点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析19218.pdf

-.z.【知识梳理】1四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面，则这条直线在此平面。符号语言：,Al BlABl 且。公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线两个平面的交线。符号语言：,PPl Pl且。公理 4：平行线的传递性平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：/,/alblab且。2空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面的两条直线叫做异面直线。两条异面直线,a b，经过空间任意一点 O 作直线/,/aa bb，我们把a与b所成的角或直角叫异面直线,a b所成的夹角。易知：夹角围090 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。注意：会画两个角互补的图形 2.位置关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 3空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有三种：/llAl直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 4空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：/l两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线 直线、平面平行的判定及其性质 1.容归纳总结 1四个定理-.z.定理 定理容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面 平行的判定 平面外的一条直线与平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行,/ababa且 在平面“找出一条直线与直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题转化为“平面问题 平面与平面 平行的判定 一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行,/,/ababP ab 判定的关键：在一个平面“找出两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题转化为“线面平行问题 直线与平面 平行的性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行/,/aabab 平面与平面 平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行/,/abab 直线、平面平垂直的判定及其性质 1.容归纳总结 一根本概念 1.直线与平面垂直：如果直线l与平面的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面垂直，记作l。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面的公共点P叫做垂足。2.直线与平面所成的角：角的取值围：090。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值围：0180；两个平面垂直：直二面角。二四个定理 定理 定理容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面 垂直的判定 一条直线与一个平面的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。,mnmnPam ana、且 在平面“找出两条相交直线与直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直转化为“线线垂直 平面与平面 垂直的判定 一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。,aa满足条件与垂直的平面有无数个 判定的关键：在一个平面“找出两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题转化为“线面平行问题 直线与平面 垂直的性质 同垂直与一个平面的两条直线平行。,/abab 平面与平面 垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面垂直与交线的直线与另一个平面垂直。,l aala 解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面作两平面交线的垂线-.z.【经典例题】典型例题一 例 1 简述以下问题的结论，并画图说明：1直线a平面，直线Aab，则b和的位置关系如何.2直线a，直线ab/，则直线b和的位置关系如何.分析：1由图1可知：b或Ab；2由图2可知：/b或b 说明：此题是考察直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法 典型例题二 例 2P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：/PC平面BDQ 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面找到一条直线和直线平行就可以了 证明：如以下图，连结AC，交BD于点O，四边形ABCD是平行四边形 COAO，连结OQ，则OQ在平面BDQ，且OQ是APC的中位线，OQPC/PC在平面BDQ外，/PC平面BDQ 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面找一条直线与直线平行，怎样找这一直线呢.由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过直线作一平面与平面相交，如果能证明直线和交线平行，则就能够马上得到结论这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，假设线线平行，则线面平行 典型例题三 例 3 经过两条异面直线a，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行.