2008年高考数学试卷(湖北.理)含详解2223.pdf

梦想不会辜负一个努力的人 all试题 1 绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工农医类）本试卷共 4 面，满分 150 分，考试时间 120 分钟 祝考试顺利 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。3.非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本次题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=A.(-15,12)B.0 C.-3 D.-11 2.若非空集合 A,B,C 满足 AB=C，且 B 不是 A 的子集，则 A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充分条件 D.“xC”是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件 3.用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为，则球的休积为 A.38 B.328 C.28 D.332 4.函数 f(x)=)4323(1122xxxxnx的定义域为 A.(-,-4)2,+B.(-4,0)(0,1)C.-4,0（0，1）D.4，0（0，1）5.将函数 y=3sin（x-）的图象 F 按向量（3，3）平移得到图象 F,若 F的一条对称轴是直线 x=4,则的一个可能取值是 A.125 B.125 C.1211 D.1211 6.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A.540 B.300 C.180 D.150 7.若 f(x)=21ln(2)2xbx在(-1,+)上是减函数，则 b 的取值范围是 A.-1，+B.（-1，+）C.（-，-1）D.（-，-1）梦想不会辜负一个努力的人 all试题 2 8.已知 mN*,a,bR，若0(1)limmxxabx,则 ab=A-m Bm C-1 D1 9.过点 A（11，2）作圆22241640 xyxy的弦，其中弦长为整数的共有 A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用 2c1和 2c2分别表示椭轨道和的焦距，用 2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;c1a2a1c1;31cc22ca.其中正确式子的序号是 A.B.C.D.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设 z1=z1-z1(其中 z1表示 z1的共轭复数)，已知 z2的实部是-1，则 z2的虚部为 .12在ABC 中，三个角 A，B，C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .13.已知函数 f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中 xR，a,b 为常数，则方程 f(ax+b)=0 的解集为 .14.已知函数 f(x)=2x,等差数列ax的公差为 2.若 f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则 Log2f(a1)f(a2)f(a)f(a10)=.15.观察下列等式：2122213222111,22111,326111,424nininiinninnninnn 444311111,52330niinnnn 24,(1)(321),3nnnnanban 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 3 212112101,nkkkkkkkkkiiana nanana na 可以推测，当 x2（kN*）时，1111,12kkkaaak ak-2=.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知函数 f(t)=117,()cos(sin)sin(cos),(,).112tg xx fxx fx xt（）将函数 g(x)化简成 Asin(x+)+B（A0，0，0，2）的形式；（）求函数 g(x)的值域.17.（本小题满分 12 分）袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若=a-b,E=1,D=11,试求 a,b 的值.18.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面 ABC侧面 A1ABB1.（）求证：ABBC；（）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为,二面角 A1-BC-A 的大小为的大小关系，并予以证明.19.（本小题满分 13 分）如图，在以点 O 为圆心，|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中，ODAB，P 是半圆弧上一点，POB=30，曲线 C 是满足|MA|-|MB|为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；（）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F.若OEF 的面积不小于22，求直线 l 斜率的取值范围.20.(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为 V（t）=12(1440)50,010,4(10)(341)50,1012.xttetttt（）该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1tt 表示第 1 月份（i=1,2,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e=2.7 计算）.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 4 21.(本小题满分 14 分)已知数列an和bn满足：a1=,an+1=24,(1)(321),3nnnnanban 其中为实数，n 为正整数.（）对任意实数，证明数列an不是等比数列；（）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）设 0ab,Sn为数列bn的前 n 项和.是否存在实数，使得对任意正整数 n，都有 aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 5 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本次题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.设(1,2)a,(3,4)b ,(3,2)c 则(2)ab c A.(15,12)B.0 C.3 D.11 解：2(1,2)2(3,4)(5,6)ab，(2)(5,6)(3,2)3ab c ，选 C 6.若非空集合,A B C满足ABC，且B不是A的子集，则 A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件 D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件 解：xAxC,但是xCxA不能,所以 B 正确。另外画出韦恩图，也能判断 B 选项正确 7.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 A.38 B.328 C.28 D.332 解：截面面积为截面圆半径为 1，又与球心距离为1球的半径是2，所以根据球的体积公式知348 233RV球，故 B 为正确答案 8.函数221()ln(3234)f xxxxxx的定义域为 A.(,42,)B.(4,0)(0.1)C.-4,0)(0,1 D.4,0)(0,1)解：函数的定义域必须满足条件：CAB梦想不会辜负一个努力的人 all试题 6 22220320 4,0)(0,1)34403230 xxxxxxxxxx 5.将函数3sin()yx的图象F按向量(,3)3平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线4x,则的一个可能取值是 A.125 B.125 C.1211 D.1112 解：平移得到图象F，的解析式为3sin()33yx,对称轴方程()32xkkZ，把4x带入得75(1)()1212kkkZ ，令1k ，512 6.