin26xyxR，Csin 23yxxR，Dsin 23yxxR，7 设椭圆22221(00)xymnmn，的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A2211216xy B2211612xy C2214864xy D2216448xy 8已知函数20()20 xxf xxx，则不等式2()f xx的解集为（）A11，B2 2，C21，D12，9设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）Aabc Bacb Cbca Dbac 10设1a，若对于任意的2xa a，都有2yaa，满足方程loglog3aaxy，这时a的取值的集合为（）A12aa B2a a C23aa D 2 3，2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第卷 注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3本卷共 12 小题，共 100 分 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 3 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分把答案填在题中横线上 11一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 人 1252xx的二项展开式中3x的系数为 （用数字作答）13若一个球的体积为4 3，则它的表面积为 14已知平面向量(2 4)，a，(12)，b，若()caa b b，则c 15已知圆C的圆心与点(21)P ，关于直线1yx对称直线34110 xy与圆C相交于AB，两点，且6AB，则圆C的方程为 16有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有 种（用数字作答）三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）已知函数2()2cos2sincos1(0)f xxxxxR，的最小正周期是2（）求的值；（）求函数()f x的最大值，并且求使()f x取得最大值的x的集合 18（本小题满分 12 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球 2 次均未命中的概率为116（）求乙投球的命中率p；（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率 19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知3AB，2AD，2PA，2 2PD，60PAB （）证明AD 平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角PBDA的大小 A B C D P 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 4 20（本小题满分 12 分）已知数列 na中，11a，22a，且11(1)nnnaq aqa(20)nq ，（）设1()nnnbaa n*N，证明 nb是等比数列；（）求数列 na的通项公式；（）若3a是6a与9a的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n*N，na是3na与6na的等差中项 21（本小题满分 14 分）设函数432()2()f xxaxxb xR，其中abR，（）当103a 时，讨论函数()f x的单调性；（）若函数()f x仅在0 x 处有极值，求a的取值范围；（）若对于任意的2 2a ，不等式()1f x 在11，上恒成立，求b的取值范围 22（本小题满分 14 分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是1(3 0)F ，一条渐近线的方程是520 xy（）求双曲线C的方程；（）若以(0)k k 为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点MN，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k的取值范围 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 5 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1A 2D 3A 4B 5C 6C 7B 8A 9D 10B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 1110 1210 1312 148 2 1522(1)18xy 16432 （1）设集合|08xxNU，1,2,4,5S，3,5,7T，则()UST （A）1,2,4 （B）1,2,3,4,5,7 （C）1,2 （D）1,2,4,5,6,8 解析：因为1,2,4,6,8TU，所以()1,2,4UST，选 A（2）设变量yx,满足约束条件1210yxyxyx，则目标函数yxz 5的最大值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 解析：如图，由图象可知目标函数yxz 5过点(1,0)A时z取得最大值，max5z，选 D （3）函数1yx（04x）的反函数是 （A）2(1)yx（13x）（B）2(1)yx（04x）（C）21yx（13x）（D）21yx（04x）解析：当04x时，,311x，解1yx 得12()(1)fxx，选 A（4）若等差数列na的前 5 项和525S，且23a，则7a （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 解析：1524545()5()722aaaaSa，所以4272255132aaaada，选 B（5）设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba 的一个充分条件是 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 6（A）,/,ba （B）/,ba （C）/,ba （D）,/,ba 解析：选 C，A、B、D 的反例如图 （6）把函数sinyx（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（A）sin(2)3yx，xR （B）sin()26xy，xR（C）sin(2)3yx，xR （D）sin(2)32yx，xR 解析：选 C,132sinsin()sin(2)33yxyxyx 向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍（7）设椭圆22221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（A）2211216xy （B）2211612xy （C）2214864xy （D）2216448xy 解析：抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除 A、C，由12e 排除 D，选 B（8）已知函数2,0()2,0 xxf xxx，则不等式2()f xx的解集是（A）1,1 （B）2,2 （C）2,1 （D）1,2 解析：依题意得221100001122xxxxxxxxx 或或，选 A （9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则 （A）cba （B）acb （C）acb （D）bac 解析：2sin7a，因为2472，所以220cossin1tan7772，选 D （10）设1a，若对于任意的,2 xaa，都有2,ya a满足方程loglog3aaxy，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 7 这时a的取值集合为（A）2|1aa （B）|2a a （C）3|2aa （D）2,3 解析：易得3ayx，在,2 aa上单调递减，所以22,2yaa，故2122aaaa，选 B （11）一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工_人 解析：依题意知抽取超过 45 岁的职工为258010200（12）52()xx的二项展开式中，3x的系数是_（用数字作答）解析：55 21552()2rrrrrrrTC xC xx，1r，所以系数为 10（13）若一个球的体积为34，则它的表面积为_ 解析：由344 33R得3R，所以2142SR（14）已知平面向量(2,4)a，(1,2)b 若()caa b b，则|c _ 