并证明你的结论 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论 解：1当P点所在位置使得a，P或b，P本身确定的平面平行于b或a时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；2当P点所在位置a，P或b，P本身确定的平面与b或a不平行时，可过点P作aa/，bb/由于a，b异面，则a，b不重合且相交于P由于Pba，a，b确定的平面，则由线面平行判定定理知：/a，/b可作一个平面都与a，b平行 故应作“0 个或 1 个平面 说明：此题解答容易无视对P点的不同位置的讨论，漏掉第1种情况而得出可作一个平面的错误结论可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进展分类讨论 典型例题四 例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条直线也平行于这个平面：直线ba/，/a平面，b 求证：/b-.z.证明：如以下图，过a及平面一点A作平面 设c，/a，ca/又ba/，cb/b，c，/b 说明：根据判定定理，只要在找一条直线bc/，根据条件/a，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面为依据来做出辅助平面的 典型例题五 例 5 四面体ABCS 的所有棱长均为a求：1异面直线ABSC、的公垂线段EF及EF的长；2异面直线EF和SA所成的角 分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解 解：1如图，分别取ABSC、的中点FE、，连结CFSF、由，得SABCAB CFSF，E是SC的中点，SCEF 同理可证ABEF EF是ABSC、的公垂线段 在SEFRt中，aSF23，aSE21 22SESFEF aaa22414322 2取AC的中点G，连结EG，则SAEG/EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角 连结FG，在EFGRt中，aEG21，aGF21，aEF22 由余弦定理，得-.z.22222124142412cos222222aaaaaEFEGGFEFEGGEF 45GEF 故异面直线EF和SA所成的角为45 说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值 典型例题六 例 6 如果一条直线与一个平面平行，则过这个平面的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面：直线/a，B，bB，ab/求证：b 分析：由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，此题就是要证明，在平面外，不存在过B与a平行的直线，这是否认性命题，所以使用反证法 证明：如以下图，设b，过直线a和点B作平面，且b/a，/b 这样过B点就有两条直线b和b同时平行于直线a，与平行公理矛盾 b必在 说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下表达方式 如上图，过直线a及点B作平面，设b/a，/b 这样，b与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，b与b重合b，b 典型例题七 例 7 以下命题正确的个数是 (1)假设直线l上有无数个点不在平面，则/l；(2)假设直线l平行于平面的无数条直线，则/l；(3)假设直线l与平面平行，则l与平面的任一直线平行；(4)假设直线l在平面外，则/l A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 分析：此题考察的是空间直线与平面的位置关系对三种位置关系定义的准确理解是解此题的关键要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面来分类 解：(1)直线l上有无数个点不在平面，并没有说明是所在点都不在平面，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交解题时要注意“无数并非“所有(2)直线l虽与无数条直线平行，但l有可能在平面，所以直线l不一定平行(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到当/l时，假设m且lm/，则在平面，除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线(4)直线l在平面外，应包括两种情况：/l和l与相交，所以l与不一定平行-.z.应选 A 说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面如直线l、m都平行于，则l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线ml/、/l，则m与的位置关系可能是平行，可能是m在 典型例题八 例 8 如图，求证：两条平行线中的一条和平面相交，则另一条也与该平面相交：直线ba/，Pa平面求证：直线b与平面相交 分析：利用ba/转化为平面问题来解决，由ba/可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用 解：ba/，a和b可确定平面 Pa，平面和平面相交于过点P的直线l 在平面l与两条平行直线a、b中一条直线a相交，l必定与直线b也相交，不妨设Qlb，又因为b不在平面假设b在平面，则和都过相交直线b和l，因此与重合，a在，和矛盾 所以直线b和平面相交 说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否认直线在平面以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交此结论可用反证法证明 典型例题九 例 9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行：a与b是异面直线求证：过b且与a平行的平面有且只有一个 分析：此题考察存在性与唯一性命题的证明方法 解题时要理解“有且只有的含义“有就是要证明过直线b存在一个平面，且/a，“只有就是要证满足这样条件的平面是唯一的存在性常用构造法找出或作出平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论 证明：(1)在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面 在平面过点A作直线a，使aa/，则a和b为两相交直线，所以过a和b可确定一平面 b，a与b为异面直线，a 又/aa，a，/a 故经过b存在一个平面与a平行-.z.