2020年5月江西省南昌市2020届高三第二次模拟考试数学(文科)试题及答案4029.pdf

第二次模拟测试卷 文科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 3非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4考生必须保证答题卡整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数113zi，23zi，12zzz，则z（）A3 B2 C2 3 D4 2集合24Ax yx，24By yx，则AB（）A B2,2 C0,2 D2 3已知空间内两条不同的直线 a，b，则“/ab”是“a 与 b 没有公共点”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 l11n1,xxf xxx，则不等式 1f x 的解集是（）A,e B2,C1,e D2,e 5已知函数 xxf xeaeaR的图象关于原点对称，则 f a（）A1ee B1 C1ee D1ee 6已知ABC中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若2ac，sin2cos2AC，则角 A 等于（）A6 B3 C2 D23 7已知a、b为不共线的两个单位向量，且a在b上的投影为12，则2ab（）A3 B6 C5 D7 8直线2sin0 xy被圆222 520 xyy截得最大弦长为（）A2 5 B2 3 C3 D2 2 9函数 lnxxfxxe的图象大致为（）A B C D 10已知抛物线2:4C yx的焦点为 F，,AAA xy是抛物线上一点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为B，若32AFBF，则Ay（）A3 B3 2 C4 D4 2 11春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆桔槔，后发展成辘轳19 世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在 A 处测得 B 处的仰角为 37 度，在 A 处测得 C 处的仰角为 45 度，在 B 处测得C 处的仰角为 53 度，A 点所在等高线值为 20 米，若 BC 管道长为 50 米，则 B 点所在等高线值为（参考数据3sin375）A30 米 B50 米 C60 米 D70 米 12已知函数 sin06fxx在区间0,上有且仅有 2 个最小值点，下列判断：f x在0,上有 2 个最大值点；f x在0,上最少 3 个零点，最多 4 个零点；333,7；f x在50,33上单调递减其中所有正确判断的序号是（）A B C D 二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若变量 x，y 满足约束条件1310yxyxy ，则目标函数zxy的最大值为_ 14已知函数 lnf xx，1f af b，则ab的最小值为_ 15已知1F，2F分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，以21FF为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为 P，若122PFPF，则双曲线的离心率为_ 16已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，PD 平面 ABCD，6PD，E 为 PD 中点，过 EB 作平面分别与线段 PA、PC 交于点 M，N，且/AC，则PMPA_，四边形 EMBN 的面积为_ 三解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17（12 分）甲、乙两位战士参加射击比赛训练从若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记录如下：甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85（）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数；（）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位战士参加合适？请说明理由 18（12 分）已知等差数列 na的公差为0d d，前 n 项和为nS，且满足_（从101051Sa1a，2a，6a成等比数列；535S，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选 择解决问题）（）求na（）若12nnb，求数列nna b的前 n 项和nT 19（12 分）如图所示，四棱柱1111ABCDABC D，底面 ABCD 是以 AB，CD 为底边的等腰梯形，且24ABAD，60DAB，1ADD D （）求证：平面11D DBB 平面 ABCD；（）若112D DD B，求三棱锥1DCC B的体积 20（12 分）已知函数 1xfXexaaR（）讨论 f x在区间 1,2上的单调性；（）若 af xe恒成立，求实数 a 的最大值（e 为自然对数的底）21（12 分）已知椭圆22:1124yxE，过点0,2P的两条不同的直线与椭圆 E 分别相交于 A，B 和 C，D 四点，其中 A 为椭圆 E 的右顶点（）求以 AB 为直径的圆的方程：（）设以 AB 为直径的圆和以 CD 为直径的圆相交于 M，N 两点，探究直线 MN 是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 E 顶点在坐标原点，焦点为1,0以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（）求抛物线 E 的极坐标方程；（）过点3,2A倾斜角为的直线 l 交 E 于 M，N 两点，若2ANAM，求tan 