解析：因为(2,4)6(1,2)(8,8)c，所以|8 2c （15）已知圆 C 的圆心与点(2,1)P 关于直线1yx对称直线34110 xy与圆 C相交于BA,两点，且6AB，则圆 C 的方程为_ 解析：圆心的坐标为(0,1)，所以2222(4 11)3185r，圆的方程为22(1)18xy （16）有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10，则不同的排法共有_种（用数字作答）解析：数字之和为 10 的情况有 4，4，1，1、4，3，2，1、3，3，2，2 所以共有44444442218432AAA种不同排法 三、解答题 17本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 8（）解：1 cos2()2sin212xf xx sin 2cos22xx 2 sin2coscos2sin244xx 2sin 224x 由题设，函数()f x的最小正周期是2，可得222，所以2（）解：由（）知，()2sin 424f xx 当4242xk，即()162kxkZ时，sin 44x取得最大值 1，所以函数()f x的最大值是22，此时x的集合为162kx xkZ，18本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，由题意得 221(1()(1)16P Bp，解得34p 或54p（舍去），所以乙投球的命中率为34 解法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，由题意得 1()()16P B P B，于是1()4P B 或1()4P B （舍去），故31()4pP B 所以乙投球的命中率为34（）解法一：由题设和（）知，1()2P A，1()2P A 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为31()4P A A 解法二：由题设和（）知，1()2P A，1()2P A 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为123C()()()()4P A P AP A P A（）解：由题设和（）知，1()2P A，1()2P A，3()4P B，1()4P B 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 9 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次概率分别为 11223C()()C()()16P A P AP B P B，1()()64P A A P B B，9()()64P A A P B B 所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 3191116646432 19本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力满分 12 分（）证明：在PAD中，由题设2PA，2AD，2 2PD，可得222PAADPD，于是ADPA在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA，所以AD 平面PAB （）解：由题设，BCAD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角 在PAB中，由余弦定理得 222cos7PBPAABPA ABPAB 由（）知AD 平面PAB，PB 平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故7tan2PBPCBBC 所以异面直线PC与AD所成的角的大小为7arctan2（）解：过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，连结PE 因为AD 平面PAB，PH 平面PAB，所以ADPH 又ADABA，因而PH 平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，BDPE从而PEH是二面角PBDA的平面角 由题设可得，sin603PHPA，cos601AHPA，2BHABAH，2213BDABAD，413ADHEBHBD 于是在RtPHE中，39tan4PHPEHHE A B C D P H E 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 10 所以二面角PBDA的大小为39arctan4 20本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 12 分（）证明：由题设11(1)(2)nnnaq aqan，得 11()nnnnaaq aa，即 12nnbqbn，又1211baa，0q，所以 nb是首项为 1，公比为q的等比数列（）解：由（），211aa，32aaq，21(2)nnnaaqn 将以上各式相加，得211(2)nnaaqqn 所以当2n时，111111.nnqqaqnq，上式对1n 显然成立（）解：由（），当1q 时，显然3a不是6a与9a的等差中项，故1q 由3693aaaa可得5228qqqq，由0q 得 3611qq ，整理得323()20qq，解得32q 或31q（舍去）于是 32q 另一方面，21133(1)11nnnnnqqqaaqqq，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 11 15166(1)11nnnnnqqqaaqqq 由可得 36nnnnaaaan*N，所以对任意的n*N，na是3na与6na的等差中项 21本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力满分 14 分（）解：322()434(434)fxxaxxxxax 当103a 时，2()(4104)2(21)(2)fxxxxxxx 令()0fx，解得10 x，212x，32x 当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(0)，0 102，12 122，2(2)，()fx 0 0 0 ()f x 极小值 极大值 极小值 所以()f x在102，(2)，内是增函数，在(0)，122，内是减函数（）解：2()(434)fxxxax，显然0 x 不是方程24340 xax的根 为使()f x仅在0 x 处有极值，必须24340 xax 恒成立，即有29640a 解此不等式，得8833a这时，(0)fb是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是8 83 3，（）解：由条件2 2a ，可知29640a，从而24340 xax恒成立 当0 x 时，()0fx；当0 x 时，()0fx 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 12 因此函数()f x在11，上的最大值是(1)f与(1)f 两者中的较大者 为使对任意的2 2a ，不等式()1f x 在11，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1ff，即22baba ，在2 2a ，上恒成立 所以4b，因此满足条件的b的取值范围是4，22本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力满分 14 分（）解：设双曲线C的方程为22221(00)xyabab，由题设得 2295.2abba，解得2245.ab，所以双曲线C的方程为22145xy（）解：设直线l的方程为(0)ykxm k，点11()M xy，22()N xy，的坐标满足方程组 221.45ykxmxy，将式代入式，得22()145xkxm，整理得 222(54)84200kxkmxm 此方程有两个不等实根，于是2540k，且 222(8)4(54)(420)0kmkm 整理得 22540mk 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00()xy，满足 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 13 12024254xxkmxk，002554mykxmk 从而线段MN的垂直平分线的方程为 225145454mkmyxkkk 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为29054kmk，29054mk，由题设可得 22199812 54542kmmkk 整理得 222(54)kmk，0k 将上式代入式得222(54)540kkk，整理得 22(45)(45)0kkk，0k 解得502k或54k 所以k的取值范围是5555004224，