(2)如果平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知也是经过相交直线b和a的 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，即满足条件的平面是唯一的 说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面且与a平行，同样过a也存在一平面且与b平行而且这两个平面也是平行的以后可证 对于异面直线a和b的距离，也可转化为直线a到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法 典型例题十 例 10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行：l，/a，/a，求证：la/分析：此题考察综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a分别和两平面的*些直线平行，即线面平行可得线线平行 然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a与l平行 证明：在平面取点P，使lP，过P和直线a作平面交于b/a，a，b，ba/同理过a作平面交于c/a，a，c，ca/cb/b，c，/b 又b，l，lb/又ba/，la/另证：如图，在直线l上取点M，过M点和直线a作平面和相交于直线1l，和相交于直线2l/a，1/la，/a，2/la，-.z.但过一点只能作一条直线与另一直线平行 直线1l和2l重合 又1l，2l，直线1l、2l都重合于直线l，la/说明：“线线平行与“线面平行在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要 典型例题十一 例 11 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q，且DQAP 求证：/PQ面BCE 分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行关键是在平面BCE中如何找一直线与PQ平行可考察过PQ的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同 证明一：如图，在平面ABEF过P作ABPM/交BE于M，在平面ABCD过Q作ABQN/交BC于N，连结MN ABPM/，AEPEABPM 又CDABQN/，BDBQDCQN，即BDBQABQN 正方形ABEF与ABCD有公共边AB，DBAE DQAP，BQPE QNPM 又ABPM/，ABQN/，QNPM/四边形PQNM为平行四边形 MNPQ/又MN面BCE，/PQ面BCE-.z.证明二：如图，连结AQ并延长交BC于S，连结ES ADBS/，QBDQQSAQ 又正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB，DBAE，DQAP，QBPE QSAQQBDQPEAP ESPQ/，又ES面BEC，/PQ面BEC 说明：从此题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面找一直线与直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定此题中我们可以把“两个有公共边的正方形这一条件改为“两个全等的矩形，则题中的结论是否仍然成立.典型例题十二 例 12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点：a，b，c 求证：a、b、c互相平行或相交于一点 分析：此题考察的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系 证明：a，b，ba、a与b平行或相交 假设ba/，如图 b，a，/a 又c，a，ca/cba/假设a与b相交，如图，设Oba，aO，bO 又a，b O，O-.z.又c，cO 直线a、b、c交于同一点O 说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD中，M、N分别是1CC、11BA的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形.典型例题十三 例 13 空间四边形ABCD，ACAB，AE是ABC的BC边上的高，DF是BCD的BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线 证法一：定理法如图 由题设条件可知点E、F不重合，设BCD所在平面 DFEEADFAE和DF是异面直线 证法二：反证法 假设AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为(1)假设E、F重合，则E是BC的中点，这与题设ACAB 相矛盾(2)假设E、F不重合，EFB，EFC，EF，BC A，D，A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾 综上，假设不成立 故AE和DF是异面直线 说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装.对于这个问题，同学们可试验做一做 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的 则你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢.用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则 9 个单数之和仍为单数，与36 这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题 典型例题十四 例 14AB、BC、CD是不在同一平面的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行 分析：欲证明AC/平面EFG，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC平行平面EFG的一条直线，由图可知，只须证明EFAC/证明：如图，连结AE、EG、EF、GF 在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点 EFAC/于是AC/平面EFG-.z.