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A.540 B.300 C.180 D.150 解：将分成满足题意的份有，与，两种，所以共有223335353322150C CC AAA 种方案，故正确 7.若21()ln(2)2f xxbx 在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是 A.1,)B.(1,)C.(,1 D.(,1)解：由题意可知()02bfxxx ，在(1,)x 上恒成立，即(2)bx x在(1,)x 上恒成立，由于1x ，所以1b ，故为正确答案 8.已知*mN,a bR，若0(1)limmxxabx,则a b Am Bm C1 D1 解：12200(1)(1)limlimmmmmmmxxaC xC xC xxaxx 21101lim()mmmmxamC xC xbx 1,abm a bm 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 7 另外易知1,a 由洛必达法则100(1)(1)limlim1mmxxxamxmbx，所以a bm 9.过点(11,2)A作圆22241640 xyxy的弦，其中弦长为整数的共有 A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 解：圆的标准方程是：222(1)(2)13xy，圆心(1,2)，半径13r 过点(11,2)A的最短的弦长为 10，最长的弦长为 26,（分别只有一条）还有长度为11,12,25的各 2 条，所以共有弦长为整数的22 1532 条。10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭轨道和的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：1122acac;1122acac;121 2c aa c;11ca22ca.其中正确式子的序号是 A.B.C.D.解：由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设211zziz(其中1z表示z1的共轭复数)，已知 z2的实部是1，则 z2的虚部为 .解：设1,zxyi21zbi ，由复数相等 1()()()bixyii xyixyyx i()1byxxy 12在ABC中，三个角,A B C的对边边长分别为3,4,6abc,则coscoscosbcAcaBabC的值为 .解：由余弦定理，原式16369936 1616936612222 13.已知函数2()2f xxxa,2()962f bxxx,其中xR,a b为常数，则方程梦想不会辜负一个努力的人 all试题 8()0f axb的解集为 .解：由题意知22()29622,3.f bxb xbxaxxab 所以 2(23)4850,0fxxx，所以解集为。14.已知函数()2xf x,等差数列xa的公差为2.若246810()4f aaaaa,则 212310log ()()()()f af af af a .解：依题意2468102aaaaa，所以1357925 28aaaaa 1210612310()()()()22aaaf af af af a 212310log ()()()()6f af af af a 15.观察下列等式：2111,22niinn 2321111,326niinnn 34321111,424niinnn 454311111,52330niinnnn 5654211151,621212niinnnn 67653111111,722642niinnnnn 212112101,nkkkkkkkkkiiana nanana na 可以推测，当x2（*kN）时，1111,12kkkaaak 2ka .解：由观察可知当2k 时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以112kka，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 9 第四项均为零，所以20ka。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知函数117(),()cos(sin)sin(cos),(,).112tf tg xx fxx fx xt（）将函数()g x化简成sin()AxB（0A，0，0,2)）的形式；（）求函数()g x的值域.解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（）1 sin1 cos()cossin1 sin1cosxxg xxxxx 2222(1 sin)(1 cos)cossincossinxxxxxx 1 sin1 coscossin.cossinxxxxxx 17,coscos,sinsin,12xxxxx 1 sin1 cos()cossincossinxxg xxxxx sincos2xx 2sin2.4x（）由1712x，得55.443x sint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x（当17,2x），即21sin()222sin()23424xx，故 g(x)的值域为22,3.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 10 17.（本小题满分 12 分）袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若ab,1E,11D,试求 a,b 的值.解：本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分 12 分）解：（）的分布列为：0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 11131012341.5.22010205E 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5)2.75.22010205（）由Da D 2，得 a22.7511，即2.a 又,EaEb所以 当 a=2 时，由 121.5+b,得 b=-2;当 a=-2 时，由 1-21.5+b，得 b=4.2,2ab 或2,4ab 即为所求.18.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面ABC 侧面11A ABB.（）求证：ABBC；（）若直线AC与平面1ABC所成的角为,二面角1ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.解：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分 12 分）（）证明：如右图，过点 A 在平面 A1ABB1内作 ADA1B于D，则 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 11 由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面 A1ABB1=A1B,得 AD平面A1BC,又 BC平面 A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而 BC侧面A1ABB1，又AB侧面 A1ABB1，故 ABBC.（）解法 1：连接 CD，则由（）知ACD是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角，1ABA是二面角 A1BCA 的平面角，即1,ACDABA 于是在 RtADC 中，sin,ADAC 在 RtADB 中，sin,ADAB 由 ABAC，得sinsin，又02，所以，解法 2：由（）知，以点 B 为坐标原点，以 BC、BA、BB1所在的直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0),A(0,c,0),221(,0,0),(0,),CbcAc a于是 221(,0,0),(0,),BCbcBAc a 221(,0),(0,0,).ACbccAAa 设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z)，则 由10,0,n BAn BC得220,0,cyazbc x 可取 n=(0,-a,c)，于是0n ACacAC，与 n 的夹角为锐角，则与互为余角.22sincos,n ACacn ACb ac 1221cos,BA BAcBABAac 所以22sin,aac 于是由 cb，得2222,acab acac 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 12 即sinsin,又0,2，所以,19.