23（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 1afxaxxxx，22g xxaxaR（）当1a 时，求不等式 3f xg x的解集；（）求证：f xg x 参考答案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A A A C D D C D B A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 133 142 e 1553 1623；3 6 三解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答 17【解析】（）作出茎叶图如下：从茎叶图中得出甲的中位数为8284832，而乙的中位数为8385842；（茎叶图 3 分)5 分（）170280490289 124835858x 甲，170 1 80490 350035025858x 乙，22222222217885798581 85828584858885938595858S甲35.5，2222222221758580858085838585859085928595858S乙41，（均值各 1 分，方差各 1.5 分)10 分 xx甲乙，22ss甲乙，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得 85 以上（含 85 分）的概率138p，乙获得 85 分以上（含 85 分）的概率24182P，21PP，所以派乙参赛比较合适 12 分 18【解析】（）由101051Sa，得1110 9105912adad，即11a；由1a，2a，6a成等比数列，得2216aa a，222111125aa ddaa d，即13da 由535S，得15355352aaa，即3127aad；（每个条件转化 1.5 分）选择、条件组合，均得13a、3d，即32nan 6 分（）234147103222222nnnT，2345111471035322222222nnnnnT，两式相减得：23411111113232222222nnnnT，9 分 得2311111132132341 31 3 1422222222nnnnnnnnnT 12 分 19【解析】（）ABD中，4AB，2AD，60DAB，得2 3BD，2 分 则222ADBDAB，即ADBD，4 分 而1ADD D，故AD 平面11D DBB，又AD 面 ABCD，所以平面11D DBB 平面 ABCD 6 分（）取 BD 的中点 O，由于11D DD B，所以1DOBD，由（）可知平面11D DBB 面 ABCD，故1DO 面 ABCD 因为12D D，3DO，则11DO，因为11/DC平面 ABCD，9 分 所以111113D CC BCDCBDDCBBCDVVVODS 11133sin2 232623BCDCCBD 12 分 20【解析】（）xfxexa，,xa 时，0fx,xa时，0fx 当1a 时，f x在 1,2上单调递增；当12a时，f x在1,a上单调递减，,2a上递增；当2a 时，f x在 1,2的单调递减；（每段讨论 1.5 分)6 分（）10 xag xexae，即 min0g x，由（）知：g x在,xa 上递减，在,xa上递增，则 min0g xg a，即10aea，9 分 令 1xh xex，110 xh xe，即 1xh xex在 R 单调递增，而 1 1110he ，101ah aeah，所以1a，即 a 的最大值为1 12 分 21【解析】（）由已知2,0A，则02120ABk，故 AB 方程：2yx，联立直线 AB 与椭圆方程，消去 y 可得：24120yy，得3By ，即1,3B ，从而以 AB 为直径的圆方程为：21030 xxyy，即22320 xyxy 4 分（）（1）当 CD 斜率存在时，并设 CD 方程：2ykx，设11,C x y，22,D xy 由2211242yxykx，消去 y 得：223480kxkx，故12243kxxk，1283x xk，从而121221243yyk xxk，2212121212212 122243ky ykxkxk x xk xxk，7 分 而以 CD 为直径的圆方程为：12120 xxxxyyyy，即22121212120 xyxxxyyyx xy y，且以AB 为直径的圆方程为22320 xyxy，将两式相减得直线12121212:1320MNxxxyyyx xy y，即22243331010kkxkyk，可得：13331010kk xkyk，两条直线互异，则1k，即 33103100 xyyxk，9 分 令331003100 xyyx，解得0103xy，即直线 MN 过定点100,3；10 分（2）当 CD 斜率不存在时，CD 方程：0 x，知0,2 3C，0,2 3D，则以 CD 为直径的圆为2212xy，而以 AB 为直径的圆方程22320 xyxy，两式相减得 MN 方程：3100 xy，过点100,3；综上所述，直线 MN 过定点100,3 12 分 22【解析】（）由题意抛物线 E 的焦点为1,0，所以标准方程为24yx，故极坐标方程为2sin4cos0 4 分（）设过点 A 的直线 l 参数方程为3cos2sinxtyt（t 为参数），代入24yx，化简得22sin4sin4cos80tt，1224sin4cossintt，1228sintt，且224sin4cos32sin0 6 分 由2ANAM，A 在 E 内部，知212tt，2121282sinttt 得122sin2sintt 或122sin4sintt，所以，当1224sin4cos2sinsintt 时，解得tan2，所以，当1224sin4cos2sinsintt时，解得2tan3 （每个结果 1.5 分）所以tan2或2tan3 10 分 23【解析】（）当1a 时，不等式为123xx，平方得224489xx，则4241740 xx，得2144x，即122x 或122x，所以，所求不等式的解集112,222；5 分（）因为 1111aaf xaxxaxxaxxxxxx 1121axax，又 222221g xxaxxaxa，所以，不等式 f xg x得证