同理可证，BD/平面EFG 说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理 典型例题十五 例 15 空间四边形ABCD，P、Q分别是ABC和BCD的重心，求证：ACDPQ平面/分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的*条直线平行，根据条件，此直线为AD，如图 证明：取BC的中点E P是ABC的重心，连结AE，则13PEAE，连结DE，Q为BCD的重心，13QEDE，在AED中，ADPQ/又ACDAD平面，ACDPQ平面，ACDPQ平面/说明：(1)本例中构造直线AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件：P、Q分别是ABC和BCD的重心，借助于比例的性质证明ADPQ/，该种方法经常使用，望注意把握(2)“欲证线面平行，只须证线线平行判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法根据问题具体情况要熟练运用 典型例题十六 例 16 正方体1111DCBAABCD 中，E、G分别是BC、11DC的中点如以以下图 求证：DDBBEG11/平面 分析：要证明DDBBEG11/平面，根据线面平等的判定定理，需要在平面DDBB11找到与EG平行的直线，要充分借助于E、G为中点这一条件 证明：取BD的中点F，连结EF、FD1 E为BC的中点，EF为BCD的中位线，则DCEF/，且CDEF21 G为11DC的中点，-.z.CDGD/1且CDGD211，GDEF1/且GDEF1，四边形GEFD1为平行四边形，EGFD/1，而111BBDDFD平面，11BBDDEG平面，11/BBDDEG平面 典型例题十七 例 17 如果直线平面/a，则直线a与平面的 A一条直线不相交 B两条相交直线不相交 C无数条直线不相交 D任意一条直线都不相交 解：根据直线和平面平行定义，易知排除 A、B对于 C，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，C也不正确，应排除 C 与平面任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面平行，D 正确 应选 D 说明：此题主要考察直线与平面平行的定义 典型例题十八 例 18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A一定平行 B一定相交 C一定异面 D相交或异面 解：如图中的甲图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系 综上，可知应选 D 说明：此题主要考察有关平面、线面平行等根底知识以及空间想象能力 典型例题十九 例 19a、b是两条异面直线，以下结论正确的选项是 A过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行 B过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b相交 C过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b都平行 D过a可以并且只可以作一平面与b平行 解：A 错，假设点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与平行了 B 错，假设点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a，b相交 C 错，假设这样的直线存在，根据公理 4 就可有ba/，这与a，b异面矛盾 D 正确，在a上任取一点 A，过 A 点做直线bc/，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的 应选 说明：此题主要考察异面直线、线线平行、线面平行等根本概念 典型例题二十 例 20(1)直线ba/，平面/a，则b与平面的位置关系是_-.z.(2)A是两异面直线a、b外的一点，过A最多可作_个平面同时与a、b平行 解：(1)当直线b在平面外时，/b；当直线b在平面时，b 应填：/b或b(2)因为过A点分别作a，b的平行线只能作一条，分别称a，b经过a，b的平面也是惟一的所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了 应填：1 说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答此题的关键 典型例题二十一 例 21 如图，/a，A是的另一侧的点，aDCB,，线段AB，AC，AD交于E，F，G，假设4BD，4CF，5AF，则EG=_ 解：/a，ABDEG平面 EGa/，即EGBD/，FCAFAFBDEGCDBCFGEFACAFCDFGBCEF 则9204545FCAFBDAFEG 应填：920 说明：此题是一道综合题，考察知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等同时也考察了综合运用知识，分析和解决问题的能力【课堂练习】1.假设直线 a 不平行于平面，则以下结论成立的是 A.所有的直线都与 a 异面；B.不存在与 a 平行的直线；C.所有的直线都与 a 相交；D.直线 a 与平面有公共点.2.两个平面垂直，以下命题 一个平面的直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面的直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 3.空间四边形 ABCD 中，假设ABADACCBCDBD，则AC与BD所成角为 A、030 B、045 C、060 D、090 4.给出以下命题：1直线 a 与平面不平行，则 a 与平面的所有直线都不平行；2直线 a 与平面不垂直，则 a 与平面的所有直线都不垂直；3异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直；4假设直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面-.z.其中错误命题的个数为 A0 B 1 C2 D3 5正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有 条 A 3 B 4 C 6 D 8 6.点 P 为ABC 所在平面外一点，PO平面 ABC，垂足为 O，假设 PA=PB=PC，则点 O 是ABC 的 A心 B外心 C重心 D垂心 7.如图长方体中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角 C1BDC 的大小为 A300 B450 C600 D900 8.直线 a,b,c 及平面,以下命题正确的选项是 A、假设 a，b,ca,cb 则 c B、假设 b,a/b 则 a/C、假设 a/,=b 则 a/b D、假设 a,b 则 a/b 9.平面与平面平行的条件可以是 A.有无穷多条直线与平行；B.直线 a/,a/C.直线 a,直线 b,且 a/,b/D.的任何直线都与平行 10、a,b 是异面直线，下面四个命题：过 a 至少有一个平面平行于 b；过 a 至少有一个平面垂直于 b；至多有一条直线与 a，b 都垂直；至少有一个平面与 a，b 都平行。其中正确命题的个数是 选择题答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 11.直线 a/平面，平面/平面，则 a 与的位置关系为.12直线 a直线 b,a/平面,则 b 与的位置关系为.13 如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，PA平面 ABC，此图形中有个直角三角形 14.