（本小题满分 13 分）如图，在以点O为圆心，|4AB 为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足|MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线 l 与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于2 2，求直线l斜率的取值范围.解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分 13 分）（）解法 1：以 O 为原点，AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则 A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（1,3），依题意得 MA-MB=PA-PB221321)32(2222）（AB4.曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，则 c2，2a22，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线 C 的方程为12222yx.解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PB AB4.曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为abyax(122220，b0）.则由 .4,11)3(222222baba解得 a2=b2=2,曲线 C 的方程为.12222yx 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 13 ()解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，22210(4)4 6(1)0kkk 1,33kk (3,3)1kk 且 设 E（x，y），F(x2,y2)，则由式得 x1+x2=kxxkk16,14212,于是 EF2212221221)(1()()(xxkxyxx.132214)(1222212212kkkxxxxk 而原点 O 到直线 l 的距离 d212k，SDEF=.132213221122121222222kkkkkkEFd 若OEF 面积不小于 22,即 SOEF22，则有 解得.22,022213222422kkkkk 综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为 2,21kk 且 解法2：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得（1-K2）x2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 14 22210(4)4 6(1)0kkk 133kk.(3,3)1kk 且.设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得 x1-x2=.132214)(22221221kkkxxxx 当 E、F 在同一去上时（如图 1 所示），SOEF;21212121xxODxxODSSODEODF 当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示）.ODFOEFSSSODE=.21)(212121xxODxxOD 综上得SOEF,2121xxOD于是 由OD2 及式，得 SOEF=.132222kk 若OEF 面积不小于 2则有即,22,2OEFS.22,02213222422kkkkk解得 综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为2,21kk 且 20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 15 124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.xttetV tttt （）该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以1iti 表示第 1 月份（1,2,12i）,同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取2.7e 计算）.解：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分 12 分）（）当010t 时，124()(1440)5050 xV ttte，化简得214400tt,解得4t，或10t，又010t，故04t.当1012t 时，()4(10)(341)5050V ttt，化简得(10)(341)0tt,解得41103t，又1012t,故1012t.综合得04t,或1012t；故知枯水期为 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月共 5 个月.()()知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由 V（t）=),8)(2(41)42341(41241ttcttctt 令 V(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去).当 t 变化时，V(t)与 V(t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)极大值 由上表，V(t)在 t8 时取得最大值 V(8)8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米 21.(本小题满分 14 分)已知数列na和 nb满足：1a,124,(1)(321),3nnnnnaanban 其中为实数，n为正整数.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 16（）对任意实数，证明数列na不是等比数列；（）试判断数列 nb是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab,nS为数列 nb的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 naSb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分 14 分）（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有 a22=a1a3,即,094949494)494()332(222矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为 bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(32an-2n+14)=32(-1)n（an-3n+21）=-32bn 又 b1x-(+18),所以 当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18 时，b1=(+18)0,由上可知 bn0，321nabb(nN+).故当-18 时，数列bn是以（18）为首项，32为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知 bn=-（+18）（32）n-1，于是可得 Sn=-.321)18(53n）（要使 aSnb 对任意正整数 n 成立，即 a-53(+18)1（32）nb(nN+)，则令得)2(1)()32(1)18(53)32(1nfbann 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 17 当 n 为正奇数时，1f(n),1)(95;35nfn为正偶数时，当 f(n)的最大值为 f(1)=35,f(n)的最小值为 f(2)=95,于是，由式得95a-53(+18),.1831853abb 当 a3a 存在实数，使得对任意正整数 n,都有 aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）