、是两个不同的平面，m、n 是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断：m n m n 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：_.三、解答题本大题共 3 小题，每题 10 分，共 30 分 15如图，PA平面 ABC，平面 PAB平面 PBC 求证：AB BC 16在三棱锥 S-ABC 中，AB=AC，O 是 BC 的中点，平面 SAO平面 ABC 求证：SAB=SAC 17如图，PA平面 ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=21求证：平面 AEF平面 PBC；2求二面角 PBCA 的大小；3求三棱锥 PAEF 的体积.P A B C A B C P A C P E F A B C D A1 B1 C1 D1 A B O C S-.z.【课后作业】一、选择题 1给出以下关于互不一样的直线m、l、n和平面、的四个命题：假设不共面与则点mlmAAlm,；假设m、l是异面直线，nmnlnml则且,/,/；假设mlml/,/,/,/则；假设./,/,/,则点mlAmlml 其中为假命题的是 A B C D 2.设,为两两不重合的平面，nml,为两两不重合的直线，给出以下四个命题：假设，则|；假设m，n，|m，|n，则|；假设|，l，则|l；假设l，m，n，|l，则nm|其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D4 3m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题：假设/,则mm；假设/,则；假设/,/,则nmnm；假设m、n是异面直线，/,/,/,则nnmm。其中真命题是 A和 B和 C和 D和 4直线nml、及平面，以下命题中的假命题是 A假设/lm，/mn，则/ln.B假设l，/n，则ln.C假设lm，/mn，则ln.D假设/l，/n，则/ln.5在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC 6有如下三个命题：分别在两个平面的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直 其中正确命题的个数为 A0 B1 C2 D3 7以下命题中，正确的选项是 A经过不同的三点有且只有一个平面 B分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 -.z.D垂直于同一个平面的两个平面平行 8直线 m、n 与平面,，给出以下三个命题：假设;/,/,/nmnm则假设;,/mnnm则 假设.,/,则mm 其中真命题的个数是 A0 B1 C2 D3 9a、b、c 是直线，是平面，给出以下命题：假设cacbba/,则；假设cacbba则,/；假设baba/,/则；假设a与 b 异面，且与则ba,/相交；假设a与 b 异面，则至多有一条直线与a，b 都垂直.其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D4 10过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有 A18 对 B24 对 C30 对 D36 对 11正方体1111ABCDABC D中，P、Q、R分别是AB、AD、11BC 的中点则，正方体的过P、Q、R的截面图形是 A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 12不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 A3 个 B4 个 C6 个 D7 个 13设、为平面，lnm、为直线，则m的一个充分条件是 Alml,B,m C m,Dmnn,14设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：假设，则lm；假设lm，则则 A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C都是真命题 D都是假命题 15对于不重合的两个平面与，给定以下条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，-.z.其中，可以判定与平行的条件有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题 1平面,和直线 m，给出条件：/m；m；m；/.i当满足条件时，有/m；ii当满足条件时，有m填所选条件的序号 2在正方形DCBAABCD 中，过对角线BD的一个平面交AA于 E，交CC于 F，则 一、四边形EBFD一定是平行四边形 二、四边形EBFD有可能是正方形 三、四边形EBFD在底面ABCD 的投影一定是正方形 四、四边形EBFD有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为写出所有正确结论的编号 3下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中，真命题的编号是 _ 写出所有真命题的编号 4m、n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出以下命题：假设/,mn则/mn假设,/,/,m nmn则/假设,/mnmn,则/m、n 是两条异面直线，假设/,/,/,/,mmnn则/上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5 m、n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出以下命题：假设/m，则m平行于平面的任意一条直线 假设/,mn则/mn 假设,/mnmn,则/假设/,m,则/m 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)6连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是填写所有正确选项的序号 -.z.菱形 有 3 条边相等的四边形 梯形 平行四边形 有一组对角相等的四边形 三、计算题 1 如图 1 所示，在四面体 PABC 中，PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段 PB 上一点，341715CF，点E 在线段 AB 上，且 EFPB.证明：PB平面 CEF；求二面角 BCEF 的大小.2如图，在五棱锥 SABCDE 中，SA底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，3 DEBC，120CDEBCDBAE 求异面直线 CD 与 SB 所成的角用反三角函数值表示；证明：BC平面 SAB；用反三角函数值表示二面角 BSCD 的大小 本小问不必写出 3 三棱锥 PABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点,ABC，PEF 都是正三角形，PFAB.证明 PC平面 PAB；求二面角 PABC 的平面角的余弦值；假设点 P、A、B、C 在一个外表积为 12的球面上，求ABC 的边长.4.正三棱锥ABCP 的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为60。1证明：BCPA；2求底面中心O到侧面的距离.5如图,在直四棱柱1111ABCDABC D 中,2,2 3ABADDC,13,AAADDC，ACBD垂足为E()求证1BDAC;()求二面角11ABDC的大小;()求异面直线AD与1BC所成角的大小 6如图,在直三棱柱111ABCABC中，13,4,5,4ACBCABAA，点D为AB的 中 点()求 证1ACBC;()求证11ACCDB平面;()求异面直线1AC与1BC所成角的余弦值 7如图，正三角形ABC 的边长为 3，过其中心 G 作 BC 边的平行 如图 1 PACBFEABCDESEABCPFPBCAOEDCBABCDAC1B1A1ABCD-.z.线，分别交 AB、AC 于1B、1C将11CAB沿11CB折起到111CBA的位置，使点1A在平面CCBB11上的射影恰是线段 BC 的中点 M求：1二面角MCBA111的大小；2异面直线11BA与1CC所成角的大小用反三角函数表示 8如图，正三棱锥 SABC 中，底面的边长是 3，棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，M 是 BC 的中点.求：SMAM的值；二面角SBCA 的大小；正三棱锥 SABC 的体积.【参考答案】课堂参考答案 1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C 11.平行或在平面；12.平行或在平面；13.4；14.假设则 17.245 课后作业答案 一、选择题 1C 2.B 3D 4D 5 C 6C 7C 8C 9A 10D 11D 12B 13D 14D 15B 二、填空题 1 2 3，4 5 6 三、计算题 1.解I证明：2221006436PCACPA PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证 PAB 是以PAB 为直角的直角三角形，PCB 是以PCB 为直角的直角三角形 故 PA平面 ABC 又11|10 63022PBCSPCBC 而PBCSCFPB3017341534221|21 故 CFPB,又 EFPB PB平面 CEF II由I知 PBCE,PA平面 ABC AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 ABCE 在平面 PAB，过 F 作 FF1垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1平面 ABC，EF1是 EF 在平面 ABC 上的射影，EFEC 故FEB 是二面角 BCEF 的平面角35610cottanAPABPBAFEB 二面角BCEF 的大小为35arctan PACBFEF1 -.z.2.解连结 BE，延长 BC、ED 交于点 F，则DCF=CDF=600，CDF 为正三角形，CF=DF 又 BC=DE，BF=EF 因此，BFE 为正三角形，FBE=FCD=600，BE/CD 所以SBE或其补角就是异面直线 CD 与 SB 所成的角 SA底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=22，同理 SE=22，又BAE=1200，所以 BE=32，从而，cosSBE=46，SBE=arccos46所以异面直线 CD 与 SB 所成的角是 arccos46()由题意，ABE 为等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE=600，ABC=900，BCBASA底面 ABCDE，BC底面 ABCDE，SABC，又 SABA=A，BC平面 SAB 二面角 B-SC-D 的大小82827arccos 3.解证明：连结 CF.,PABPCABPCPCFPC平面平面 解法一：,CFABPFAB PFC为所求二面角的平面角.设 AB=a，则 AB=a，则aCFaEFPF23,2.33232cosaaPFC 解法二：设P 在平面ABC 的射影为 O.PAFPABPAE,.PAC 得 PA=PB=PC.于是 O 是ABC 的中心.PFO为所求二面角的平面角.设 AB=a，则.2331,2aOFaPF.33cosPFOFPFO 解法一：设 PA=*，球半径为 R.,PBPAPABPC 平面 124.232RRx，ABCxR.2.3 得的边长为22.解法二：延长 PO 交球面于 D，则 PD 是球的直径.连结 OA、AD，可知PAD 为直角三角形.设 AB=*，球半径为 R.22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABCxxxx.4.证明1取BC边的中点D，连接AD、PD，则BCAD，BCPD，故BC平面APD.FABCDES-.z.BCPA.2如图，由1可知平面PBC平面APD，则PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O作EPDOE,为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.设OE为h，由题意可知点O在AD上，60PDO，hOP2.hBChOD4,32,2234)4(43hhSABC，3233823431372hhh，3h.即底面中心O到侧面的距离为 3.5.解 I在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCDAC是A1C在平面ABCD上的射影 BDACBDA1C；II连结A1E，C1E，A1C1 与I同理可证BDA1E，BDC1E，A1EC1为二面角A1BDC1的平面角 ADDC，A1D1C1=ADC90，又A1D1=AD2，D1C1=DC23，AA1=3且 ACBD，A1C14，AE1，EC3，A1E2，C1E23，在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2，A1EC190，即二面角A1BDC1的大小为90 III过B作 BF/AD交 AC于 F，连结FC1，则C1BF就是AD与BC1所成的角 ABAD2，BDAC，AE1，BF=2，EF1，FC2，BCDC，FC1=7，BC115，在BFC1 中，1154715cos51 215C BF,C1BF=15arccos5即异面直线AD与BC1所成角的大小为15arccos5 1,DA DC DD所在直线解法二：同解法一如图，以 D 为坐标原点，1